Знайти моду, медіану, дисперсію та інші характеристики вчать в курсі ймовірності для аналізу статистичного розподілу вибірки. Якщо мати заготовлені формули або методичку, то саме по собі обчислення числових характеристик статистичних вибірок не є складним. Однак на контрольних чи індивідуальних завданнях, а ще для заочників все завжди виглядає складнішим ніж є насправді. Нижче наведені розв'язки, які багато речей з ймовірності зроблять для Вас простими та зрозумілими. Головне не спішіть і в подібних завданнях поступайте по аналогії.

Індивідуальне завдання 1
Варіант 8

Завдання 1.Побудувати статистичний розподіл вибірки, записати емпіричну функцію розподілу та обчислити такі числові характеристики:

  1. вибіркове середнє;
  2. вибіркову дисперсію;
  3. підправлену дисперсію;
  4. вибіркове середнє квадратичне відхилення;
  5. підправлене середнє квадратичне відхилення;
  6. розмах вибірки;
  7. медіану;
  8. моду;
  9. квантильне відхилення;
  10. коефіцієнт варіації;
  11. коефіцієнт асиметрії ;
  12. ексцес для вибірки:

Вибірка задана наступними значеннями
4, 9, 7, 4, 7, 5, 6, 3, 4, 5, 7, 2, 3, 8, 5, 6, 7, 4, 3, 4.

Розв'язання: Записуємо вибірку у вигляді варіаційного ряду (у порядку зростання):
2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9.
Запишемо статистичний розподіл вибірки у вигляді дискретного статистичного розподілу частот:

Значення емпіричної функції розподілу визначаємо за формулою

де nx кількість елементів вибірки, що менші за х. Використовуючи таблицю, а також враховуючи, що обсяг вибірки n=1+3+5+3+2+4+1+1=20, запишемо емпіричну функцію розподілу:
емпірична функція розподілу
Далі обчислимо числові характеристики статистичного розподілу вибірки.

1. Вибіркове середнє обчислюємо за формулою
вибіркове середнє

2. Вибіркову дисперсію обчислюємо за формулою
дисперсія, формула

дисперсія

3. Підправлену дисперсію встановлюємо за формулою
підправлена дисперсія

4. Вибіркове середнє квадратичне відхилення обчислюємо за формулою
вибіркове середнє квадратичне відхилення

5. Підправлене середнє квадратичне відхилення знаходимо за формулою


6. Розмах вибірки обчислюємо як різницю між найбільшим і найменшим значеннями її варіант, тобто:
Розмах вибірки

7. Медіану визначають за формулами:
якщо число n – парне;
якщо число n – непарне.
Тут беремо індекси в x[i] згідно з нумерацією варіант у варіаційному ряді.
У нашому випадку п=20, тому


8. Мода – це варіанта, яка у варіаційному ряді трапляється найчастіше, тобто


9. Квантильне відхилення знайдемо за формулою
Квантильне відхилення
половини різниці – третього та – першого квантилів.
Самі ж квантилі отримуємо штучним розбиттям варіаційного ряду на 4 однакові частини. У нашому випадку


10. Коефіцієнт варіації обчислюємо за формулою
Коефіцієнт варіації

11. Коефіцієнт асиметрії знаходимо за формулою
Коефіцієнт асиметрії
Тут m3 центральний емпіричний момент 3-го порядку,

Звідси коефіцієнт асиметрії рівний 0,3


12. Ексцесом EB статистичного розподілу вибірки називається число, яке знаходять за формулою:

В чисельнику маємо m4 центральний емпіричний момент 4-го порядку,
центральний емпіричний момент 4-го порядку
Момент та середня квадратичне відхилення підставляємо у формулу та визначаємо ексцес

З того, як все доступно і зрозуміло на практиці виглядає робимо висновок, що знайти моду, медіану та дисперсію повинен вміти кожен, хто вивчає ймовірність.

Індивідуальні завдання з ймовірності