Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню математичного сподівання M(X) може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.

Наприклад. Закони розподілу двох випадкових величин X і Y задані таблицями:

Обчислити математичне сподівання M(X) і M(Y)

Розв'язання. Знаходимо математичне сподівання за формулами


Отримали, що для двох різних законів розподілу математичні сподівання приймають однакові значення (0), при цьому можливі значення для випадкових величин X і Y різняться. Із наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань (M(X)=M(Y)=0) випадкові величини X і Y мають тенденцію до коливань відносно M(X) та M(Y) причому Y має більший розмах розсіювання відносно M(Y) порівняно з випадковою величиною X відносно M(X). Тому математичне сподівання ще називають центром розсіювання. Для визначення розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.
Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини X від свого математичного сподівання Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини X завжди дорівнює нулю. В цьому легко переконатися із наступного співвідношення

Таки чином, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини.

Дисперсією випадкової величини X називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини X від свого математичного сподівання (X-M(X))

Для дискретної випадкової величини X дисперсія обчислюється за формулою

для неперервної знаходять інтегруванням

Якщо неперервна величина задана на інтервалі то дисперсія рівна інтегралу зі сталими межами інтегрування

Властивості дисперсії

1. Якщо випадкова величина складається з однієї тотчки С=const — стала величина, то дисперсія рівна нулю D(C)=0.

2. Дисперсія від добутку сталої на випадкову величину рівна квадрату сталої помноженому на дисперсію випадкової величини

3. Якщо A і B — сталі величини, то для дисперсії D(A*X+B) справедлива залежність

Це випливає з двох попередніх властивостей.
Дисперсію можна обчислити за спрощеною формулою:

яка у випадку дискретної випадкової величини X має вигляд

для неперервної визначається залежністю

і для неперервної на проміжку співвідношенням

Наведені формули дуже зручні в обчисленнях, і їх, на відміну від попередніх, використовують в навчанні

Також слід пам'ятати, що дисперсія завжди приймає невід'ємні значення . Вона характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання. Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.

Для порівняння зручно зручно користуватися числовими характеристиками однакової розмірності з випадковою величиною. Для цього вводять в розгляд середнє квадратичне відхилення – корінь квадратний із дисперсії. Її позначають грецькою літерою «сігма»

середнє квадратичне відхилення, формула

Розглянемо приклади для ознайомлення з практичною стороною визначення цих величин.

Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини X задано таблицею:Обчислити дисперсію D(X) та середнє квадратичне відхилення .

Розв'язання. Згідно з властивостями дисперсії знаходимо
дисперсія
Математичне сподівання обчислюємо за формулоюМатематичне сподівання

Далі знаходимо M(X2)


та дисперсію
дисперсія
Середнє квадратичне відхилення рівне ореню з дисперсії
середнє квадратичне відхилення
На цьому обчислення завершені і Ви можете переконатися, що знаходження імовірнісних характеристик на практиці доволі просто реалізувати. Кому важко все це рахувати вручну, можна написати програмку в Exel, Pascal. З однієї сторони не важко, з другої - один раз зробии і постійно користуєтеся.

 

Приклад 2. Маємо чотири електричні лампочки, кожна з яких має дефект з імовірністю q=0,2 (p=1-q=0,8 — імовірність того, що лампочка без дефекту). Послідовно беруть по одній лампочці, вкручують у патрон і вмикають електричний струм. Під час вмикання струму лампочка може перегоріти, і її заміняють на іншу. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини X — число лампочок, які будуть випробувані. Обчислити середнє квадратичне відхилення

Розв'язання. Дискретна випадкова величина X — число лампочок, які будуть випробувані — набуває таких можливих значень:

Обчислимо відповідні ймовірності:




Останню ймовірність можна трактувати наступним чином: четверта лампочка буде випробувана, коли третя перегорить, а четверта — ні, або коли й четверта перегорить.
У табличній формі закон розподілу X матиме наступний вигляд:

Для знаходження середнього квадратичного відхилення знайдемо спочатку значення дисперсії. Для дискретної випадкової величини знаходимо спершу математичні сподівання:
Математичне сподівання



Знаходимо дисперсію випадкової величини
дисперсія
Середнє квадратичне відхилення знаходимо добуванням кореня квадратного із дисперсії.
середнє квадратичне відхилення
Завдання завершено встановленням усіх потрібних характеристик. Основна хитрість тут у тому, що для середнього квадратичного відхилення хоч не хоч, а потрібно шукати всі попередні величини.

 

Приклад 3. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини X задано у вигляді функціїОбчислити середнє квадратичне відхилення і дисперсію

Розв'язання. За допомогою функції розподілу ймовірностей формуємо закон розподілу у вигляді таблиці

На основі таблиці розподілу обчислюємо просту медіану, медіану квадрату величини.Математичне сподівання



Далі знаходимо дисперсію
дисперсія
та середнє квадратичне відхилення
середнє квадратичне відхилення

Подібних прикладів можна навести велику кількість, основна їх суть в правильному застосуванні наведених на початку статті формул для обчислення дисперсії та математичного сподівання. Застосовуйте їх там де це необхідно і не допускайте помилок при визначенні дисперсії.