Визначення асимптот функції не таке і важке заняття, якщо Ви знаєте ряд правил та маєте добрі знання з обчислення границь. Якщо ж не вмієте шукати границі, то надолужувати доведеться багато, проте навчитися можна.

Пряма називається асимптотою кривої, якщо точка кривої необмежено наближається до неї при зростанні абсциси чи ординати. Асимптоти поділяють на вертикальні, похилі (горизонтальні) асимптоти.

ВЕРТИКАЛЬНІ АСИМПТОТИ

Графік функції y=f(x) при змінній прямуючій до деяої точки має вертикальну асимптоту, якщо границя функції нескінченна
умова вертиальної асимптоти
Крім цьому точка x=a є точкою розриву II роду, а рівняння вертикальної асимптоти має вигляд
x=a.

ПОХИЛІ АСИМПТОТИ

Рівняння похилої асимптоти задається рівнянням прямої а площині
y=k*x+b
де кутовий коефіцієнт та вільний член k,b - границі, що обчислюються за правилом


Якщо обидві границі існують і скінченні то функція має похилу асимптоту, інакше – не має. Слід окремо розглядати випадки, коли змінна прямує до пюс безмежності та мінус.

ГОРИЗОНТАЛЬНІ АСИМПТОТИ

Крива y=f(x) має горизонтальну асимптоту y=c тільки в тому випадку, коли існує скінченна границя функції при змінній прямуючій до безмежності ,, і ця границя рівна сталій
умова горизонтальної асимптоти
або
умова горизонтальної асимптоти
Знаходження границь в деяких випадках спрощується, якщо застосовувати правило Лопіталя.
Наведемо розв'язки типових для практики завдань на відшукання асимптот.

 

Приклади. Знайти асимптоти ліній.
(Дубовик В.П., Юрик І.І. "Вища математика. Збірник задач" )
І (5.863)

Розв'язання: Перша особливість (асимптота), яку слід перевіряти - це знаменник дробових функцій. В цьому завданні маємо умову на вертикальну асимптоту

За теоремою Вієта знаходимо корені квадратного рівняння
x1=-1; x2=3.
Вони розбивають область визначення на 3 інтервали

Іншим висновком є те, що функція має дві вертикальні асимптоти
x1=-1; x2=3.
Знайдемо похилу асимптоту

Перша границя (k) прийме значення
знаходження похилих асимптот
Іншу (b) визначаємо за формулою
знаходження похилих асимптот


Остаточне рівняння похилої асимптоти наступне
y=2x+4.
Графік функції на ділянці з асимптотами матиме вигляд

графук функції, асимптоти
Ось так виглядають асимптоти на графіках.

ІІ (5.873)

Розв'язання: Логарифм функція ln(x) визначена при додатніх значеннях аргумента і прямує до мінус безмежноті, кои змінна прямує до нуля , це означає

З цього випливає, що функція має вертикальні асимптоти при
x=-1; x=2,
а її область визначення це два інтервали

Проміжок між коренями не включений, оскільки на ньому функція під логарифмом від'ємна.
З вигляду функції слідує, що функція має вертикальну асимптоту
вертиальна асимптота
Похилих асимптот функція немає. Графік функції наведено нижче

графук функції, асимптоти

 

Розглянемо кіька завдань із збірниа Клепко В.Ю., Голець В.І. "Вища математика в прикладах і задачах"

III (4.71.1)

Розв'язання: З вигляду функції слідує, що вона визначена в усіх точках де знаменник не перетворюється в нуль

Точки x=2, x=-2 і є вертикальними асимптотами, а також розділяють область визначення на інтервали

Похилих асимптот функція не має. Це слідує з однієї властивості, якою я поділюсь з Вами: функції виду многочлен поділити на многочлен мають похилу асимптоту лише у випадках, коли найбільший степінь в чисельнику на одиницю більший ніж в знаменнику, тобто

Горизонтальна асимптоту знаходимо з границі
горизонтальна асимптота
Функція з асимптотами зображена на рисунку

графук функції, асимптоти

 

IV (4.71.2)

Розв'язання: Область визначення функції наступа При x=-4 функція має вертикальну асимптоту. Похилих асимптот немає, лише горизонтальна, оскільки степінь чисельника і знаменника рівні
горизонтальна асимптота
Функція з асимптотами зображена графічно

графук функції, асимптоти

 

V (4.71.3)

Розв'язання: Областю визначення будуть два інтервали

Точка x=0 вертикальна асимптота дробової функції. Похилих асимптот немає, горизонтальну знаходимо з границі
горизонтальна асимптота
Поведінка функції зображена на рисунку

графук функції, асимптоти

 

VI (4.71.4)

Розв'язання: Область визначення знаходимо з умови рівності ную знаменника дробу


Точка x=-3/2 є вертикальною асимптотою. Похилу асимптоту знаходимо за правилами
похила асимптота
похила асимптота

Остаточне отримаємо таке рівнняня асимптоти
y=(x-3)/2.
Функція з асимптотами матииме виглядграфук функції, асимптоти

 

VII (4.71.5)

Розв'язання: Область визначення буде наступною


Точка x=-6 – вертикальна асимптота. Похила асимптота буде відома після знаходження границь
похила асимптота
похила асимптота

Рівнняня похилої асимптоти – y=2x-11.
Графік функції наведено нижче

графук функції, асимптоти

Подібних прикладів можна розв'язати ще багато, схема знаходження асимптот при цьому не зміниться. Основна суть знаходження асимптот після аналізу відповідей до завдань Вам зрозуміла. Бувають приклади в яких знаходження границі трудомістке і займає більше половини об'єму цієї статті, але думаю Вам такі в навчанні не зустрінуться.