Уравнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением.
Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста.
Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю
Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.
В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.
Примеры дробно рациональных уравнений
Пример 1. Найти корни уравнения
Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю
Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета
Второе раскладываем на множители
Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.
Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.
Ответ: х=-7.
------------------------------------
Пример 2. Решить уравнение
Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение
Вычисляем дискриминант
и корни уравнения
Получили три нуля числителя 
.
Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета
Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения 
будут решениями.
------------------------------------
Пример 3. Найти корни уравнения
Решение: Переносим слагаемое за знак равенства
и сводим к общему знаменателю
Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению
Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений
Корни первого вычисляем через дискриминант
Нули второго находим без проблем
Исключаем из решений числителя значение 
и получим.
Ответ: х=3.
------------------------------------
Задачи на движение
Задача 4. Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.
Решение:
Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу.
Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время
Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась
Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.
Корни числителя найдем после упрощений
С физических соображений первое решение отвергаем.
Ответ: скорость ветра 15 км/час.
------------------------------------
Задачи о совместной работе
Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше чем другому?
Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней.
Это означает что за один день первый выполнит 
, а второй - 
часть всей нормы. По условию выполняют норму за 4 дня, то есть оба в день могут выполнить 
нормы.
Составляем и решаем уравнение
Данное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений
Одно решение 
не соответствует физической сути задачи. Время второго лесоруба
х+6=6+6=12 (дней)
Ответ: Работу первый лесоруб выполнит за 6 дней, а второй за 12.
------------------------------------
Подобных дробно рациональных уравнений можно рассмотреть множество, схема их решения неизменна. В теоретических задачах правильно составляйте уравнение и не заблуждайтесь при сведении к общему знаменателю. Все остальное сводится к решению преимущественно линейных или квадратных уравнений.
