Часто в студентській практиці зустрічаються інтеграли, які не можуть бути зведені в простий спосіб за основними формулами. З введенням нової незалежної змінної, в таких випадках, вдається перетворити підінтегральний вираз f(x)dx. Це дозволяє звести інтеграл до табличного або до такого, спосіб обчислення якого може бути відомий. Заміна змінної інтегрування є основою методу, що називається методом підстановки. Незалежну змінну замінюють за формулою , де –диференційована функція від t. Після цього знаходять і інтеграл перетворюють до вигляду

Якщо одержаний інтеграл з новою змінною інтегрування t буде знайдено, то перетворивши результат в зворотньому напрямку до змінної x, використовуючи залежність , відшукаємо вираз заданого інтегралу.
На перший погляд вище наведені формулювання методу виглядають не такими простими, як хотілося. Але повірте, що за даним методом стоять не такі важкі математичні перетворення. Розглянувши приклади, які наведені нижче і попрактикувавши на інших, у Вас все получиться. Якщо ні – надсилайте важкі приклади нам, а ми зі своєї сторони спробуємо їх розв'язати і опублікувати в наступних статтях. Отже переходимо до прикладів.

Приклад 1. Обчислити інтеграли

а)

Розв'язок. Перш ніж читати наведені відповіді Ви повинні хоч частово ознайомитис з теорією інтеграів. Лише тоді наведена інформаці буде для Вас корисно та повчально.
Вибираємо за нову змінну t такий вираз, що дозволяє позбутися кореня в знаменнику
заміна змінних
Заcтосовуючи це до інтеграла отримаємо:
інтегрування функції


Залишилося не забути в останній вираз підставити заміну, яку зробили на початку
інтегрування функції
Варто зазначити, що єдиної методики заміни змінної немає. Кожен вибирає заміну так, як підказує досвід і практика. Для даного прикладу за змінну t можна взяти цілий знаменник. Давайте зробимо це і поглянемо наскільки зміниться складність обчислень.
заміна змінних
Робимо заміну змінних в інтегралі та обчислюємо його
інтегрування функції

Ви можливо зауважили, що після другої заміни змінних інтеграл, порівняно з першою заміною, відрізняється на константу, яка рівна 3. Це не є помилкою, оскільки неозначені інтеграли можуть відрізнятися на константу.
Як бачимо, обидві заміни змінних в даному випадку ефективні.

 

б)

Розв'язок.Вводимо таку підстановку, щоб добувалися корені в знаменнику
заміна змінних
Підставляємо в інтеграл
інтегрування функції
Поділимо чисельник t6 на знаменник t-1, щоб отримати правильний дріб. Після ділення отримаємо розклад

Підставимо в інтеграл та проінтегруємо
знаходження інтегралу

Повертаємося назад до змінної x

та замінюємо в інтегралі
інтегрування функції
знаходження інтегралу
Результат отримали досить швидко і заміна змінних в цьому випадку дуже допомогла.

 

в)

Розв'язок.Для підінтегральної функції вводимо підстановку, яка дозволяє позбутися кореня в знаменнику
заміна змінних
Проводимо інтегрування
інтегрування функції

Ряд перетворень пропущено, Ви їх можете виконати самостійно.
Повертаємося до змінної x
знаходження інтегралу
Це і є кінцеве значення неозначеного інтегралу.

 

г)

Розв'язок.За нову змінну в подібних завданнях необхідно вибирати логарифм
заміна змінних
Підставимо в інтеграл та знайдемо його значення
інтегрування функції

 

д)

Розв'язок.Позначимо через нову змінну чисельник дробу ln(tan(x))
заміна змінних
і підставимо в інтеграл
знаходження інтегралу

На перший погляд складний інтеграл методом заміни змінних зведено до простого табличного інтегралу. Саме головне в методі – вдало підібрати заміну змінних. Подальше розв'язування, як правило, не надто громіздке і, при добрих знаннях попереднього матеріалу , швидко приводить до кінцевого результату.
Даний урок думаю приніс Вам певну ясність в реалізації методу підстановки. Збагачуйте практичні знання і до зустрічі в наступних уроках.