Формул для обчислення площі трикутника в літературі можна знайти більше 10. Більшість з них можна застосувати в задачах з відомими сторонами та кутами трикутниками. Однак є ряд складних прикладів, в яких задано лише одна сторона і кути трикутника, або радіус описаного чи вписаного кіл та ще одна характеристика. В таких випадках просту формулу застосувати не вдасться.
Задачі на трикутники вивчають в 7, 8 класі з вивчення простих властивостей, обчислення площі і периметра. В 9, 10 класі учні не тільки знають чим відрізняється прямокутний трикутник від рівнобедреного чи рівностороннього, а й з успіхом використовують теорему косинусів для знаходження сторін, формулу Герона, вміють розв'язати задачі про коло вписане або описане навколо трикутника. Але до всього потрібно приходити поступово не перевантажуючи пам'ять та можливості учнів. Тоді накопичені знання можна з успіхом застосувати до обчислення задач на трикутники будь-якої складності.
Наведені нижче формули дозволять розв'язати 95 відсотків задач в яких потрібно знайти площу трикутника. Перейдемо до розгляду поширених формул площі.
Розглянемо трикутник зображений на рисунку нижче
На рисунку і далі у формулах введені класичні позначення усіх його характеристик
a,b,c – сторонни трикутника,
R– радіус описаного кола,
r – радіус вписаного кола,
h[b],h[a],h[c] висоти, проведені відповідно до сторін a,b,c.
alpha, beta,hamma – кути при вершинах.
Основні формули площі трикутника
1. Класична формула площі трикутника за відомою висотою та стороною
Площа трикутника рівна половині добутку сторони трикутника на висоту, опущену до цієї сторони.
Якщо задано сторону та висоту, опущену до неї, то площу трикутника за класичною формулою знайде кожен школяр.
До речі з цієї формули можна вивести одну корисну залежність між висотами – висоти трикутника обернено пропорцйні сторонам, до яких вони проведені:
2. Формула площі трикутника за двома сторонами та кутом між ними
Якщо врахувати, що висота трикутника рівна добутку сторони на синус кута між стороною і основою, до якої проведена висота
то з класичної формули площі трикутника виводять три наступні
Уважно погляньте на формули – їх легко запам'ятати, оскільки в добутку фігурує дві сторони і кут між ними. Якщо правильно позначити сторонни і кути трикутника, то отримаємо дві сторонни a,b і кут пов'язаний з третьою С (hamma).
3. Формула площі довільного трикутника за трьома сторонами
Формулу Герона застосовують в прикладах з відомими трьома сторонами трикутника. Спочатку знаходять півпериметр трикутника, як суму всіх його сторін розділену на два
а далі визначають площу за формулою
або
Останню залежність досить часто використовують в коді програм онлайн калькуляторів площі.
Наступні формули вклячають відомі радіуси вписанного та описанного кіл (див. роисунок).
4. Площа трикутника за трьома сторонами та радіусом описаного кола
У прикладах де задано три сторони і радіус (діаметр) описаного кола площу знаходять за формулою
5. Формула площі за радіусом вписаного в трикутник кола та трьома сторнами
Якщо крім трьох сторін трикутника (периметра, півпериметра) відомий ще радіус вписаного кола, то площа обчислюється за формулою
6. Площа трикутника через радіус описаного кола і три кути
Площа трикутника рівна подвоєному квадрату радіуса описаного кола помноженому на синуси трьох кутів трикутника:
7. Формула площі за двома сторонами і спільними з третьою стороною кутами
Враховуючи властивості кутів трикутника та перодичність синуса справедлива залежність
Вона дозволяє вивести з співвідношення (2) наведену далі формулу площі трикутника
Приклади на дану залежність зустрічаються вкрай рідко, але пам'ятати, що є така формула Ви повинні.
8. Площа трикутника за стороною та двома прилеглими кутами
Якщо відомі два кути, то й третій можна визначити. Тоді площу трикутника обчислюють за формулою
9. Формула площі трикутника через сторону і котангенси прилеглих кутів
Перестановкою індексів можна вивести формулу площі для інших сторін та кутів трикутника.
10. Площа трикутника заданого координатами своїх вершин
Коли вершини трикутника задані на площині координатами вершин A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC) площа рівна половині визначника, взятого за модулем.
11. Формула площі трикутника за трьома висотами
В збірниках математичних формул можна знайти залежність площі трикутника за відомими трьома висотами
Вона складна для обчислення на калькуляторі, проте в пакетах MathCad, Mathematica, Maple, MatLab,... площа знаходиться на «раз-два».
В добавку розглянемо – часткові випадки:
Площа прямокутного трикутника з катетами a і b рівна половині їх добутку
Формула площі рівностороннього (правильного) трикутника
рівна одній четвертій добутку квадрату сторони на корінь з трійки.
Приклад 1. Сторони трикутника рівні 3, 5, 6 см. Знайти площу трикутника.
Розв'язок: Застосуємо формулу Герона, для цього спочатку знайдемо півпериметр
p=(a+b+c)/2=(3+4+5)/2=7 (см).
За формулою Герона обчислюємо площу трикутника
Відповідь: Площа трикутника рівна 7.48 сантиметрів квадратних.
Завантажити усі наведені формули площі трикутника Ви можете за наступним посиланням. Роздруковуйте їх та використовуйте в навчанні.
- Вас може зацікавити:
- Приклади на площу та периметр прямокутного трикутника
- Знаходження катетів, висоти та гіпотенузи прямокутного трикутника
- Обчислення площі рівнобедреного трикутника
- Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу
- Задачі на кути трикутника з розв'язками
Далі Вас чекають розв'язки понад 100 завдань на прямокутні, рівнобедрені, різносторонні та правильні трикутники.
Якщо матеріал був корисний Вам - поділіться посиланням з друзями!
