Для нахождения моды и медианы случайной величины необходимы хорошие умения интегрировать и знания следующего теоретического материала. Модой 
дискретной случайной величины 
называют те ее возможное значение, которые соответствует наибольшей вероятности появления (т.е. такое значение величины 
, которое случается чаще всего при проведении экспериментов, опытов, наблюдений). В случае случайной величины модой называют то ее возможное значение, которому соответствует максимальное значение плотности вероятностей
В зависимости от вида функции 
случайная величина 
может иметь разное количество мод. Если случайная величина имеет одну моду, то такое распределение вероятностей называют одномодальным; если распределение имеет две моды — двухмодальным и более – мультимодальным.
Существуют и такие распределения, которые не имеют моды, их называют антимодальными. Медианой 
случайной величины 
называют то ее значения, для которого выполняются равенство вероятностей событий, то есть, плотность вероятностей справа и слева одинаковы и равны половине (0,5)
Графически мода и медиана изображенные на рисунке
При таком значению случайной величины график функции распределения делится на части с одинаковой площадью. Непрерывная случайная величина имеет только одно значение медианы. Для дискретной случайной величины медиану обычно не определяют, однако в некоторой литературе приводятся правила, согласно которым, для ряда случайных величин размещенных в порядке возрастания (вариационного ряда) моду определяют распределения: если есть нечетное количество случайных величин 
то медиана равна средней величине
в случае четного количества 
полусумме средних величин
Рассмотрим примеры определения моды и медианы.
Пример 1. В развлекательном центре работник обслуживает четыре дорожки для боулинга. Вероятность того, что какая-то дорожка нуждается в уборке в течение смены является постоянной величиной с вероятностью 85%.
Построить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины 
— количество дорожек, которые требуют уборки. Найти моду 
.
Решение. Случайной величина может принимать значения
Вероятности появления значений определяем по образующей функцией
Для заданной задачи входные величины принимают значения
Искомые вероятности входят множителями при степенях аргумента
Закон распределения вероятностей запишем в виде таблицы
С таблице определяем моду 
, как значение при максимальной вероятности. Получили одномодальное распределение
Пример 2. По заданной плотностью вероятностей
найти параметр 
, плотность вероятностей 
, моду 
.
Решение. Применяя условие нормирования выполняем интегрирование
после того определяем параметр
Плотность вероятностей, учитывая найденное значение будет иметь вид
а ее график изображен на рисунке ниже
Из графика плотности вероятностей видим, что мода принимает значение 
. Определим медиану 
с помощью функции распределения вероятностей. Ее значение на промежутке 
находим интегрированием
Функция распределения иметь следующий вид
а ее график будет иметь вид
Для определения медианы случайной величины 
применяем формулу
Медиану 
можно найти с помощью плотности вероятностей
для дискретной случайной величины из промежутка 
Таким образом медиану 
— возможное значение случайной величины 
, при котором прямая, проведенная перпендикулярно соответствующей точки на плоскости 
, делит площадь фигуры, ограниченной функцией плотности вероятностей 
на две равные части.
-------------------------------
Задача на определение моды и медианы случайной величины встречаются на практике не так часто, как плотности распределения вероятностей, однако вышеприведенный теоретический материал и решения распространенных примеров помогут Вам находить эти величины без больших затрат времени. При необходимости Вы всегда можете заказать решение задач по теории вероятностей в нас.
