Дослідження функцій займає немало часу при розв'язуванні контрольних, домашніх завдань і щоб навчитися швидко розв'язувати потрібна інструкція, яка пояснює порядок дій і для чого це потрібно. Така інструкція розроблена викладачами і узагальнена на всі типи функцій вже давно, а ми її називаємо – загальна схема дослідження функції.
Щоб дослідити функцію y=f(x) та побудувати її графік необхідно:
1) знайти область визначення функції, тобто множину всіх точок для яких існує значення функції;
2) знайти (якщо вони існують) точки перетину графіка з координатними осями. Для цього потрібно у рівняння y=f(x) підставити x=0, а також розв'язати рівняння f(x)=0 для відшукання точок перетину з віссю абсцис Ox;
3) дослідити функцію на періодичність, парність і непарність. У деяких випадках це можна зробити візуально за самим виглядом функції, якщо ні - то проводимо перевірку:
1. f(-x)=f(x) – функція парна;
2. f(-x)=-f(x) – функція непарна;
3. f(x+T)=f(x) – функція періодична, T– період функції.
Таким чином, якщо маємо парну функцію y=f(x), то достатньо побудувати її для додатніх значень x>0, після чого відобразити симетрично відносно осі абсцис y на решту області. У випадку непарної функції графік буде симетричний відносно початку координат. Для прикладу, якщо маємо непарну функцію, графік якої належить першій чверті другу половину отримаємо поворотом першої чверті на 180 градусів (третя чверть).
Періодичними є переважно фукнкції, складені з простих тригонометричних та деякі параметрично задані функції.
4) знайти точки розриву та дослідити їх (такими точками є краї інтервалів визначення функції);
5) знайти інтервали монотонності, точки екстремумів та значення функції в цих точках;
6) знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;
7) знайти асимптоти кривої;
8) побудувати графік функції.
Більшість з цих пунктів розлядалася на практиці в попередніх статтях, тому детально розписувати ми їх не будемо. Також не переживайте, якщо знайдете план в літературі чи інтернеті, який містить більше або менше пунктів. Пам'ятайте, що мета їх всіх – допомогти при побудові графіка функції.
Графіки елементарних функцій
Перейдемо до практичної частини і досслідимо за схемою функцію.
Приклад 1. Дослідити функцію і побудувати її графік
(Дубовик В.П., Юрик І.І. "Вища математика. Збірник задач" )
І (5.889) 
Розв'язання: 1) Функція визначена всюди, крім точки в якій знаменник перетворюється в нуль x=1. Область визначення складається з двох інтервалів 
2) При підстановці x=0 знайдемо значення функції
Таку ж саму точку отримаємо, якщо прирівняємо функцію до нуля. Точка x=0- єдина точка перетину з осями координат.
3) Перевірка на парність
Отже функція ні парна, ні непарна, неперіодична.
4) В даному випадку маємо одну точку розриву x=1. Обчислимо границі зліва і справа
Отже x=1 – точка розриву другого роду.
5) Для відшукання інтервалів монотонності обчислюємо похідну функції
Прирівнюючи її до нуля матимемо точки підозрілі на екстремум x=0; x=2. Вони розбивають область визначення на інтервали монотонності
Дослідимо поведінку похідної справа та зліва від знайдених точок
Графічно інтервали монотонності матимуть вигляд
Досліджувана функція зростає на інтервалах 
та спадає 
.
Точка x=0 – точка локального максимуму, x=2 – локального мінімуму. Знайдемо значення функції
6) Для відшукання інтервалів опуклості знайдемо другу похідну
Друга похідна не перетворюється в нуль, а це значить, що функція немає точок перегину.
Проте, це не означає, що функція не є опуклою та вгнутою, детальні пояснення містяться в публікації
Як визначати інтервали опуклості та вгнутості функції?
Зліва від одиниці на інтервалі (-infinity;1) друга похідна менша нуля (перевіряється підстановкою), звідси робимо висновок, що функція опукла.
Після одиниці друга похідна додатна, отже на інтервалі (1; +infinity) функція вгнута.
Як це виглядає на графіку Ви можете побачити з наведеного далі рисунку.
7) Точка x=1 – векртикальна асимптота функції. Рівняння похилої асимптоти має вигляд
y=kx+b
де k, b - границі, що знаходять за правилом
Знаходимо границі
Кінцевий вигляд прямої
8) На основі проведеного аналізу виконуємо побудову графіка функції.
Користуйтеся загальною схемою дослідження функції на практиці, розв'язуйте подібні приклади самостійно. Це дозволить в короткий час освоїти даний матеріал. Інші приклади по даній тематиці Ви знайдете в наступних статтях.
