Обчислення визначників другого, третього та старших порядків можна швидко здійснити за допомогою програми-калькулятора YukhymCalc. Завантажити її можна за посиланням вкінці статті, а зараз розглянемо як виникли визначники та правила їх обчислення.

Розв'язування багатьох задач математики, економіки, статистики, механіки, зводиться до розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.система лінійних алгебраїчних рівняньВ результаті обчислень отримуємо, що система має один розв'язок, безліч або немає жодного.
Давайте вияснимо від чого це залежить?
Розглянемо, для прикладу два лінійних рівняння з двома невідомими:

систем двох алгебраїчних рівнянь

Для розв'язування цих рівнянь ми повинні помножити їх на відповідні множники, при яких виключається одне з невідомих або : перше на мінус друге на для знаходження ; друге на мінус перше на для знаходження

На основі цього знаходимо вирази для обчислення коренів системи рівняньрозвязок 1, формула

розвязок2, формулаФормули вірні при умові, що знаменник не дорівнює нулюЯкщо знаменник рівний нулю ,то система рівнянь або немає розв'язку, або має нескінченну кількість розв'язків. Вирази в знаменнику (), які фігурують у двох формулах, називають визначником і позначаютьвизначник, позначення

Визначником другого порядку називається число, яке дорівнює різниці добутків елементів головної і допоміжної діагоналей, тобтовизначник другого порядку, формулаВизначником третього порядку знаходять за правилом трикутників

визначник третього порядку, формулавизначник третього порядку, формулаЦе правило легко запам'ятати, якщо дописати поряд з визначником перший та другий його стовпці.

правило Саррюса, формула

Даний метод обчислення визначника третього порядку називається правилом Саррюса. В процесі обчислень систем лінійних рівнянь встановлено, що визначники рівні сумі доданків, які визначаються як добуток елементів, взятих по одному водночас з кожного рядка і стовпця. Для системи трьох рівнянь в добуток входить три елементи, чотирьох – чотири і т. д. Кількість доданків в визначнику в загальному рівна факторіалу кількості рівнянь. У випадках нульових коефіцієнтів при невідомих знаходження визначника спрощується. Для обчислення визначників старших порядків використовують правила.

ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧНИКІВ

1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки замінити стовпчиками, причому кожен рядок замінюють стовпчиком з тим же самим номером (транспонування).

2. Якщо у визначнику поміняти місцями лише два рядки (або два стовпчики), то визначник змінює знак на протилежний, зберігаючи своє абсолютне значення.

3. Якщо визначник має два однакових стовпчики або два однакових рядки, то він рівний нулеві.

4. Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики), то його значення дорівнює нулю. Якщо елементи деякого рядка (стовпчика) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпчика) помножити на стале число, то значення визначника також помножиться на це число. Звідси слідує, що спільний множник всіх елементів рядка (стовпчика) можна винести за знак визначника.

Як і коли застосовувати основні властивості визначників для спрощення розрахунків Ви знатимете прочитавши наведені в посиланні приклади.

 

 Визначник -го порядку, за правилом, рівний сумі добутків елементів довільного рядка або стовпця, на відповідні алгебраїчні доповнення. Уявно викреслимо у визначнику -го порядку -й рядок і -й стовпець, а з решти елементів утворимо визначник ()-го порядку зі збереженням розміщення рядків і стовпців. Отриманий визначник називається мінором визначника і позначається

Алгебраїчне доповнення елемента визначника можна подати у виглядіалгебраїчне доповнення, формула

Приклад 1 Знайти визначник 4-го порядку

матриця 4-го порядку

Розв'язок. Розкладемо визначник за елементами другого стовпця

Перший визначник розкладемо за першим рядком


Другий обчислимо за правилом


Підставляючи в формулу для визначника, отримаємо


Матричний калькулятор YukhymCALC виконує дані обчилення і виводить результат, швидше ніж Ви зможете ввести відповідні матриці. В результаті отримаємо наступний результат

*** МАТРИЦІ ***
Визначник матриці
Вхідні дані
A=(3;1;-2;1)
(1;-2;1;0)
(4;0;-1;-3)
(-2;0;3;-1)
Det(A)=3*(-2*(-1)*(-1)+1*(-3)*0+0*0*3-(0*(-1)*0+1*0*(-1)+(-2)*(-3)*3))-1*(1*(-1)*(-1)+1*(-3)*(-2)+0*4*3-(0*(-1)*(-2)+1*4*(-1)+1*(-3)*3))-2*(1*0*(-1)+(-2)*(-3)*(-2)+0*4*0-(0*0*(-2)+(-2)*4*(-1)+1*(-3)*0))-1*(1*(-1)*(-1)+1*(-3)*(-2)+0*4*3-(0*(-1)*(-2)+1*4*(-1)+1*(-3)*3))=3*(-2+0+0+0+0-18)-1*(1+6+0+0+4+9)-2*(0-12+0+0-8+0)-1*(0-4+0+0+24+0)= 3*(-20)-1*(20)-2*(-20)-1*20=-60-20+40-20=-60
Завантажте калькулятор і Ви завжди зможете перевірити правильність обчислення визначника 3-4 порядку. Пам'ятайте, що Ви можете помилитися, калькулятор - ні!