Серед прикладів границь функцій часто зустрічаються функції з коренями, які не завжди зрозуміло як розкривати. Найпростіше коли маємо приклад границі з кореневою функцією вигляду
границя функції
Розв'язання просте і зрозуміле кожному.
Труднощі виникають, якщо маємо наступні приклади функцій з коренями.

Приклад 1. Обчислити границю функції.
границя функції
При прямій підстановці точки x=1 бачимо, що і чисельник і знаменник функції
границя функції
перетворюються в нуль, тобто маємо невизначеність 0/0.
Для розкриття такої невизначеності слід помножити вираз, що містить корінь на спряжений до нього та застосувати правило різниці квадратів Для заданого прикладу перетворення будуть наступними
границя функції
границя функції
границя функції
Границя функції рівна 6. Без наведеного правила її важко було б знайти.
Розглянемо подібні приклади обчислення границі на дане правило.

 

Приклад 2. Обчислити границю функції
границя функції
При підстановці x=3 отримаємо невизначеність виду 0/0.
Її розкриваємо множенням чисельника і знаменника на спряжене до чисельника.
границя функції
границя функції
Чисельник розкладаємо за правилом різниці квадратів
границя функції
границя функції
Ось так просто знайшли границю функції.

 

Приклад 3. Знайти границю функції
границя функції

Бачимо, що маємо невизначеність виду 0/0.
Позбуваємося кореня в знаменнику
границя функції
границя функції

Границя функції рівна 8.


Тепер розглянемо інший тип прикладів, коли змінна прямує до безмежності.

Приклад 4. Обчислити границю
границя функції
Маємо границю типу безмежність мінус безмежність. Множимо і ділимо на спряжений множник та використовуємо правило різниці квадратів
границя функції
Границя функції рівна -2,5.

 

Приклад 5. Знайти границю функції
границя функції
Границя еквівалента безмежність мінус безмежність
границя функції .
Помножимо і поділимо на спряжене та виконаємо спрощення
границя функції
границя функції
Винісши змінну в чисельнику та знаменнику можемо здогадатися до чого прямує функція.

 

Приклад 6. Чому рівна границя функції?
границя функції
Маємо невизначеність виду безмежність мінус безмежність
границя функції
Виконуємо перетворення з кореневими функціями
границя функції
границя функції
Границя рівна -2.

Добре перегляньте методику розкриття невизначеностей, алгоритм досить простий і допоможемо знайти складну границю.

Переглянути подібні матеріали