Логарифмічними рівняннями називаються рівняння, що містять невідому величину під знаком логарифма або його основі (або в обох місцях одночасно). Їх легко звести до квадратних чи степеневих рівнянь відносно змінної, якщо знати властивості логарифма. Для прикладу, логарифмічними будуть наступні рівняння
логарифмічне рівняння
логарифмічне рівняння, приклад
логарифмічне рівняння

Необхідно відзначити, що під час розв'язку логарифмічних рівнянь необхідно враховувати область допустимих значень (ОДЗ): під знаком логарифма можуть знаходитись тільки додатні величини, в основі логарифмів – додатні, відмінні від одиниці. Проте знаходження ОДЗ деколи може бути дуже громіздким і на практиці маємо можливість вибрати: шукати ОДЗ або зробити перевірку коренів у рівняння.

Найпростішим логарифмічним рівнянням називають рівняння виду
логарифмічне рівняння

Його розв'язок обчислюється потенціюванням (знаходження числа або виразу за його логарифмом)
потенціювання

В деяких випадках, розв'язуючи логарифмічні рівняння, доцільно робити заміну змінної. Наприклад, у рівнянні
логарифмічне рівняння
зручно зробити заміну заміна і ми приходимо до квадратного рівняння. Причому обидва корені цього квадратного рівняння можна підставити в заміну, щоб знайти відповідне х.

Варто запам'ятати, що десятковий логарифм від одиниці з наступними нулями дорівнює кількості нулів у запису цього числа.
логарифм десятковий

Для десяткового логарифма від виразів вигляду 0,00001 в правило подібне. Він рівний кількості всіх нулів у запису цього числа, враховуючи і нуль цілих, взятих із знаком мінус. Для прикладу
логарифм десятковий

Перейдемо до розгляду практичних завдань. Уважно розгляньте їх розв'язання, це дозволить засвоїти деякі правила логарифмів та збільшить практичну базу, що стане в нагоді при проходженні ЗНО, контрольних і т.д.

 

Приклад 1. Розв'язати рівняння.
логарифмічне рівняння, приклад

Розв'язання. Використовуючи властивість логарифмів переписуємо рівняння у вигляді
логарифмічне рівняння
Робимо заміну змінних
заміна
та переписуємо рівняння у вигляді

Домножуємо на змінну y та записуємо у вигляді квадратного рівняння
квадратне рівняння
Обчислюємо дискримінант
дискримінант
Корені рівняння шукаємо за формулою
корені рівняння
Повертаємося до заміни змінних та знаходимо
потенціювання
потенціювання
Рівняння має два розв'язки
розв'язок
Обидва є котректними.

 

Приклад 2. Розв'язати рівняння.
логарифмічне рівняння, приклад

Розв'язання.Розкриваємо дужки та записуємо у вигляді суми логарифмів

Враховуючи властивості логарифма рівняння перетворимо до вигляду

Переносимо доданок за знаком рівності в праву сторону

та зводимо до добуту

Обидва множники прирівнюємо до нуля та знаходимо невідомі
потенціювання
потенціювання
Схема даного завдання досить поширена при обчисленні логарифмічних рівнянь, тому постарайтеся її завчити.

 

Приклад 3. Розв'язати рівняння
логарифмічне рівняння, приклад

Розв'язання. Перепишемо праву сторону у вигляді квадрату та прологарифмуємо за основою 10 обидві частини рівняння

Виконаємо заміну змінних
заміна
та зведемо рівняння до квадратного
квадратне рівняння
Дискримінант такого рівняння приймає нульове значення, таке рівняння має два однакові розв'язки
корені рівняння
Повертаємося до заміни, яку виконували вище
потенціювання
отримали один корінь, який рівний 100.

 

Приклад 4. Розв'язати рівняння.
логарифмічне рівняння, приклад

Розв'язання. Виконаємо деякі перетворення з доданками рівняння
перетворення
перетворення
перетворення
Перетворення не складні і без знання властивостей логарифма їх не отримати, тож робіть висновки!
Логарифмічне рівняння при цьому спроститься до наступного
спрощення
Далі бачимо, що логарифми мають однакові основи. Це означає, що значення під знаком логарифма теж рівні.
На основі цього записуємо

Розписуємо рівняння та розв'язуємо за допомогою дискримінанту
квадратне рівняння
дискримінант
Знаходимо корені
корені рівняння
Другий корінь не може бути розв'язком, оскільки ніяке додатне число при піднесені до степеня не дасть в результаті -1.
Отже x=2 – єдиний розв'язок рівняння.

 

Приклад 5. Знайти розв'язок рівняння.
логарифмічне рівняння, приклад

Розв'язання. Виконуємо спрощення рівняння
спрощення
спрощення
спрощення
спрощення
За властивістю переходимо до другої основи у другому логарифмі
спрощення
спрощення
спрощення
За правилом логарифмування отримаємо

Зводимо рівняння до квадратного та розв'язуємо його
квадратне рівняння
дискримінант
Дискримінант рівний нулю, отже маємо один корінь кратності два
корінь рівняння

 

Приклад 6. Знайти розв'язок рівняння.
логарифмічне рівняння, приклад

Розв'язок. Задане рівняння та подібні до нього розв'язуються шляхом зведення до спільної основи. Для цього перетворимо праву сторону рівняння до вигляду

та підставимо у вихідне рівняння

Оскільки основи логарифмів рівні переходимо до показникового рівняння
спрощення
Виконуємо заміну змінних заміна та зводимо до квадратного рівняння
квадратне рівняння
дискримінант
корені рівняння
Після його обчислення повертаємося до попередньої заміни та обчислюємо
обчислення
обчислення
Отримали два прості розв'язки логарифмічного рівняння 2, 3.

 

Приклад 7. Знайти розв'язок рівняння.
логарифмічне рівняння, приклад

Розв'язок. Не лякайтеся подібних завдань, якщо робити все за правилами то рішення отримується без труднощів. Забігаючи вперед скажу, що корені в дужках до прикладу відношення не мають. Вони для того, щоб налякати простих математиків.
Спростимо спочатку другий логарифм
спрощення
Дальше виконуємо підстановку та зведення доданків під один логарифм
спрощення
Прирівнюємо до правої частини рівняння і спрощуємо
спрощення
спрощення
спрощення
потенціювання

Як бачите – розв'язування виявилося простіше ніж виглядало до обчислень, а результат x=100 лише підтверджує це.

При розв'язувані логарифмічних рівнянь важливо добре знати їх властивості. Без знання властивостей логарифма нічого не вийде. Це те саме, що без знання алфавіту пробувати ліпити речення.
Подальші обчислення зводяться, як правило, до розв'язання квадратних рівнянь чи степеневих залежностей відносно невідомих. Тож практикуйте самостійно і не майте труднощів з логарифмічними рівняннями.

Переглянути схожі матеріали: