Знаходження оберненої матриці є важливою складовою в розділі лінійної алгебри. З допомогою таких матриць, якщо вони існують, можна швидко знайти розв'язок системи лінійних рівнянь або обчислити матричне рівняння A*X=B.
Матриця A-1 називається оберненою до матриці A, якщо виконуються наступні рівностіумова існування оберненої матриціЯкщо визначник матриці A відмінний від нуля, то матрицю називають неособливою або невиродженою. Для того, щоб матриця мала обернену необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

АЛГОРИТМ ЗНАХОДЖЕННЯ ОБЕРНЕНОЇ МАТРИЦІ

Нехай маємо квадратну матрицюквадратна матрицяі потрібно знайти обернену до неї. Для цього потрібно виконати наступні дії:

1. Знайти визначник матриці . Якщо він не рівний нулю то виконуємо наступні дії. В іншому випадку дана матриця вироджена і для неї не існує оберненої.

2. Знайти алгебраїчні доповнення елементів матриці A. Вони рівні мінорам, помноженим на (-1)i+j в степені суми рядка і стовпця, для якого шукаємо.

3. Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень елементів матриці A та протранспонувати її. Ця матриця називається приєднаною або союзною і позначається "А з хвиькою" .

4. Поділити приєднану матрицю на детермінант . Отримана матриця буде оберненою та задовільнятиме властивостям, які викладені на початку статті.

обернена матриця, формула
Розглянемо приклади обчислення оберненої матриці.

Приклад 1. Знайти матрицю, обернену до матриці (Дубовик В.П., Юрик І.І. "Вища математика. Збірник задач")

1) (1.127)

Розв'язок. Обчислюємо визначник матриці
визначник матриці, обчислення
Так як детермінант не рівний нулю (), то обернена матриця існує. Знаходимо матрицю, складену з алгебраїчних доповнень

Матриця доповнень набуде вигляду
матриця доповнень
Транспонуємо її і отримуємо приєднану
приєднана матриця, обчислення
Поділимо матрицю на визначник і отримаємо обернену
обернена матриця
Бачимо, що у випадку, коли визначник рівний одиниці приєднана і обернена матриці співпадають.

 

2) (1.130)

Розв'язок. Рахуємо визначник матриці 3 порядку
визначник матриці, обчислення
визначник матриці, обчислення
визначник матриці, обчислення
Знаходимо матрицю алгебраїчних доповнень . Для наглядності ми випасали як це робити через мінори (детермінанти) другого порядку
алгебраїчні доповнення, обчислення, знаходженняалгебраїчні доповнення, обчислення, знаходження
алгебраїчні доповнення, обчислення, знаходження
алгебраїчні доповнення, обчислення, знаходження
алгебраїчні доповнення, обчислення, знаходження
алгебраїчні доповнення, обчислення, знаходження
алгебраїчні доповнення, обчислення, знаходження
алгебраїчні доповнення, обчислення, знаходження
алгебраїчні доповнення, обчислення, знаходження
Кінцевий вигляд матриці доповнень наступний
матриця алгебраїчних доповнень
Протранспонувавши її, знайдемо союзну матрицю
союзна матриця
Далі знаходимо обернену матрицю

обернена матриця, знаходження
Посідовність дій досить проста, головне тут навчитися знаходити мінори, а вже через них алгебраїчні доповнення.

 

3) (1.133)

 

Розв'язок. Обчислимо детермінант матриці 4 порядку. Для цього розкладемо його за першим рядком (містить два нульові елементи). В результаті отримаємо два відмінні від нуля доданки
визначник матриці, обчислення
визначник матриці, обчислення

Знаходимо матрицю алгебраїчних доповнень . Розклад визначника проводимо по рядках і стовпцях, в яких найбільше нульових елементів (позначені чорним кольором).
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
алгебраїчні доповнення, обчислення
Ми тільки що знайшли 16 мінорів-визначників третього порядку. Знак перед визначником перетворює мінор в алгебраїчне доповнення.
Записуємо результати обчислень в матрицю доповнень
матриця доповнень
Протранспонувавши її, знаходимо приєднану матрицю
приєднана матриця
Оскільки визначник головної матриці рівний одиниці, то обернена матриця співпадає з приєднаною. Даний приклад повністю розв'язано.

Якщо у Вас в результаті обчислень виходить неправильна відповідь, то математичний калькулятор YukhymCalc допоможе перевірити правильність зроблених обчислень (завдяки можливості виводу всіх проміжних операцій). Також Ви можете перевірити правильність інших дій з матрицями (множення, обчислення визначників). Фрагмент меню калькулятора зображено на рисунку нижче. Тож завантажуйте його та користуйтеся на здоров'я.


При обчисленнях оберненої матриці найтиповішими є помилки пов'язані з неправильними знаками при обчисленні визначника та матриці доповнень. Будьте уважними в таких випадках і не допускайте помилок !