В попередній статті ми обчислювали площу, рівняння висоти, медіани і бісектриси, якщо задано трикутник на площині 3 точками. З цієї статті Ви навчитеся обчислвати характеристики тривимірного тіла - тетраедра (трикутної піраміди). Крім розглянутих вище параметрів, тут потрібно знайти рівняння грані, довжину висоти, всеможливі кути, площу грані (трикутника), ну і на закуску об'єм піраміди. Розрахунків буде багато, тож не гайте часу і починайте вивчати інструкцію з обчислень.
Я і у випадку трикутника на площині, для трикутної піраміди ми теж написали відповідний код в математичному калькуяторі, але про це піде мова вкінці уроку.

Приклад 1. Тетраедр в просторі задано вершинами
A1(2;3;1), A2(4;2;1), A3(2;1;0), A4(5;2;10).
Потрібно знайти:
1) рівняння грані A1A2A3;
2) рівняння висоти піраміди, яка проходить через вершину A4 ;
3) довжину цієї висоти;
4) кут між ребром A1A4 і гранню A1A2A3 в градусах;
5) площу грані A1A2A3;
6) oб'єм піраміди.

Розв'язок.Виконуємо обчислення всіх величин в такому порядку.
1) Рівняння грані A1A2A3
Запишемо рівняння площини у вигляді
.
Оскільки всі три точки належать цій площині, то, підставляючи їх по черзі отримаємо систему рівнянь

В результаті обчислень отримаємо значення
.
Підставляючи в початкове рівняння матимемо
, або .

2) Рівняння висоти піраміди, яка проходить через вершину A4
Запишемо рівняння висоти піраміди, яка проходить через вершину A4
.

3) Висота, проведена з вершини A4

Знайдемо висоту, для цього знайдемо
Висоту знайдемо враховуючи рівняння грані , за формулою

4) Кут між ребром A1A4 і гранню A1A2A3 в градусах

Знайдемо кут між ребром і гранню () в градусах. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точки
, або
Знайдемо синус кута за формулою

Підставимо значення

Знайдемо значення кута

5) Площа грані A1A2A3

Площу грані знайдемо за формулою модуля векторного добутку

Обчислюємо вектори на яких побудована грань


Знаходимо площу грані за формулою

6) Об'єм піраміди

Знайдемо oб'єм піраміди за формулою мішаного добутку
, де



Складаємо визначник третього порядку та обчислюємо його

На цьому всі розрахунки.

Програма-калькулятор YukhymCalc розв'язує дану задачу, виводить резутати обчислень на екран та у файл, та обчислює чимало типових для студентської практики математичних задач на вектори, матриці, системи рівнянь. Фрагмент роботи калькулятора наведено нижче.