Задачі на трикутник бувають прості, складні і дуже складні. Якщо маємо прямокутний трикутник то формули для обчислення площі, катетів, радіусів вписаного та описаного кіл дещо спрощуються. Нижче наведені розв'язки прикладів на будь-який смак, аналізуйте їх – можливо вони допоможуть Вам в навчанні.

Задача 1. Знайдіть гіпотенузу і синуси гострих кутів прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють: а) 6см і 8см; б) 4см і 7см.
Розв'язок. Застосуємо теорему Піфагора до заданих катетів
теорема Піфагора

Для завдання а) гіпотенуза рівна
гіпотенуза
та для б) відповідно
гіпотенуза
Синус гострого кута в прямокутному трикутнику рівний відношенню катета навпроти кута до гіпотенузи.
синус кута
.

Рисунок з необхідними формулами для синусів та формулою Піфагора наведено нижче

прямокутний трикутник

Обчислюємо синуси шуканих кутів
а) синус кута, обчисленнясинус кута, обчислення
б)синус кута, обчисленнясинус кута, обчислення

На цьому приклад розв'язано.

 

Задача 2. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза і другий катет відповідно рівні: а) 15см і 9см; б) 8см і 4см.
Розв'язок. На основі теореми Піфагора отримаємо
катет, формула

Підставляємо значення
а) катет, обчислення
б) катет, обчислення

Відповідь: Катети трикутника рівні 12 см та см.

 

Задача 3. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 17 см. Один з його катетів на 7 см менший від гіпотенузи. Знайдіть косинус меншого гострого кута.
Розв'язок. Для заданого завдання і подібних йому необхідно складати рівняння. В цьому прикладі позначимо через
x – більший катет, тоді
x-7 –менший катет.

За формулою Піфагора матимемо
рівняння
квадратне рівняння

Ділимо на два та розв'язуємо квадратне рівняння з допомогою дискримінанту
квадратне рівняння
дискримінант
корені рівняння

Другий корінь рівняння відкидаємо, оскільки він суперечить умові завдання. Таким чином один катет рівний 15 см, а другий – 15-7=8 см.

Відповідь: Катети прямокутного трикутника рівні 15 і 8 см.

 

Задача 4. Обчисліть довжину висоти рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 12см.
Розв'язок. Якщо трикутник рівносторонній, то висота ділить основу навпіл. Крім цього висота є перпендикуляром. Таким чином завдання полягає в знаходженні катета коли відомо, що гіпотенуза рівна 12 см, а другий катет – 12/2=6 см.

За теоремою Піфагора обчислюємо
висота трикутника

Відповідь: Катет рівний катет см.

 

Задача 5. Сторона квадрата рівна 7 см. Визначте довжину діагоналі.
Розв'язок. Оскільки сторони квадрата рівні, то потрібно знайти гіпотенузу прямокутного рівнобедреного трикутника з катетами довжиною 7 см. Використовуємо відому формулу Піфагора
гіпотенуза

Відповідь: Діагональ квадрата рівна діагональ квадрата см.

 

Задача 6. Більша діагональ і більша основа прямокутної трапеції дорівнюють відповідно 8 см і 6 см. Знайдіть довжину меншої бічної сторони трапеції.

Розв'язок. Розглянемо допоміжний рисунок, щоб було зрозуміло, що потрібно шукати.

прямокутна трапеція

За умовою відома діагональ BD=8 см та AD=6 см. Катет AB прямокутного трикутника знаходимо за формулою
катет

Відповідь: Сторона трапеції рівна сторона трапеції см.

 

Задача 7. У трикутнику АВС кут В = 90 градусів, ВD перпендикулярна АС, АВ = 16см, ВС = 12см. Знайдіть довжину відрізка АD і тангенс кута при основі.

Розв'язок. Розглянемо допоміжний рисунок, щоб було зрозуміло, що потрібно шукати.

прямокутний трикутник

Складемо пропорції для відшукання відрізка AD
рівняння

Друге рівняння побудуємо на основі теореми Піфагора
теорема Піфагора

Думаю досі Вам усе зрозуміло. Наступним кроком підставляємо DC та значення катетів у рівняння

обчислення
обчислення

Відрізок знайдено, тангенс кута А знаходимо за формулою
тангенс кута

Визначимо довжину гіпотенузи, для цього знайдемо невідому частину DC
відрізок

Гіпотенуза рівна сумі AD+DC
гіпотенуза

Обчислимо тангенс кута при основі
тангенс

Відповідь: AD=80/7, tan(A)=0,8.

 

Задача 8. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 12см, а один із з його катетів – 3см. Знайдіть площу трикутника.

Розв'язок. Даний приклад на складання рівняння з невідомими.
Перше рівняння відповідає формулі периметра трикутника, друге – теоремі Піфагора.
Позначимо b – невідомий катет, с – гіпотенуза трикутника.

Складаємо систему рівнянь
система рівнянь

Маємо два рівняння з двома невідомими. Метод розв'язування Вам відомий з першого рівняння виражаємо одну із змінних і підставляємо в друге. В результаті після спрощень отримаємо квадратне рівняння один з коренів якого і буде розв'язком. Другий отримаємо в результаті підстановки в першу залежність системи рівнянь.

В мене вийшло, що b=4 см, c=5 см.
Якщо не вірите, то можете пройти описані вище процедури.
Площу знаходимо як половину добутку катетів
площа

Відповідь: площа трикутника 6 сантиметрів квадратних.

 

Задача 9. Катети прямокутного трикутника рівні 3 см і 4 см. Знайти радіус вписаного та описаного кола.

Розв'язок. Радіус описаного кола знайти найлегше – він рівний половині гіпотенузи. Обчислюємо її довжину за теоремою Піфагора
теорема Піфагора

Звідси знаходимо більший радіус
радіус описаного кола

Радіус вписаного в прямокутний трикутник кола можна знайти декількома способами.
Підемо найпростішим і визначимо його на основі формули площі трикутника
площа трикутника через радіус

Як бачите обчислити радіус вписаного кола достатньо просто. Знаходимо площу трикутника
площа трикутника
та підставляємо в попередню формулу
радіус вписаного кола

Ось такий складний на сприйняття приклад легко вирішується при знанні необхідних формул.

Відповідь: радіуси описаного та вписаного кіл рівні 2,5 см та 1 см відповідно.

 

Вивчайте формули основних геометричних фігур, набирайтеся досвіду на практиці і з часом приклади розв'язуватимете без труднощів. Якщо ж не вдається розв'язати приклад чи задачу, або незрозуміла умова завдання звертайтеся до спеціалістів. На цьому сайті та подібних інтернет ресурсах Ви завжди маєте можливість вирішити будь-яке складне завдання.