Всі хто шукає готові відповіді на лінійні диференціальні рівняння прийшли за правильною адресою. В нас Ви зможете не тільки отримати швидку відповідь, а й навчитися методики розв'язання рівнянь. Чи складна схема Бернуллі для лінійних рівнянь залежить від Вашого рівня підготовки. Розберіть уважно наведені відповіді та зробіть висновки, що і як Вам потрібно поглиблено вивчити.
Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду y'+p(x)*y=g(x), де p(x) та g(x) – неперервні на певному проміжку функції.

Алгоритм методу Бернуллі

1.Розв'язок лінійного диференціального рівняння необхідно подати у вигляді добутку двох невідомих функцій y=u*v від аргумента u=u(x),v=v(x).Одну з цих функцій можна вибрати довільно, а друга визначається з даного рівняння.
2. За правилом похідна добутку рівна y=u*v,то y'=u'v+uv'.
3.Підставимо запис функції y=u*v та похідної y'=u'v+uv' у рівняння y'+p(x)*y=g(x) і одержимо u'v+uv'+p(x)*u*v= g(x). Згрупуємо другий і третій доданки, винісши спільний множник (u) за дужки і прийдемо до диф. рівняння u'v+u(v'+p(x)*v)=g(x).
4.Спершу визначаємо частинний розв'язок v=v(x), для цього розв'язуємо диф. рівняння v'+p(x)*v=0 і за довільну сталу інтегрування беремо нуль (С=0). Дане рівняння є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.
5. Далі підставимо знайдену функцію v=v(x) в вихідне диф. рівняння u'v+uv'+p(x)*u*v= g(x), яке при цьому спроститься до u'v+u*0=g(x), тобто до диференціального рівняння з відокремлюваними змінними u'v(х)=g(x) відносно u(x). З цього рівняння знаходимо u=u(x)+С.
6.Маючи u=u(x) і v=v(x), знаходимо загальний розв'язок через добуток y=u*v=( u(x)+С)* v(x).
7. Якщо задана задача Коші, то з додаткової умови на розв'язок y(x0)=y0 довизначаємо константу С.

Приклад 1. (5.13) Знайти розв'язок задачі Коші:
задачі КошіРозв'язання: Маємо неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку. Запишемо його у правильному вигляді, для цього перенесемо y в праву сторону функцію
диференціальне рівняння
Далі за схемою Бернуллі робимо заміну змінних y=u*v, y'=u'v+uv', де u=u(x) і v=v(x).
Враховуючи, що множники в лівій частині рівні
і y2=u2v2
отримаємо таке рівняння

Згідно алгоритму Бернуллі рівняння розділимо на 2, для цього дужку зліва (виділена чорним) прирівняємо до нуля
диф. рівняння
Зводимо до диференціального рівняння з відокремленими змінними
диференціальне рівняння з відокремленими змінними
та розв'язуємо інтегруванням
інтегрування рівняння
В результаті отримали експоненту з від'ємним показником синуса. При цьому вихідне диференціальне рівняння достатньо спроститься для відшукання другої, невідомої поки що функції
диф. рівняння
Перенесемо експоненту з від'ємним показником в праву сторону

та зведемо до диференціального рівняння з відокремленими змінними
рівняння в диференціалах
Інтегруванням рівняння в диференціалах

обчислюємо розв'язок диференціального рівняння

Як описано на початку, загальний розв'язок диференціального рівняння рівний добутку функцій
загальний розв'язок диференціального рівняння
Але це ще не кінцева відповідь до завдання. Знайдемо частковий розв'язок диференціального рівняння (задача Коші), для цього знаходимо сталу з початкової умови на функцію
задача Коші
Стала рівна нулю. Це дозволяє спростити формулу розв'язку диф. рівняння, хоча мало хто з Вас побачить дану підказку
частковий розв'язок диференціального рівняння
Ми знайшли частковий розв'язок диференціального рівняння і він рівний експоненті в степені "ікс" y=ex.

 

Приклад 2. (5.19) Знайти розв'язок задачі Коші:
задача Коші, диференціальне рівнянняРозв'язання: Задано неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку, яке можна подати у вигляді
неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку
Виконуємо заміну змінних у рівнянні:
аміна змінних, де "у" і "в" приймають функційні залежності
Знаходимо вирази, що фігурують в рівнянні

та підставимо їх у вихідне диференціальне рівняння
спрощення диф. рівняння
Далі схема обчислень полягає в розділенні змінних. За алгоритмом Бернуллі вираз, що містить "v" прирівняємо до нуля
алгоритм Бернуллі
Записуємо рівняння через диференціали
рівняння в диференціалах
і перетворюємо до диф. рівняння з відокремленими змінними
диф. рівняння з відокремленими змінними
При інтегруванні правої та лівої частин

отримаємо логарифм та синус.

Далі експонуємо праву та ліву частину та отримаємо одну з невідомих функцій
розв'язок диференціального рівняння
Початкове диференціальне рівняння при цьому спроститься до вигляду
диф. рівняння
Експоненту у відємному показнику переносимо вправо від знаку рівності

Далі розписуємо рівняння через диференціали (/2)
рівняння в диференціалах
та зводимо до рівняння з відокремленими змінними
рівняння з відокремленими змінними
Інтеграл в правій частині виглядає важким для числення, але якщо внести дужку під диференціал, то отримаємо показник експоненти
інтегрування
Остаточно після інтегрування отримаємо

Загальний інтеграл диференціального рівняння записуємо через добуток функцій
загальний інтеграл диференціального рівняння
Щоб знайти частковий розв'язок диференціального рівняння (задача Коші) використаємо початкову умову
умова Коші
З неї встановимо сталу та підставимо у рівняння часткового розв'язку диференціального рівняння
частковий розв'язок диференціального рівняння
На цьому і побудований алгоритм Бернуллі обчислень диференціальних рівнянь такого типу.