Досить часто на практичних заняттях доводиться обчислювати задачу про трикутник на площині. Суть її полягає в тому, що відомо три точки, які не лежать на одній прямій - утворюють трикутник. Потрібно скласти рівняння сторін, висот, медіан і бісектрис, також часто і кути між сторонами трикутниа. Завдання не складні в плані обчислень, проте добре потрібно знати властивості векторного та скалярного добутку. Нижче наведена схема обчислення трикутника на площині.
Також вкінці для Вас бонус - математичний калькуятор під відовс, який обчилює задачу про трикутник на площині на автоматі. Достатньо лише ввести три точки і за секунду любуватися результатом. Скачати калькулятор можуть всі, його розповсюдження є безкоштовним.

Приклад 1. На площині задано трикутник з вершинами
, , .

Потрібно знайти:

1) довжину сторони

2) скласти загальне рівняння медіани, висоти та бісектриси кута ;

3) знайти відстань від вершини до медіани;

4) знайти кут між медіаною і висотою (у градусах).

Розв'язок.
1) Довжина сторони


2) Загальне рівняння медіани, висоти та бісектриси кута
Побудуємо рівняння медіани, яка ділить протилежну сторону пополам в точці . Знайдемо її


Побудуємо загальне рівняння прямої, що проходить через точки та

При підстановці точок отримаємо систему двох рівнянь

Віднімемо від першого рівняння друге

Отримане значення підставляємо в перше рівняння

.

Рівняння

Остаточне рівняння медіани матиме вигляд

.

Складемо загальне рівняння висоти

Для цього знайдемо кутовий коефіцієнт сторони

Кутовий коефіцієнт висоти, проведеної з вершини рівний

Рівняння висоти, що проходить через точку має вигляд

Знайдемо рівняння бісектриси За означенням бісектриса ділить кут пополам, тому де

З рівності кутів випливає залежність для визначення рівняння бісектриси

Знайдемо складові рівняння

Підставимо знайдені значення у рівняння

або після спрощень

3) відстань від вершини B до медіани Знайдемо відстань від вершини до медіани за форомулою

4) Кут між медіаною і висотою

Маємо дві точки медіани і рівняння висоти . Виберемо другу точку з рівняння висоти: , знаходимо. Обчислимо

Знайдемо косинус кута між векторами

Програма-калькулятор YukhymCalc обчислює дану задачу та виводить результати дій, а також розв'язує чимало типових для студетської практики математичних задач. Фрагмент розв'язку задачі про трикутник на площині наведено нижче.