Логарифмом числа b за основою a позначають вираз logab. Обчислити логарифм означає знайти такий степінь x (logab=x), при якому виконується рівність ax=b.

Основні властивості логарифма

Наведені властивості необхідно знати, оскільки, на їх основі розв'язуються практично всі завдання і приклади пов'язані з логарифмами. Решта екзотичних властивостей можна вивести шляхом математичних маніпуляцій з даними формулами

1. logaa=1
2. loga1=0
3. сума логарифмів
4. різниця логарифмів
5. логарифм, властивості
6. логарифм, прехід до основи
7. логарифм, властивості
8. логарифм, властивості
9. логарифм, властивості
10. логарифм, властивості
11. логарифм, властивості
12. логарифм, властивості
13. логарифм, властивості
14. логарифм, властивості
15. логарифм, властивості

При обчисленнях формули суми та різниці логарифмів (3,4) зустрічаються досить часто. Решта дещо складні, але в ряді задач є незамінними для спрощення складних виразів та обчислення їх значень.

Поширені випадки логарифмів

Одними з розповсюджених логарифмів є такі в яких основа рівна десять, експоненті або двійці.
Логарифм за основою десять прийнято називати десятковим і спрощено позначати lg(x).
логарифм десятковий

Із запису бачимо, що основи в записі не пишуть. Для прикладу
логарифм десятковийлогарифм десятковийлогарифм десятковий

Логарифм натуральний – це логарифм у якого за основу експонента (позначають ln(x)).
логарифм натуральний

Експонента рівна 2,718281828…. Щоб запам'ятати експоненту можете вивчити правило: експонента рівна 2, 7 і два рази рік народження Лева Миколайовича Толстого. Знаючи це правило будете знати і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.

І ще один важливий логарифм за основою два позначають
логарифм двійковий

Похідна від логарифм функції рівна одиниці розділеній на змінну
похідна логарифма

Інтеграл або первісна логарифма визначається залежністю
первісна логарифма

Наведеного матеріалу Вам буде достатньо, щоб розв'язувати широкий клас задач пов'язаних з логарифмами і логарифмуванням. Для засвоєння матеріалу наведу лише кілька поширених прикладів хзі шкільної програми та ВУЗів.

Приклади на логарифми

Прологарифмувати вирази

Приклад 1.
1. х=10ас2 (а>0,с>0).
За властивостями 3,5 обчислюємо
логарифмування
логарифмування

2.
За властивістю різниці логарифмів маємо
логарифмування

3.
Використовуючи властивості 3, 5 знаходимо
логарифмування

4. де .

На вигляд складний вираз із використанням ряду правил спрощується до вигляду
логарифм, приклад
логарифм, приклад

Знаходження значень логарифмів

Приклад 2. Знайти х, якщо
обчислення логарифма

Розв'язання. Для обчислення застосуємо до останнього доданку 5 та 13 властивості
обчислення логарифма

Підставляємо у запис та сумуємо
значення логарифма

Оскільки основи рівні, то прирівнюємо вирази
логарифмічне рівняння

Приклад 3. Нехай задано значення логарифмів
логарифм числалогарифм числалогарифм числа логарифм числа

Обчислити log[a](x), якщо

Розв'язання: Логарифмуємо змінну, щоб розписати логарифм через суму доданків
знаходження логарифма
знаходження логарифма
знаходження логарифма

На цьому знайомство з логарифмами та їх властивостями тільки розпочинається. Вправляйтеся в обчисленнях, збагачуйте практичні навики – отримані знання Вам скоро знадобляться для розв'язування логарифмічних рівнянь. Вивчивши основні методи розв'язання таких рівнянь ми розширимо Ваші знання для іншої не менш важливої теми – логарифмічні нерівності...