Раздел 1. Числа

Задача 1.1 - 1.36 имеют по пять вариантов ответов, из которых только один правильный. Правильно выполненное задание оценивается 1 баллом.

Задача 1.1 (Т-06, 46)* Вычислите виражение
Решение: Упростим первое слагаемое, для этого с первого корня вынесем 5

В результате выражение упростился до 9 умноженного на корень из 5.
В таблице ответов это соответствует варианту Г.
Ответ: Г.
Задача 1.2 Подайте в виде степени выражение
Решение: Применяя свойства показателей, упростим знаменатель, а дальше просуммируем степени

В результате получим 7 в степени 9/10, то есть вариант Д ответов.
Ответ: Д.
Задача 1.3 Найдите значение выражения если а=5.
Решение: Основы числителя и знаменателя равны, поэтому из показателя числителя вычтем степень знаменателя и подставим заданное число

В результате получим 5 в степени 2/3, что соответствует варианту Б.
Ответ: Б.

Задача 1.4 Упростите выражение если а<0.
Решение: Для вычисления корней в которых функция находится в квадрате следует помнить, что при раскрытии корня получим модуль от функции.
Для данного примера подмодульную функцию берем с противоположным знаком

Результат упрощений соответствует варианту Д.
Ответ: Д.

Задача 1.5 Если то х=
Решение: Перекрестным умножением находим значение функции

Результат соответствует варианту Д тестов.
Ответ: Д.

Задача 1.6 Найдите значение выражения х²-4х+4, если
Решение: Заданная функция не что иное как разница в квадрате
х² - 4х + 4=(х-2)2
Подставляем значение переменной в формулу

Выражение равно 5, что соответствует варианту Б тестов.
Ответ: Б.

Задача 1.7 (Т-06, 44) Если то с=
Решение: Выполним достаточно простые и понятные преобразования с дробью. Жля начала сведем слагаемые к общему знаменателю

Далее разделим 1 на левую и правую сторону уравнения

В результате получим выражение, соответствующее варианту Б ответов.
Ответ: Б.

Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов.

Раздел 1. Числа

Задача 1.1 - 1.36 имеют по пять вариантов ответов, из которых только один правильный. Правильно выполненное задание оценивается 1 баллом.

Задача 1.8 (Т-06, 56) Найдите выражение, тождественно равное данному выражению х^4 + х^3 - х -1.
Решение: Вынесем куб переменной за скобки и сгруппируем первых два слагаемых. Далее вычисления покажут, как упростить многочлен

Розложив куб соглано формули разницы кубов, получим ответ Д.
Ответ: Д.
Задача 1.9 Вычислить
Решение: Возведем к квадрату слагаемые - в результате получим корень от разности квадратов, который тоже упрощаем

В результате получим 2, то есть вариант В тестов.
Ответ: Б.
Задача 1.10 Вычислить значение выражения:
Решение: Выполним преобразования с показателями слагаемых

В такой простой способ получили тройку, или вариант Г.
Ответ: Г.

Задача 1.11 Заданные числа: 1,5; 5/4; 4/3. Расположите их в порядке возрастания.
Решение: Преобразуем число 5/4 к виду Найдем разницу между соседними дробями

Отсюда делаем вывод, что 4/3 является больше 5/4. Расположим числа в порядке возрастания
5/4; 4/3; 1,5.
Результат сравнения цифр соответствует варианту Б.
Ответ: Б.
Задача 1.12 В классе девушек вдвое больше чем ребят. Выясните, каким из предложенных может быть количество учеников в таком классе?
Решение: Пусть в классе х ребят, тогда девушек – 2*х.
Составим соответствующее уравнение
х+2*х=3*х.
Проверяем числа вариантов ответов на условие деление на 3
28:3=9 целых 1/3;
26:3=8 целых 2/3;
24:3=6.
Таким образом вариант В тестов является правильным.
Ответ: В.
Задача 1.13 (Т-07, 60) Строительная компания закупила для нового дома металлопластиковые окна и двери в отношении 4: 1. Выбирите число, которым может выражаться общее количество окон и дверей в этом доме.
Решение: Составим уравнение к задаче. С пропорции получим
4*х+х=5*х.
Делаем вывод, что число должно делиться на 5.
По признакам делимости оно должно заканчиваться на 0 либо 5.
Среди приведенных в таблице цифр соответствует вариант Б подходит.
Ответ: Б.
Задача 1.14 Издательская фирма решила использовать новый формат бумаги. При этом рассуждали так: во-первых, лист бумаги нового формата должен быть прямоугольником 120 мм длиной; во-вторых, если лист разрезать пополам, то полученные половинки должны иметь те же пропорции длины и ширины, что и лист старого формата. Какое из приведенных значений наиболее точно соответствует ширине листа нового формата?
Решение: Если новый формат разделить пополам то его сторона станет равна 60 мм. С другой стороны это четвертинка старого формата, из которого разделением пополам получили новый. То есть при разделении нового формата получим квадрат со стороной 60 мм. Етот размер и является искомой шириной.
Значение соответствует варианту А тестов.
Ответ: A.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов.

Раздел 1. Числа

Задача 1.1 - 1.36 имеют по пять вариантов ответов, из которых только один правильный. Правильно выполненное задание оценивается 1 баллом.

Задача 1.15 (Т-06, 17) Товар подешевел на 20%. На сколько процентов больше можно купить товара на ету же сумму денег?

Решение: Вычислим новую цену товара по отношению к старой
100-20=80%.
Составим пропорцию из условия что цена товара составляет 80 процентов средств, а денег имеме все 100 процентов.
100% – 80%;
х – 100%.
Перекрестным умножением получим
х=100*80/100=125%.
Находим разницу покупательной способности в процентах
125%-100%= 25% (процентов.)
Найденный результат в ВНО тестах соответствует варианту Д.
Ответ: Д.

Задача 1.16 В банке открыли счет на 1000 гривен под 20% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения денег в банке после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил еще а грн. На конец третьего года оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным взносом на 300%. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

Решение: Размер вклада увеличился на 300% означает, что сумма денег на конец срока составляет
300%+100%=400%
по сравнению с начальной. За первый год насчитали депозит 20%, то есть сумма увеличилась в
(100+20)/100=1,2 раза.
Начисление на депозит вместе с депозитом составляют сумму 1000*1,2 .
К этим деньгам приложили а и снова положили на депозит в банк. Наконец второго года получили
(1000*1,2+а)1,2 .
Далее снова добавили а денег и положили в последний раз на депозит. Окончательное уравнение находим из условия равенства
(((1000*1,2+а)1,2+а)1,2)=1000*400%/100%=1000*4.
Полученная формула соответствует варианту А.
Ответ: А.

Задача 1.17 Как изменится величина дроби, если числитель увеличить на 100%, а знаменатель уменьшить на 50%?

Решение: Начальную дробь изобразим в виде частки двух чисел a/b. Далее по условию задачи необходимо выполнить следующие преобразования с дробью
(a+a)/(b-0.5*b)=4*a/b.
Сравнивая выражения начального дроба и полученного видим, что он увеличился в 4 раза. Верным в тестах есть вариант Д.
Ответ: Д.

Задача 1.18 В домашней библиотеке Марии было 50 книг. Впоследствии их стало 150. На сколько процентов выросло количество книг в библиотеке Марии?

Решение: В подобных задачах следует использовать пропорции. Составим зависимости из условия задачи
50 –100%
150 –х
Отсюда находим сколько процентов составляла новая цена по отношению к предыдущей
х=150*100%/50=300%
Вычисляем разницу между ценами в процентах
300-100=200% - выросла
Правильным является вариант В.
Ответ: В.

Задача 1.19 (Т-07, 69) Банк выплачивает своим вкладчикам 8% годовых. Определите, сколько денег надо положить на счет, чтобы через год получить 60 гривен прибыли.

Решение: Главным условием для составления уравнения является то, что 60 гривен прибыли составляет 8% от суммы вклада.
Отсюда составляем пропорцию для вычисления полного вклада.
8%-60;
100%-х.
Перекрестным умножением получим искомую сумму
х=100*60/8=750 (гривен).
Вариант Д тестов соответствует найденному значению.
Ответ: Д.

Задача 1.20 Насколько увеличится объем куба, если его ребро увеличить на 50%?

Решение: Запишем формулу объема с ребром а и в 1,5 раза большым ребром.
V[0]=a^3;
V[1]=(1,5a)^3=3,375a^3.
Составляем уравнение - пропорцию для вычисления роста объема к начальному
1 – 100%;
3,375 – x.
Находим прирост в процентах, то есть ответ на вопрос: Во сколько раз?
x=3,375*100=337,5%.
Нам же нужно найти разницу приростов, то есть выполнить действие
337,5-100=237,5%
Значение соответствует варианту Б ответов к тестам.
Ответ: Б.

Задача 1.21 В результате инфляции в государстве N цены выросли на 300%. Найдите, на сколько процентов нужно снизить цены чтобы вернуть их к прежнему уровню.

Решение: Вычисляем рост
100%+300%=400% - новая цена в процентах.
Далее составляем пропорцию, чтобы найти процент старой цены новой.
400% – 100%;
100% – х.
Выполним вычисления
х=100*100/400=25%.
Находим нужную разницу в процентах
100%-25%=75%
Правильная выбор на тестах - вариант Г.
Ответ: Г.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов.

Раздел 1. Числа

Задача 1.1 - 1.36 имеют по пять вариантов ответов, из которых только один правильный. Правильно выполненное задание оценивается 1 баллом.

Задача 1.22 На круговой диаграмме (заштрихованная ее часть) изображена та часть населения города N которая смотрит телевизионную передачу "Моя семья". Эта часть в процентах составляет:

Решение: Пример достаточно прост: 1/4 круга умножаем на 100 процентов.

Из приведенных в тестировании ответах 25% соответствуют варианту В.
Ответ: В.

Задача 1.23 Вычислить 3*ctg(а), если
Решение: Проанализируем ход вычислений этого и подобных задач. Котангенс равен косинусу разделенном на синус угла.
Поскольку синус угла известен, то по теореме косинуса без проблем находим косинус угла. Следует помнить, что во второй четверти косинус принимает отрицательное значение

Воспользуемся известной тригонометрической формулой

и вичислим квадрат косинуса


Подставляем найденные значения в котангенс

В результате получим 4, то есть вариант Г ответов к тестам.
Ответ: Г.

Задача 1.24 Найдите значение выражения 5(cos( х))^2 -1, если sin(2*х) = 0,4.
Решение: Для вычисления значения используем формулу суммы квадратов тригонометрических функций


В результате получим двойку – вариант А ответов к тестам.
Ответ: A.

Задача 1.25 (Т-06, 37) Вичислить значение выражения sin(а) + sin (b), если а –b= 180°.
Решение: В подобных задачах для упрощения выражайте один угол через другой и используйте периодичность синус и косинус функций
a-b=180,
a=180+b.
Учитевая знак синуса получим
sin(180+b)+sin(b)=-sin(b)+sin(b)=0
Результат вычислений соответствует варианту В.
Ответ: В.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов.

Раздел 1. Числа

Задача 1.1 - 1.36 имеют по пять вариантов ответов, из которых только один правильный. Правильно выполненное задание оценивается 1 баллом.

Задача 1.30 Вычислить сумму логарифмов

Решение: Нужно найти сумму логарифмов. По свойству сумма логарифмов с равными основаниями равна логарифму произведения. Исходя из этого находим значение выражения

В результате получили 1, то есть вариант Д ответов.
Ответ: Д.

Задача 1.31 Найти значение логарифма

Решение: Применяя свойства логарифма значение можно вычислить двумя методами
• Возвести число к основанию
• Упростить и основание и число и использовать правило логарифмирования.
Покажем оба пути решения подобных задач на логарифм


Используйте оба правила упрощения логарифма на практике.
Среди приведенных ответов к тестам подходит вариант А.
Ответ: А.

Задача 1.32 Вычислить числовое значение выражения

Решение: Сразу видно, что основы в логарифмов разные, поэтому ищем значение каждого из слагаемых. Применим правила логарифмирования которые использовали в предыдущем примере

Сумма логарифмов достаточно быстро свелась к числу 2, то есть варианту В тестов.
Ответ: В.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов.

Раздел 1. Числа

В задачах 1.37 - 1.68 правильный ответ оценивается 2 баллами.

Задача 1.37 Вычислить значение выражения если а=-0,7; b=-10,7.
Решение: Подставлять значение в сам дробь нецелесообразно и может привести к ошибкам при исчислении. Для начала слагаемые в скобках необходимо свести к общему знаменателю

Далее остается подставить заданные значения в упрощенную формулу дроби

Вот такие несложные манипуляции с дробями помогают быстро пройти тесты ВНО.
Ответ: 1,14.

Задача 1.38 Упростите выражение

Решение: Выражение для восприятия тежолое, поскольку содержит корни как в числителе так и в знаменателе дроби. Однако при сведении к общему знаменателю и использовании формул сокращенно умножения получим



В результате переменные зануляться и дробь упростится к 4.
Ответ: 4.

Задача 1.39 Упростите выражение

Решение: Никогда не пробуйте поднимать до 4 порядка (шучу), сначала упростите выражение в скобках. При возведении первых двух дробей к общему знаменателю получим


Выражения в числителе подносим к квадрату



Использовав теорию по математике в ответе к тестам получили 16.
Ответ: 16.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов.

Раздел 1. Числа

В задачах 1.37 - 1.68 правильный ответ оценивается 2 баллами.

Задача 1.43 (Т-06, 9) Вычислить значение выражения

Решение: Очень интересный с одной стороны и поучительный - с другой пример. Если пробовать свести слагаемые под один знаменатель то можно «наломать дров» и из-за ошибок в вычислениях так и не добравшись к правильному ответа. Другая схема вычислений заключается в умножении знаменателей на сопряженные выражения и таким образом раскритие иррациональности. В результате правильный ответ не заставит себя долго ждать, и вычисления по силам каждому





Хорошо запомните приведенную схему раскрытия иррациональности - на тестах не будете иметь проблем с подобными примерами.
Ещо раз посмотрите настолько легкой может стать математика, если знать правила.
Ответ: 10.
Задача 1.44 (Т-07, 40) Вычислить выражение

Решение: Возводим произведение корней по правилу разности квадратов


упрощаем показатели и вычисляем кубические корни чисел

Результатом вычисления корней является число (-13).
Ответ: -13.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов.

Раздел 1. Числа

В задачах 1.37 - 1.68 правильный ответ оценивается 2 баллами.

Задача 1.45 Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, размеры дна которого 50 м на 20 м, а глубина - 3 м. Вычислите время (в минутах), за которое бассейн наполнится водой на высоту 2,8 метра, если скорость подачи воды 7 метров кубических в минуту.
Решение: Сначала вычисляем объем воды который необходим для наполнения бассейна.
50*20*2,8=2800 м^3.
Далее разделим найденный объем на скорость наполнения бассейна и получим необходимое время.
t=V/v=2800/7=400 (минут)
Пользуйтесь заданной формулой для определения времени наполнения бассейнов, резервуаров, сосудов и т.п.
Ответ: 400 минут.

Задача 1.46 Цену товара сначала снизили на 20%, затем полученную цену товара снизили еще на 10%. Найдите на сколько процентов всего снизили цену товара?
Решение: В примере нужно составлять пропорции или последовательно вычислить проценты. При первом падения цена составит
100%-20%=80%
от основной. Следующее падение высчитываем с полученного на предыдущем этапе значения процентов
80%-80%*10%/100%=80%-8%=72%.
Далее вычисляем разницу в процентах между начальной ценой и найденной
100%-72%=28%
Это и есть искомое снижение цены товара.
Ответ: 28% .

Задача 1.47 Кошка с котенком съедают купленный хозяином корм за 8 дней. Если кошку кормить одну, то ей хватило бы корма на 11 дней. На сколько полных дней хватило бы корма котенку?
Решение: Имеем задачу на составление уравнений. Обозначим буквами а, b потребительские аппетиты кошки и котенка на один день. Далее из условия задачи нужно составить два уравнения для определения двух неизвестных.
(а+b)*8=100% ;
а*11=100%.
От первого уравнения умноженного на 11 вычтем второе умноженное на 8.
Это позволит исключить из рассмотрения вычисления вторую неизвестную
b*8*11=(11-8)*100% b*88=3*100%.
Далее превращаем зависимость так, чтобы справа получить 100 процентов, или все количество корма.
b*88/3=100%.
88/3=29 целых и 1/3.
В результате котенку купленного корма хватит на 29 полных дней.
Ответ: 29.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов.

Раздел 1. Числа

В задачах 1.37 - 1.68 правильный ответ оценивается 2 баллами.

Задача 1.48 (Т-06, 21) Вычислить сумму первых 20 членов арифметической прогрессии если ее первый член равен 2, а седьмой - 20.
Решение: Выпишем условие задачи в обозначениях
а[1]=2; а[7]=20.
Выразим 7 член арифметической прогрессии через первый. Это позволит вычислить шаг прогрессии
а[7]=а[1]+6*d;
6*d=20-2=18;
d=18/6=3.
Далее найдем последний член суммы прогрессии
a[20]=a[1]+19*d=2+19*3=59.
Находим сумму арифметической прогрессии по формуле
S=(2+59)/2*20=610.
Ответ: 610.

Задача 1.49 Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найдите сумму первых одиннадцати членов прогрессии..
Решение: Задача, как и предыдущая на сумму прогрессии. Запишем условие задачи формулой
а[3]+ а[9]=8
S=(a[1]+a[11])/2*11 ?
Распишем известные члены прогрессии через те, которые фигурируют в формуле суммы
а[3]=а[1]+2*d;
a[11]=a[9]+2*d=18;
a[9]=a[11]-2*d.
При их суммировании разница прогрессии упрощается
a[3]+a[9]=a[1]+2*d+a[11]-2*d= a[1]+a[11]=8
и полученое выражение, подставляем в сумму прогрессии
S=8/2*11=44.
Используйте данную методику при исчислении суммы арифметической прогрессии.
Ответ: 44.

Задача 1.50 Найдите разницу арифметической прогрессии (а [n]), если известны два ее члена: а[7]=7, а[9]=-9.
Решение: Размышления достаточно просты и основаны на свойствах прогрессии. Записываем зависимость 9 члена арифметической прогрессии через 7 и шаг прогрессии
а[9]=а[7]+2*d.
Из этой зависимости находим разницу прогрессии
-9=7+2*d;
2*d=-9-7=-16;
d=-16/2=-8.
Вот такие простые действия могут добавить 2 балла при тестировании.
Ответ:-8.

Задача 1.51 (Т-07, 38) Найдите сумму первых двенадцати нечетных чисел.
Решение: Запишем арифметическую прогрессию в виде ряда 1,3, …a[12].
Найдем последний член прогрессии по формуле
а[12]=1+2*11=23.
Вычисляем сумму 12 членов заданной прогрессии
S=(1+23)/2*12=12*12=144.
Сумма прогрессии равна 144.
Ответ: 144.

Задача 1.52 Найдите сумму первых 11 членов арифметической прогрессии, зная что ее шестой член равен 4.
Решение: Для нахождения суммы прогрессии нужно выписать рекуррентные формулы, связывающие крайние члены прогрессии с 6. Выпишем соответствующие формулы членов прогрессии
a[11]=a[6]+5*d;
a[1]=a[6]-5*d.
Подставим записи в формулы суммы прогрессии и упростим
S= (a[1]+ a[11])/2*11= (a[6]-5*d+ a[6] +5*d)/2*11= a[6]*11=4*11=44.
При знании свойств арифметической прогрессии подобные задачи прибавлят необходимые баллы на тестировании.
Ответ: 44.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов.

Раздел 1. Числа

В задачах 1.37 - 1.68 правильный ответ оценивается 2 баллами.

Задача 1.56 Вычислить значение выражения

Решение: Воспользуемся зависимостями, которые выражают тангенс и котангенс через двойной угол


Далее подставляем синус и косинус 45 градусов и сводим дроби к общему знаменателю


Если иметь под рукой нужные формулы, то вычисления выглядят достаточно простыми и понятными.
Ответ: 2.

Задача 1.57 Вычислить соs (а), если sin(а)=-7/25 и угол лежит в пределах Pі< а < 3/2*Pі.
Решение: Следует знать, что в 3 четверти синус и косинус отрицательные

При исчислении косинуса корень берем с отрицательным знаком

Используйте анализ знаков тригонометрических функций в подобных вычислениях
Ответ: -0,96.

Задача 1.58 Вычислить 4*sin(15)*sin(30)*sin(75).
Решение: В этом примере синус 30 градусов равен 0,5. Произведение соседних синусов расписываем по тригонометрического правила
4*sin(15)* sin(30) * sin(75)=4*1/2(cos(60)-cos(90)) =2*(1/2-0)=1.
Если не знать формулы произведения синусов, то успешно сдать подобного теста не удастся.
Поэтому изучайте формулы и применяйте на практике.
Ответ: 1.
Оставайтесь с нами и подготовка к ВНО по математике останется для Вас приятным воспоминанием и сэкономит много времени и денег на репетиторов.