Найпростіші формули для знаходження висоти циліндра, коли задано об'єм і радіус основи чи площу бічної поверхні і радіус Вам відомі з шкільного курсу. Тут розглянемо кілька тестових задач із ЗНО підготовки на знаходження висоти циліндра. Всі приклади добре обгрунтовані, наведених формул Вам вистачить, щоб розв'язати значну часитину задач на висоту циліндра.

Тема 38.6 Висота циліндра

Задача 38.9 Відрізок, який сполучає центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною основи кут alpha.
Даний відрізок розміщений на відстані d від центра нижньої основи.
Визначити висоту циліндра.


Розв'язання: Маємо циліндр з висотою OO1=H і радіусом нижньої основи OA=R.
Проведемо відрізок O1A, який сполучає центр верхньої основи циліндра O1 з точкою кола нижньої основи A.
Оскільки висота циліндра перпендикулярна до площини основи, то OO1⊥OA, і тоді OO1 – перпендикуляр, O1A – похила, що проведена з точки O1 до площини основи;
OA – проекція похилої O1A на площину основи, звідси слідує, що ∠OAO1=alpha – кут між відрізком O1A і площиною основи, а ΔOAO1 – прямокутний (∠AOO1=90).

За теоремою про суму кутів прямокутного трикутника, маємо ∠AO1O=90-alpha.
Проведемо відрізок OK=d – відстань від центра нижньої основи O до відрізка O1A, тоді OK⊥O1A, звідси ΔOKO1 – прямокутний (∠OKO1=90), у якого OK=d – протилежний катет до кута ∠KO1O=∠AO1O=90-alpha.
За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо гіпотенузу OO1=H:

В такий спосіб знайшли – висоту (довжина твірної) заданого циліндра.
Відповідь: – Б.

 

Задача 38.13 Осьовий переріз циліндра – квадрат ABCD зі стороною 2a.
Визначити найкоротшу відстань між точками A і C по поверхні циліндра.


Розв'язання: Маємо циліндр і його діагональний переріз – квадрат ABCD, сторонами якого є діаметр AD=BC=2a основи (кола) і твірні (висота) AB=CD=2a.
Відстань від точки A до точки C – діагональ AC осьового перерізу (квадрата ABCD). Найкоротша відстань від точки A до точки C по поверхні циліндра – ортогональна проекція діагоналі AC на бічну поверхню циліндра, тобто дуга AC.
Побудуємо розгортку заданого циліндра – прямокутник ABB'A'.

Оскільки квадрат ABCD – осьовий переріз циліндра, то твірна CD ділить прямокутник ABB'A' навпіл, тобто маємо AB=CD=2a і BC=AD=B'C=A'D.
AA'=BB' дорівнюють довжині кола основи циліндра:
AA'=BB'=π•AD=2aπ.
Звідси знаходимо

Оскільки циліндр прямий (інші в школі не розглядають), то AB⊥BC (твірні і вісь циліндра перпендикулярні до діаметра).
Із прямокутного трикутника ABC (∠ABC=90), в якому AB=2a і BC=aπ – катети, за теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу AC – довжину дуги:

(Якщо з'єднати точки A і C по поверхні циліндра з обох сторін (дивись рисунок), то отримаємо еліпс. Довжину еліпса не можливо обчислити точно (!) навіть за допомогою інтегрального числення методом математичного аналізу, тому поверхні обертання через їх розгортку дають можливість їх обчислити для своїх перерізів).
Відповідь: – В.

 

Задача 38.21 Осьовий переріз циліндра дорівнює S, а висота циліндра – H. Установити відповідність між величинами S і H (1–4) та об'ємом циліндра (А–Д).


Розв'язання: Маємо циліндр з осьовим перерізом (прямокутник AA1B1B), площа якого дорівнює (за умовою задачі), де H – висота циліндра.
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник AA1B1B, сторони AA1=BB1 якого є твірними циліндра (їх довжина дорівнює висоті H циліндра), а інші дві сторони AB=A1B1 – діаметри основ циліндра.
Отже, AA1=BB1=H і AB=A1B1=D.
Отже, , звідси маємо AB=D=S/H.
Радіус основи циліндра:

об'єм циліндра:

Обчислимо об'єм циліндра для кожного з наведених у тестах випадків:

 

Задача 38.34 На присадибній ділянці воду для поливу рослин зберігають у циліндричному резервуарі, діаметр основи якого дорівнює 2,5 м. Обчислити висоту резервуару з точністю до 0,01 м, якщо його місткість дорівнює 3 м3.

Розв'язання: В умові задачі задано циліндричний резервуар місткістю 3 м3.
Зробимо математичну модель задачі: резервуар замінимо на циліндр, а його місткість – це об'єм, який обчислюється за формулою:
V=Soc•H=πR2•H, де R – радіус основи і H – висота циліндра;
π~3.14 – відношення довжини кола до його діаметра.
Діаметр основи циліндра:
D=2R=2,5 м, звідси отримаємо R=D/2=1,25 м.
За умовою задачі: V=3 м3, тобто
πR2•H=3, π(1,25)2•H=3 звідси  знаходимо
– висота циліндра, тобто заданого резервуару.
Відповідь: 0,61 м.