Розглянемо готові відповіді до задач на знаходження повної площі та площі бічної поверхні циліндра. Задачі взято із посібника для ЗНО підготовки з математики. Формули, що тут наводяться вчать у 9-11 класі шкільної програми з геометрії, їх наводимо лише в задачах де це має зміст.

38.2 Площа поверхні циліндра

Задача 38.1 Знайти повну поверхню циліндра з радіусом 5 см і висотою 15 см.



Розв'язання: Маємо циліндр з висотою H=OO1=AA1=15 см, в основі якого лежить круг з радіусом R=OA=O1A1=5 см.
Повну поверхню циліндра (її площу) знаходимо за формулою:

де – площа основи циліндра (площа круга);
– площа бічної поверхні циліндра.
Це одні з поширених формул, тому добре запам'ятайте їх.
Відповідь: 200π см2 – Г.

 

Задача 38.5 Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 10 см.
Знайти площу бічної поверхні циліндра.

площа бічної поверхні циліндра
Розв'язання: Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою:
Sb=2πRH,
де R – радіус (основи) циліндра;
H – висота (довжина твірної) циліндра.
Осьовим перерізом циліндра є квадрат AA1B1B зі стороною 10 см (за умовою задачі), сторони AA1=BB1 якого є твірними циліндра (їх довжина дорівнює висоті H циліндра), тому H=10 см.
Дві інші сторони AB=A1B1=10 см – діаметри основ циліндра.
Вісь OO1 циліндра є віссю квадрата, його кінці ділять діаметр навпіл, тобто AO=OB=A1O=OB1=R=AB/2 см, де R=5 см – радіус циліндра.
Знаходимо площу бічної поверхні циліндра за формулою:

Відповідь: 100π см2 – Г.

 

Задача 38.11 Діагоналі осьового перерізу циліндра утворюють при перетині кут phi.
Визначити площу бічної поверхні циліндра, якщо площа його основи дорівнює S.


Розв'язання: Ще раз повторимо, що формула площі бічної поверхні циліндра має вигляд:
Sb=2π•R•H, де R – радіус (основи) циліндра;
H – висота (довжина твірної) циліндра.
В основі циліндра лежить круг, площа якого S (за умовою задачі).
Але площа круга розраховується за формулою:
Soc=π•R2=S, звідси отримаємо залежність
– радіус (основи) циліндра.
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник AA1B1B.

Вісь (висота) циліндра є віссю прямокутника, тобто ділить його на два рівних прямокутники.
Діагоналі AB1 і A1B прямокутника AA1B1B рівні і в точці перетину M діляться навпіл (за властивістю).
Тому ΔAMB – рівнобедрений з основою AB, а MO – висота, медіана і бісектриса, тому справедлива залежність

∠OMB=1/2•∠AMB=phi/2, ∠BOM=90.
Розглянемо прямокутний ΔBOM (∠BOM=90), у якого – катет протилежний до кута ∠OMB=phi/2.
За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо прилеглий катет OM:

Так як діагоналі AB1 і A1B прямокутника рівні і в точці перетину M діляться навпіл, то ΔAMB і ΔA1MB1 – рівні, звідси знаходимо
– висоту циліндра.
Маємо всі складові для обчислення площі бічної поверхні циліндра:

Завдання не з простих, зате отримали корисну для практики компактну формулу бічної поверхні.
Відповідь: – А.

 

 

Задача 38.15 У куб, ребро якого дорівнює a, вписано циліндр. Визначити повну поверхню циліндра.


Розв'язання: Знову задано приклад на виведення формул.
Запишемо формулу для знаходження повну поверхні (її площу) циліндра формулою:

де Soc=πR2 – площа основи циліндра (площа круга);
Sб=2πRH – площа бічної поверхні циліндра.
Циліндр вписаний у призму (циліндр вписаний у куб за умовою), якщо основи циліндра вписані в основу призми (коло вписано в квадрат), а висота циліндра дорівнює висоті призми.
Маємо куб з ребром a (у куба всі ребра рівні). Звідси слідує, що висота циліндра дорівнює ребру куба, тобто H=AA1=…=DD1=OO1=a.
Коло вписано в квадрат, якщо сторони квадрата дотикаються до кола, а центр кола лежить на перетині діагоналей квадрата.

Проведемо відрізок MO перпендикулярно до сторони AD, AC діагональ квадрата ABCD. Оскільки сторона квадрата є дотичною до кола, то MO=R=a/2 (тобто відрізок MO є радіусом кола (циліндра)), а також відрізок MO є середньою лінією ΔADC.
Площа повної поверхні циліндра розписуємо за формулою:

Після групування подібних доданків та сумування отримаємо просту квадратичну залежність площі поверхні циліндра від сторони описаного куба.
Відповідь: 3/2•π•a2 – Б.

Площа бічної поверхні

Задача 38.27 Кут між твірною циліндра і діагоналлю осьового перерізу дорівнює 600, площа основи циліндра дорівнює √3. Визначити площу бічної поверхні циліндра.
осьовий переріз циліндра
Розв'язання: Формула площі бічної поверхні циліндра:
Sб=2πRH,
площа основи:
Soc=πR2.
Але за умовою задачі основа відома Soc=√3, звідси можемо виразити радіус круга π•R2=√3.
Маємо осьовий переріз циліндра – прямокутник AA1B1,/B зі сторонами AA1=BB1=H (висота) і AB=A1B1=2R (діаметр циліндра), який проходить через вісь OO1 циліндра. ∠A1AB=60 – кут між твірною AA1 циліндра (тобто стороною прямокутника AA1B1B) і діагоналлю AB1 перерізу AA1B1B.

Із прямокутного трикутника AA1B1 (∠AA1B1=90), у якого A1B1=2R – протилежний катет до кута ∠A1AB1=60.
За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо прилеглий катет AA1=H – висоту циліндра:

Знаючи висоту без проблем запишемо формулу площі бічної поверхні циліндра:

Відповідь: 4.

 

Задача 38.22 Площа основи циліндра дорівнює S, а діагоналі осьового перерізу утворюють при перетині кут phi. Установити відповідність між величинами S і phi (1–4) та площею бічної поверхні циліндра (А–Д).


Розв'язання: (Розв'язок цієї задачі дивись у номері 38.11.)
Обчислимо площу бічної поверхні циліндра за знайденою формулою для кожного із тестових випадків:

 Далі розглянемо обчислення радіуса, висоти циліндра, осьових перерізів і т.д.