Нижче наведені приклади інтегрування, які охоплюють значну частину різноманітних способів знаходження невизначеного інтегралу. Такого типу приклади інтегрування функцій Ви найчастіше побачите на 1,2 курсах навчання з вищої математики. Наведені нижче відповіді одночасно і пояснюють методику взяття інтегралів, і слугують інструкцією з обчислень. Щоб зекономити час та місце самих умов до прикладів ми не виписували.

Приклад 1. Якщо перед інтегралом мали б множником "ікс", то його можна було б внести під диференціал і провести заміну змінних. Однак інтеграл дещо складніший, тому вирази в дужках підносимо до кубу, а далі виконуємо інтегрування кожного з доданків.
інтегрування


Приклад 2. Задано дробову функцію в знаменнику якої міститься ірраціональність. Щоб її позбутися функцію під коренем позначимо за нову змінну, далі знаходимо її диференціал та підставляємо в інтеграл. Після незначних маніпуляцій з показниками обчислюємо інтеграл, і замість змінної підставляємо виконану заміну.
заміна змінних під інтегралом


Приклад 3. Хто часто обчислює інтеграли або добре знає теорію інтегралів, то в цьому та подібних завданнях за нову змінну вибирає логарифм. При диференціюванні логарифма отримуємо одиницю розділену на "ікс", що значно спрощує подальше інтегрування. Вкінці не забувайте в прикладах на заміну змінних перейти до початкової змінної "ікс".
заміна змінних під інтегралом


Приклад 4. Виконуємо інтегрування частинами, для цього синус вносимо під диференціал
інтегрування частинами
Після першого разу знову отримаємо інтеграл, який обчислюємо інтегруванням частинами.
інтегрування частинами


Приклад 5. Маємо завдання під правило інтегрування частинами u*dv. За змінну вибираємо експоненту, а синус вносимо під диференціал.
інтегрування частинами
Після повторного інтегрування частинами прийдемо до рекурентної формули, з якої і визначаємо інтеграл.
рекурентна формула в інтегруванні


Приклад 6. В цьому інтегралі квадратний тричлен, що стоїть в знаменнику треба звести до суми чи різниці квадратів.
інтегрування функції
Далі за формулами інтегрування отримаємо арктангенс.
інтеграл рівний арктангенсу


Приклад 7. Інтегрування добутку тригонометричних функцій дається не всім студентам, і тут потрібно враховувати як степені, так і сам вигляд функцій. В цьому прикладі один косинус потрібно внести під диференціал і звести завдання до інтегрування функції від синуса.
інтеграл від тригонометричних функцій

Сам інтеграл не складний і знаходиться за правилом для степеневих функцій.


Приклад 8. Якщо маємо синуси чи косинуси у показниках більших одиниці, то за тригонометричними формулами їх треба порозписувати аж до першого степеня. Далі застосовують формули інтегрування синусів або косинусів.
інтегрування синуса
інтегрування косинуса


Приклад 9. Щоб знайти інтеграл від дробової функції спершу розділимо чисельник на знаменник, та отриманий в остачі дріб розпишемо на найпростіші дроби. Після цього, використовуючи формули інтегрування, обчислюємо значення кожного з інтегралів.
інтегрування дробової функції
Приклад 10. Маємо інтеграл від дробової функції
інтеграл
Записуємо її через найпростіші дроби першого та другого типів.
розклад на прості дроби
Далі зводимо дроби під спільний знаменник та з умови рівності чисельників складаємо систему лінійних рівнянь для обчислення невідомих сталих.
зведення під спільний знаменник
система лінійних рівнянь
Після її розв'язування повертаємося до дробу, підставляємо сталі та виконуємо інтегрування.
інтегрування дробів


Приклад 11. Маємо інтеграл від дробової ірраціональної функції. Для розкриття ірраціональності виконуємо наступну заміну змінних під інтегралом
інтегрування ірраціональнизх функцій
В результаті прийдемо до дробової раціональної функції під інтегралом, яку розписавши на прості дроби легко проінтегрувати


Приклад 12. В цьому завданні для поз буття ірраціональності під інтегралом необхідно використати одну відому хитрість. Вона полягає в тому, що провівши наступну заміну змінних прийдемо до раціональної функції від косинуса.
заміна змінних під інтегралом
інтегрування
Після інтегрування повертаємося до виконаної заміни і на цьому обчислення можна завершити. Однак, якщо мати під рукою тригонометричні формули то відповідь можна дещо спростити ізаписати в більш компактному вигляді.
перетворення функції
перетворення функції


Приклад 13. Маємо в знаменнику раціональну функцію від косинуса і синуса. Такі інтеграли слід знаходити через універсальну тригонометричну заміну t=tg(x/2)
універсальна тригонометрична заміна
Після підстановки формул синус та косинуса через тангенс половини кута підінтегральна функція перетвориться до дробової, в знаменнику якої матимемо квадратний тричлен. Його зводимо до квадрату виразу, що містить змінну та інтегруємо за правилом для степеневих функцій.
інтегрування
Після інтегрування не забуваємо, що наше t=tg(x/2) і підставляємо його у формулу інтегралу.
На цьому добірка прикладів завершується, більше прикладів Ви знайдете в категорії інтегрування. Для збільшення бази готових інтегралів надсилайте цікаві приклади на Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її. або замовляйте у нас розв'язання контрольних робіт та модулів.