Интегрирование рациональных дробей. Методика

Интегрирование рациональных дробей занимает важную часть курсу высшей математики. Практическая сторона данной темы богата разнообразными вычисления. Напомним, что дробь вида

называется рациональной, если числитель

и знаменатель являются многочленами.

Рациональные дроби разделяют на правильные и неправильные. Дробь называется правильным, если высший показатель степени числителя меньше большего степени знаменателя . В противном случае дробь называется неправильным. Интегрируемые только правильные дроби. Неправильный рациональная дробь у которого степень числителя выше или равна степени знаменателя можно делением числителя на знаменатель свести к сумме многочлена и правильного рационального дроби.

Простейшими рациональными дробями называют следующие

І.

ІІ.

ІІІ.

ІV.

Условие

означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней. В противном случае его можно разложить на множители и свести к первому виду.

Для всех четырех групп существуют правила сведения к табличному виду и интегрирования. Интегралы I и II типа находят методом непосредственного интегрирования

І.

ІІ.

При интегрировании дроби III-го типа необходимо выполнить следующие преобразования

Интеграл от простого дроби IV-го типа путем повторного интегрирования по частям можно свести к интегралу от простого дроби III-го типа. Интеграл от дробно-рациональной функции

где – правильная дробь можно свести методом разложения на слагаемые, которые легко интегрируются с основными формулами интегрирования. Все правильные рациональные дроби разлагаются на сумму простейших рациональных дробей, коэффициенты которых можно найти методом неопределенных коэффициентов. Конечный вид простейших дробей зависит от корней знаменателя и их кратности.

Возможны следующие варианты:

1. Корни знаменателя - действительные и различные числа, тоесть

Тогда дробь разлагается на сумму простейших дробей I типа

где – неизвестные коэффициенты. Их находят следующим образом: слагаемые дело сводят к общему знаменателю, а затем сравнивают полученные коэффициенты при степенях числителя с теми, которые содержит полином

2. Корни знаменателя действительные числа, некоторые из них кратные

В этом случае правильная дробь разлагается на сумму простейших дробей I-го и II-го типов:

Неизвестные коэффициенты ищем подобно тому, как описано для 1 варианта.

3. Некоторые корни знаменателя действительные числа, некоторые из них кратные. Кроме того знаменатель содержит один или несколько квадратных трехчленов, которые не разлагаются на множители

Тогда дробь разлагается на сумму простейших дробей I-го, II-го и III-го типов

Здесь – неизвестные коэффициенты, ищут по схеме представленной выше.

4. Этот случай отличается от предыдущего тем, что в знаменателе дробей квадратные трехчлена бывают в степенях В таких случаях можем получить сумму простейших дробей I-IV-го типов. Они сложные, но приведенными выше методами найти их решения возможно.