З даної статті розпочинаємо цикл публікацій, які навчать Вас знаходити особливості в границях, класифікувати особливості та застосовувати правильну методику розкриття.
Справа полягає в тім, що є багато правил та прийомів, які дозволяють по вигляду заданої функції чи послідовності швидко зорієнтуватися як знаходити границю. Проте при вивченні теоретичного матеріалу чи на практиних Вам або на цьому не наголошують, або Ваші думки гуляють за межами аудиторії. 
Для охоплення всього матеріалу ми зібрали багато прикладів із студентської практики, модулів, контрольних, замовлень і спробуємо тут роз'яснити, як і в яких випадках методики застосовувати.

 

Приклад 1. Обчислити границю послідовності:

Розв'язання: При підстановці безмежності отримаємо невизначеність типу безмежність розділити на безмежність. Розділимо чисельник і знаменник на змінну в найбільшій степені і скоротимо на неї чисельник і знаменник. В результаті позбудемося невизначеності, а доданки що залишаться будуть прямувати до нуля при великих номерах послідовності

Всі сталі, що залишаться і вкажуть куди прямує границя.

 

Приклад 2. Обчислити границю послідовності:

Розв'язання: При прямій підтановці нескінченно великого номера матимемо невизначеність безмежність мінус безмежність.
Правило розкриття такого типу невизначеності добре розписане в літературі і полягає в домноженні і розділенні невизначеності на множник спряжений до неї.
Як правило такі приклади містять корені і щоб їх позбутися використовуємо множення на спряжений множник, що призводить до різниці квадратів або кубів,  в той час в знаменнику (або чисельнику) отримаємо вираз з коренем, що не містить невизначеності.
Далі з чисельника і знаменника виділяємо домінуючий множник та спрощуємо на нього.
Всі сталі, що залишаться і складуть границя послідовності.
Мовою формул це матиме запис

 

 

Приклад 3. Знайти границю функції:

Розв'язання: При підстановці x=3 отримаємо невизначеність 0/0.
Це означає, що і чисельник і знаменник містять особливість.
Для розкриття невизначеності  виділимо у чисельнику  (x-3), а знаменник домножимо та розділимо на спряжений вираз .
В результаті отримаємо множник (x-3), на який спрощуємо дріб. Далі границя обчислюється методом підстановки змінної

 

Приклад 4. Знайти границю функції:

Розв'язання: Завдання для більшості студентів надзвичайно складне, а все тому що маємо звести невизначеність типу 0/0 до відомих випадків.
В результаті перетворення функцій отримаємо вирази виду ln(1+x)/x, tan(x)/x, sin(x)/x при змінній прямуючій до нуля.
Далі виділяємо першу важливу границю та її наслідки і розписуємо через добуток відомих границь.
Все решта зводиться до добутку одиниць та окремого множника, який і є границею заданої функції.

Уважно розберіть наведений приклад, він багато Вас навчить.
На практиці доволі важко знайти умову, яка б поєднувала декілька формул, тому вчіться на складних прикладах.
Тоді точно не матимете складнощів в обчисленні простих завдань.

 

Приклад 5. Обчислити границю функції:

Розв'язання: Підстановка 3 в функцію дає особливість типу одиниця в степені безмежність. Для її розкриття і в функції в дужках і в дробі, що є показником виділяємо частину, що вносить особливість (х-3).
Далі для спрощення маніпуляцій з виразами робимо заміну змінних x-3=t, нова змінна при цьому прямує до нуля.
Після цього виділяємо другу чудову границю та шукаємо границю показника, що залишився.

На цьому розбір поширених прикладів, які поширені в навчальній практиці не завершується.
В сусідній публікації будуть проаналізовані нові завдання, які допоможуть Вам швидше освоїти теоретичний матеріал та підготуватися до контрольної, модуля, екзамену.