Максимумом (мінімумом) функції двох змінних за означенням, це як і для функцій двох змінних максимальне (мінімальне) її значення. На площині це "горби" і "ями", в просторі – те саме тільки двовимірне зображення. Уявити як правило легко, а от для заданої функції знайти точки екстремуму може не кожен.

Схема дослідження функції двох змінних на екстремум

Перше - це перевірити чи виконуються необхідні умови екстремум, а вони наступні – якщо функція має часткові похідні першого порядку і вони рівні нулю то в цих точках функція може мати екстремуми. На практиці реалізація теорії наступна: обчислюємо часткові похідні і прирівнюємо їх до нуля. В результаті потрібно із системи рівнянь
умова екстремуму
знайти точки (x0; y0) підозрілі на екстремум, їх ще називають стаціонарними.
Щоб встановити чи має місце максимум функції, чи мінімум потрібно обчислити часткові похідні другого порядку (A, B, C) в критичних точках
часткові похідні 2 порядку
Далі в знайдених точках потрібно обчислити параметр диференціала D

Далі можливі 4 випадки:

  • функція має максимум, якщо A<0; D>0
  • функція має мінімум, якщо A>0; D>0
  • не має екстремуму, якщо D<0
  • при D=0 потрібно проводити додатковий аналіз на екстремум.

З аналізу знаків і роблять висновки про точки максимуму та мінімуму функції. Далі підстановкою точок обчислюють сам екстремум функції.
Якщо треба знайти найбільше (найменше) значення функції у замкненій області (трикутник, прямокутник, коло) то ці криві підставляємо у вихідне рівняння та досліджуємо функцію на екстремум по лініях, а також перевіряємо чи стаціонарна точка належить замкненій області. Такий приклад розглянуто в готових контрольних роботах.

Приклади на екстремуми

Приклад 1. Знайти екстремум функції двох змінних
Z=2*x*y-3*x^2-2*y^2
Розв'язок: Щоб знайти критичні точки функції двох змінних функція 2 змінних спершу нам слід обчислити часткові похідні першого порядку

Далі прирівнюємо часткові похідні до нуля і розв'язуємо систему рівнянь
умова екстремумуточка екстремуму
Знайдені значення і є координатами критичної точки. Щоб не досліджувати функцію в околі точки екстремуму, оскільки не маємо графіка функції, встановимо знаки других часткових похідних в цій точці. Обчислюємо похідну другого порядку в критичній точці (0;0)
часткові похідні 2 порядку
Далі обчислюємо параметр D

Знак більший нуля, отже в критичній точці (0;0) функція має максимум. Значення рівне вільному члену
Графік просторової функції в околі точки екстремуму має вигляд
графік функції 2 змінних

Приклад 2. Знайти точку максимуму або мінімуму заданої функції
Z=4*x-6*y-x^2-3*y^2+5
Розв'язок: За стандартною схемою шукаємо похідні першого порядку

та прирівнюємо їх до нуля. В результаті отримаємо систему рівнянь з якої можемо знайти критичну точку функції

Критична точка відома, її координати (2; -1).
Щоб встановити чи має місце мінімум функції чи максимум знайдемо часткові похідні другого порядку

Знаходимо параметр

Він додатній, отже в знайденій точці функція досягає максимуму. Обчислимо його значення підстановкою

Точка максимуму на графіку матиме вигляд
графік функції 2 змінних

Приклад 3. Дослідити функцію двох змінних на екстремум
Z=3*x^2-x*y+y^2-7*x-8*y+2

Розв'язок: Обчислюємо часткові похідні першого порядку функції
функція 2 змінних

Прирівнюємо похідні до нуля і розв'язуємо систему рівнянь


Критична точка має координати (2; 5). Для з'ясування характеру точки екстремуму знайдемо похідні другого порядку в критичній точці
часткові похідні 2 порядку
Обчислюємо параметр

Знак A, D додатний, значить в точці (2; 5) дана функція має мінімум, обчислюємо мінімальне значення

Графік функції двох змінних наведено нижче
побудова графіку функції 2 змінних

Приклад 4. Знайти екстремум функції двох змінних
Z=2*x^2-3*y^2+4*x+6*y+5
Розв'язок: Знайдемо критичні точки функції функція 2 змінних
Обчислюємо часткові похідні
часткові похідні
та прирівнюємо їх до нуля. В результаті дістанемо систему рівнянь для знаходження точки екстремуму
точка екстремуму
Знайдемо похідну другого порядку в стаціонарній точці (-1; 1)
часткові похідні 2 порядку
Обчислюємо параметр D

Знаки A>0,D<0, отже в точці (-1; 1) функція не досягає екстремуму. Це є точка перегину просторової функції. На графіку це має вигляд
побудова графіку функції

Приклад 5. Дослідити функцію на екстремум
Z=x^3+y^3-15*x*y+120.
Розв'язок: Повторюємо всі пункти методики знаходження екстремумів.
Обчислюємо часткові похідні функції першого порядку
часткові похідні часткові похідні
Прирівнюємо їх до нуля та розв'язуємо
умова на екстремум

Звідси отримуємо дві підозрілі на екстремум точки
точка екстремуму
точка екстремуму
Далі знаходимо похідні другого порядку в критичних точках (0; 0) і (5; 5)
часткові похідні 2 порядку
Характер першої критичної точки:


В точці (0; 0) дана функція не має ні максимуму, ні мінімуму.
Характер другої критичної точки:


За ознаками екстремуму дана функція має мінімум, а саме

Аналіз функції двох змінних в Мейпл

Наведемо алгоритми аналізу функції та побудови графіків в математичному пакеті Maple. Фрагмент коду дещо простіший ніж обчислення вручну. Спершу потрібно занулити всі змінні і підключити бібліотеку для побудови 3D графіків
>restart;with(plots):
Далі вводимо саме рівняння просторової функції
> Z=x^3+y^3-15*x*y+120;
Обчислюємо часткові похідні
> diff(Z,x)=0;diff(Z,y)=0;
Другі похідні можна знайти повторним диференціюванням
> A:=diff(Z,x,x);C:=diff(Z,y,y);B:=diff(Z,x,y);
Знаходимо розв'язки системи рівянянь командою solve
> solve({diff(Z,x)=0,diff(Z,y)=0},{x,y});
Далі будуємо графіки функції за допомогою команди plot3d(F,x=a..b,y=c..d) .Тут всі позначення повинні бути Вам зрозумілі
> plot3d(Z, x= -1..1, y=-1..1);
3D графік в Мейплі > plot3d(Z, x= 4..6, y=4..6);
3D графік в Мейплі В мейплі немає потреби аналізувати другі похідні, оскільки можемо побудувати графік і візуально перевірити чи маємо максимум, чи мінімум, а можливо і перегини, як в останньому прикладі. Завантажити математичний пакет Maple Ви можете з офіційного сайту або пошукати інсталяційний пакет у мережі інтернет. Приклади наведено у пакеті Maple 17.
Подібно до наведеного виглядає аналіз на екстремуми,якщо задані тригонометричні чи показникові функції. Все зводиться до рівнянь на похідні і обчислень, які Ви часто виконуєте на заняттях.
Якщо не можете виконати аналіз на екстремум самостійно, тоді замовляйте розв'язання задач, контрольних у нас!