Разложение функции в ряд Фурье

Разложить в тригонометрический ряд Фурье можно непериодическую функцию определенную от минус Пи до Пи -

Разложение кусковой функции в ряд Фурье находят по формуле

где коэффициенты Фурье вычисляют интегрированием

Таким образом, чтобы разложить функцию в ряд Фурье на практике необходимо всего лишь найти коэффициенты Фурье, а для этого нужно хорошо уметь интегрировать. На деле это занимает много времени и сил и многим бывает не под силу. В этом Вы сейчас наглядно убедитесь.

Пример: 6.9 Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Заданная функция непереодическая. Для вычисления коэффициентов Фурье используем формулы



Сложность заключается в том, что для конечной формулы разложения ряда коэффициенты Фурье с четными и нечетными индексами надо свести в один.
Это требует определенных умений, однако реализовать это может научиться каждый. Кроме того, Вы должны безупречно знать что sin(0)=sin(Pi)=0, cos(0)=1, cos(Pi)=-1.
После всех манипуляций разложение функции в ряд Фурье должно принять вид

Если в результате вычислений Вы получили что-то отменное от этого, значит Вы где-то допустили ошибку.

Пример: 6.12 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье

Вычисления: Интегрированием функции с тригонометрическими множителями и без них находим коэффициенты Фурье




Составляем формулы коэффициентов Фурье и записываем разложение функции в тригонометрический ряд


Пример: 6.18 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Находим коэффициенты Фурье интегрированием





Интегралы по силам каждому, для вычисления меж необходимы лишь знания значений синуса и косинуса в -Pi 0, Pi. Подставляем полученные коэффициенты в ряд Фурье и получаем следующее разложение функции


Пример: 6.20 Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Интегрированием находим коэффициенты Фурье a₀, a_k, b_k




Далее для коэффициентов составляем общие формулы и подставляем в формулу разложения функции в тригонометрический ряд Фурье

Пример 6.30 Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье:

Вычисления: Определим интегрированием коэффициенты Фурье:






Вычисления достаточно громоздки, поэтому хорошо разберите формулы и для себя изучите методику интегрирования.
При сворачивании коэффициентов Фурье получим искомое разложение функции в ряд Фурье

Как Вы могли убедиться разложить функцию в ряд Фурье по силам не каждому студенту. Умение интегрировать и знания рядов Вам в этом будут хорошими помощниками.