Відповіді до контрольної роботи з диференціальних рівнянь (ДР) не так і легко знайти в інтернеті. Часто вони містять легкі завдання лише на однорідні ДР або неоднорідні першого порядку з яких Ви точно не зможете охопити весь матеріал і навчитися вирішувати диференціальні рівняння вищих порядків, складати характеристичні рівняння, знати в якому вигляді шукати розв'язки неоднорідного рівняння. Ми постаралися цю проблеми вирішити і зібрали в одному місці всі можливі типи ДР, які Вас можуть чекати на контрольній роботі, тестах, індивідуальних завданнях чи модулі. З кожного прикладу є посилання на відповіді до тематично подібних диференціальних рівнянь. Зразу можу відмітити, що завдання не з легких, хоча алгоритм їх вирішення відповідає всім рівням складності.
Студенти Львівського національного університету ім. І. Франка серед відповідей до ДР можуть знайти варіанти, які їх чекатимуть на контрольній. ВУЗи Києва, Одеси, Харкова та інших міст України мають подібну програму з ДР, тому теж знайдуть масу готових прикладів. В загальному теорія з диференціальних рівнянь повністю сформована, тому алгоритмами обчислень незмінні і ними може користуватися кожен, хто вирішив вивчати диференціальні рівняння.

Приклад 1. (1.25) Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
диференціальне рівняння з відомремлюваними змінними
Розв'язання: Маємо диференціальне рівняння першого порядку розписане через диференціали. Схема обчислення рівнянь такого типу полягає у розділенні змінних, в результаті цієї операції отримаємо диференціальне рівняння з відокремленими змінними, розв'язок якого знаходимо інтегруванням. Отже спершу групуємо доданки, що містять dx, dy та переносимо по різні сторони знаку "="
відокремлення змінних
Після цього всі множники, що містить y при dx переносимо до dy, те ж саме проробляємо з множниками , що містять змінну x при dy. У такий спосіб зведемо початкове рівняння до диференціального рівняння з відокремленими змінними
диференціальне рівняння з відокремленими змінними
Далі з інтегруємо отриману залежність. Щоб швидко це зробити чисельники вносимо під диференціал
інтегрування диференціального рівняння
Така маніпуляція дозволяє за допомогою табличного інтегралу отримати логарифми
логарифмічне рівняння
Сталу теж вносимо під логарифм, щоб вкінці прийти до компактного запису загального інтегралу диференціального рівняння. Цю формулу не вартує більше розписувати, оскільки можна не врахувати корені. Більшість би з Вас записала, що функція рівна додатному кореню з правої частини, проте це не правильно. Від'ємний корінь також є розв'язком заданого рівняння, тому якщо записувати, то наступним чином
розв'язок диференціального рівняння
Проте такий запис важче читати і при формуванні відповіді радимо зупинятися на попередньому кроці. Більше праці – не завжди означає кращий результат.

 

Приклад 2. (2.26) Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
однорідне диференційне рівняння
Розв'яязання: Маємо однорідне диференційне рівняння 0 порядку. В цьому легко переконатися, якщо в праву сторону замість x,y підставити t*x,t*y

З аналізу правої сторони бачимо, що можемо застосувати підстановку z=y/x, звідси y=z*x.
Не забуваючи, що нова змінна залежить від аргументу виражаємо похідну "y" за правилом добутку
заміна змінних
та з врахуванням заміни переписуємо початкове ДР у вигляді
диференціальне рівняння
Змінну z переносимо в праву сторону
відокремлення змінних
та розділяючи змінні, переходимо до диференціального рівняння з відокремленими змінними
диференціальне рівняння з відокремленими змінними
Інтегруємо залежність
інтегрування диференціального рівняння
Остання формула і є загальним інтегралом диференціального рівняння. Такий запис ще називають рівнянням не розв'язаним відносно у(х). Виділити у даному випадку у(х) можливо, проте отримаємо менш змістовну формулу ніж кінцева.

 

Приклад 3. (3.5) Знайти загальний інтеграл рівняння:
ДР звідні до однорідного диференціального рівняння
Розв'язання: Задано ДР першого порядку , яке звідне до однорідного диференціального рівняння. Щоб отримати останнє знайдемо стаціонарну точку, для цього розв'яжемо систему рівнянь, яку формуємо прирівнюючи чисельник та знаменник до нуля
стаціонарна точка
Далі виконуємо зміщення початку координат в знайдену точку O(1;1)
заміна координат,
Початкове ДР при такій заміні зводимо до вигляду
однорідне диференціальне рівняння
Після цього у правій частині змінну X виносимо з чисельника та знаменника за дужки та скорочуємо на неї. В такий спосіб отримаємо однорідне диференціальне рівняння нульового порядку
диференціальне рівняння
Далі використовуємо схему обчислень з попереднього завдання. Робимо заміну: z=Y/X; Y=z*X, похідна старої функції при цьому виражається формулою
похідна функції
Підставимо у рівняння та спростимо його
перетворення диф. рівняння
Далі перетворюємо до диференціального рівняння з відокремленими змінними
диференціальне рівняння з відокремленими змінними
та інтегруванням обчислюємо його
інтегрування диференціального рівняння
Вертаючись двічі до попередніх замін, отримаємо
розв'язок диференціального рівняння
Остання формула і є шуканий загальний інтеграл диференціального рівняння. Вона неявно зв'язує функцію y(x) та аргумент.

 

Приклад 4. (4.6) Знайти розв'язок задачі Коші:

Розв'язання: Задано неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку. Запишемо та проінтегруємо відповідне однорідне рівняння (ліва частина):
диференціальне рівняння з відокремленими змінними, обчислення
Схема обчислень тут використана стандартна – розділили змінні та про інтегрували. Далі, щоб задовільнити неоднорідну частину рівняння покладаємо, що стала є функцією аргумента C=C(x). Запишемо функцію та її похідну
довизначення сталої
Далі підставимо у ДР та після інтегрування знайдемо вигляд сталої C=C(x)

Записуємо загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння в кінцевому вигляді
загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння
Ров'яжемо задачу Коші. Сталу C1 довизначимо з умови
задача Коші.
Звідси отримаємо
частковий розв'язок диференціального рівняння - частковий розв'язок рівняння.

 

Приклад 5. (5.7) Знайти розв'язок задачі Коші для рівняння Бернуллі
задача Коші, диф. рівняння
Розв'язання: Перед Вами новий тип неоднорідних диференціальних рівняння першого порядку. Розділити змінні в цьому випадку є неможливо. Для обчислень такого роду ДР використовуємо схему Бернуллі, робимо заміну змінних y=u*v, y'=u'v+uv', де в добутку фігурують функції u=u(x) і v=v(x) від аргумента. В нових позначеннях ДР приймає вигляд
схема Бернуллі
Далі рівняння слід розділити на 2, з яких по черзі визначити функції. Спершу дужку в лівій частині (виділена чорним) прирівняємо до нуля
диф. рівняння
Таке ДР для Вас не складне і подібних Ви розв'язували чимало. Записуємо рівняння в диференціалах, далі зводимо до ДР з відокремленими змінними та інтегруючи його знаходимо одну із функцій
диференціальне рівняння з відокремленими змінними, інтегрування
Отримали експоненту з від'ємним показником квадрату аргументу. При підстановці v у початкове ДР отримаємо
диференціальне рівняння
Знову розділяємо змінні та інтегруємо, тільки вкінці тут потрібно додати константу.
розділення змінних та інтегрування
Дві функції ми визначили, можемо записати загальний розв'язок диференціального рівняння.
загальний розв'язок диференціального рівняння
Але це ще не кінець розрахунків. Знайдемо частковий розв'язок диференціального рівняння (задача Коші), для цього пригадаємо початкову умову з якої до визначаємо сталу

При підстановці С=0 в формулу отримаємо компактний частковий розв'язок диференціального рівняння y=e2x.

 

Приклад 6. (6.21) Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:
повний диференціал функції двох змінних
Розв'язання: Ліва частина ДР може бути повним диференціалом функції двох змінних u(x,y).
Щоб перевірити це знайдемо часткові похідні, зокрема для множника при dx похідну беремо по dy, для іншого по dx. Умова повного диференціалу має вигляд
умова повного диференціалу
Вона справджується, отже можемо відновити функцію інтегруванням
інтегрування ДР
Якщо інтегруємо по аргументу то стала залежна від функції і навпаки. Це важливо, оскільки потрібно, щоб функція задовольняла дві часткові похідні. А для цього диференціюємо знайдену функцію по "ігрик" та прирівнюємо з множником ДР при dy
рівняння для сталої
Отримаємо рівняння на похідну від сталої з якого інтегруванням знаходимо C(y)
визначення сталої
Загальний інтеграл диференціального рівняння при цьому рівний
Загальний інтеграл диференціального рівняння
На цьому перша частина контрольної роботи розглянута, далі будуть рівняння в повних диференціалах, що потребують визначення інтегруючого множника та неоднорідні диференціальні рівняння 2, 3 порядку.