Ефективним способом знаходження границь функцій, які мають особливості типу безмежність розділити на безмежність чи нуль розділити на нуль (0/0) є застосування правила Лопіталя: границя відношення двох нескінченно малих або двох нескінченно великих функцій рівна границі відношення їх похідних, якщо такі існують

правило Лопіталя

Розкриття невизначеностей виду нескінченність мінус нескінченність, нуль помножити на нескінченність, нуль в степені нескінченність або навпаки зводиться попередньо до розглянутих вище невизначеностей (правила Лопіталя). Якщо одна функція прямує до нуля, а друга до безмежності при змінній прямуючій до певного значення , то для застосування правила Лопіталя необхідно виконати наступні перетворення
правило Лопіталя
правило Лопіталя
У випадку трьох останніх невизначеностей () потрібно застосовувати перетворення
перетворення
Розглянемо деякі приклади із збірника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. "Вища математика" на застосування правила Лопіталя.

Приклад 1. Знайти границі.

1) (5. 626) границя

Розв'язок. Підстановкою встановлюємо, що маємо невизначеність виду нуль на нуль (0/0). Щоб її позбутися застосуємо правило Лопіталя
правило Лопіталя
обчислення границі
Границя функції рівна 1/4.

 

2) (6. 629)знайти границю

Розв'язок. Як і у попередньому прикладі маємо невизначеність (0/0). За правилом Лопіталя обчислюємо похідну окремо чисельника і знаменника
обчислення границі
Другий доданок в чисельнику є сталою, тому його похідна рівна нулю.

 

3) (6. 634) знайти границю

Розв'язок. Враховуючи особливість (0/0) застосовуємо формулу Лопіталя
обчислення границі
Показникові функції в нулю рівні одиниці, тому залишаться тільки логарифми.

 

4) (4. 639) знайти границю

Розв'язок. Розкриваємо невизначеність виду (0/0)
правило Лопіталя
Чисельник та знаменник перетворимо до суми синусів на основі правила добутку

В результаті запишемо чисельник і знаменник через формули


Підставимо знайдені значення в границю
обчислення границі
Знову отримали особливість 0/0, тому повторно застосовуємо правило Лопіталя
правило Лопіталя

Похідна від синуса рівна косинусу, ну і осільки маємо складену функцію то множимо на похідну від залежності під синусом. При граничному переході враховано, що косинус функція прямує до одиниці при змінній, що прямує до нуля .

 

5) (4. 645)знайти границю

Розв'язок. Маємо особливість виду безмежність розділити на безмежність невизначеність.
Знайдемо похідні логарифмів
правило Лопіталя
обчислення границі
Після підстановки отримаємо дві функції, одну з яких знаходимо через першу чудову границю.

 

6) (4. 668) знайти границю

Розв'язок. Зводимо функцію під формулу другої чудової границі
друга чудова границя
Отримали у результаті обчислень експоненту.
Застосування правила Лопіталя показало переваги знаходження границі при розкритті невизначеностей. Користуйтеся формулою Лопіталя на практиці і Вам не буде важко знаходити подібні границі у навчанні.

 

Переглянути подібні матеріали