Без похідної неможливо визначити проміжки зростання та спадання функції, точки перегину, якщо такі існують. Суть таких досліджень – полегшити побудову графіка функції, адже якщо Ви знайшли вказані проміжки то на їх межі функція має локальні екстремуми і залишається знайти в них значення і побудувати графік функції. Правила на знаходження інтервалів зростання функції достатньо прості та зрозумілі кожному.

Ознака зростання функції

Якщо похідна функції більша нуля f'(x)> 0 на деякому проміжку, то функція f (x) зростає на цьому проміжку.

І обернене твердження.

Ознака спадання функції

Якщо похідна функції від'ємна f'(x) < 0 на деякому інтервалі, то функція f (x) спадає на даному інтервалі.

Застосування похідної на прикладах

Приклад 1. Знайти проміжки зростання та спадання функції
f(x)=x^3-6*x ^ 2 - 15x
.
Розв'язання: Обчислюємо похідну функції за змінною
похідна функції
Прирівняємо похідну до нуля та визначимо стаціонарні точки
похідна функції
За теоремою Вієта корені квадратного рівняння рівні x=-1; x=5.
Точки розбивають числову вісь на три інтервали
інтервали монотонності
Знак похідної визначаємо підстановкою точки з інтервалу.

Запам'ятайте: для швидкого визначення знаку похідної завжди вибирайте нуль, якщо він не є стаціонарною точкою або іншу точку, в якій легко обчислити значення похідної.

В нулі похідна менша нуля

отже на інтервалі (-1;5) функція спадає, а на двох сусідніх зростає
знаки похідної
Графік функції має вигляд
графік функції

Приклад 2. Дослідити функцію f(x)=x^4-8*x ^ 2 - 5 та знайти проміжки зростання.
Розв'язання: Задана функція є парною
умова на парність
Знайдемо інтервали монотонності функції. Для цього обчислимо похідну
похідна функції
стаціонарні точки
Отримали три точки, які розбивають числову вісь на 4 інтервали

Знак похідної визначаємо підстановкою одиниці
знак похідної
Отже на інтервалі (0;2) функція спадає, на сусідніх інтервалах знаки похідної чергуються
інтервали монотонності

У відповіді отримаємо 2 інтервали зростання функції
інтервали росту функції
Для наочності графік функції наведено нижче

графік функції

Інше застосування похідної відноситься до знаходження інтервалів опуклості та вгнутості графіка функції. При цьому потрібно знаходити другу похідну та виконувати відповідний аналіз.