Решение уравнений с модулями

"Решить уравнение с модулями" или "Найти решения уравнения с модулем" – одни из самых популярных заданий в школьном курсе математики, у многих на первом курсе в ВУЗах при изучении модулей. Примеры легко сводятся к обычным уравнениям при знании правил - а они достаточно просты. При раскрытии модуля требуется найти точки в которых подмодульная функция принимает нулевое значение. Истинную ось разбить найденными точками на интервалы и установить знаки функции на каждом из них. Дальше раскрывают модули по правилу:

Если подмодульная функция положительная то модули раскрывают без изменений. Если отрицательная  то раскрывая модуль функцию берут со знаком минус.

Все это напрямую следует из определения модуля числа:
модуль числа

После вычислений проверяют  принадлежит найденное решение рассматриваемому интервалу или нет. Таким образом отсеивают лишние результаты.

Для наглядности перейдем к вычислениям .

Пример 1.
Найти решение уравнения
уравнение с модулями, пример

Решение:
 Этот пример является простейшим типом уравнений с модулями. В первую очередь уравнение содержит модуль один раз и переменная входит линейно.

Находим точку в которой выражение под знаком модуля обращается в нуль

Справа от этой точки выражение под модулем принимает положительное значение, слева - отрицательное .

Раскрывая модуль получим два уравнения с условиями на неизвестную
раскрытия модулей

Находим решения уравнения 
решения уравнения с модулями
решения уравнения с модулями

Такого типа уравнение с модулем можно решить графическим методом. В результате получим следующий вид функций

уравнение с модулем

Пример 2.
Найти решение уравнения
уравнение с модулями, пример

Решение:
Решаем по схеме предыдущего примера.
Находим точки в которых модули превращаются в ноль.
нули функции
нули функции

Обе точки разделяют действительную ось на интервалы.
интервалы

Обозначаем знаки подмодульных функций на найденных интервалах. Знаки устанавливаем простой подстановкой точек из интервала


Для удобства можете обозначать интервалы графически, некоторым это очень помогает, но можно обойтись только приведенными выше записями.

Раскрываем модули учитывая знаки и находим решения.
раскрытия модулей
раскрытия модулей
раскрытия модулей

Последнее решение не имеет смысла, поскольку не принадлежит промежутку на котором его находим. Таким образом уравнения удовлетворяют значения
решения уравнения с модулямирешения уравнения с модулями

Графики модуль-функций приведены ниже, точки их пересечения и являются решением.

уравнение с модулем

Пример 3.

Найти решение уравнения
уравнение с модулями, пример

Решение:
 Находим точки, которые разбивают ось на области знакопостоянства

Определяем знаки подмодульных функций на этих областях


Раскрываем модули и вычисляем
раскрытия модулей
раскрытия модулей
раскрытия модулей

Второе и третье значение не принадлежат области, следовательно уравнению отвечает только x=-4.

Ниже модули изображены графически

уравнение с модулем

Пример 4.
Найти решение уравнения
уравнение с модулями, пример

Решение:
 Есть квадратный трехчлен который сводится к решению двух уравнений
раскрытия модулей
раскрытия модулей

Решаем каждое из квадратных уравнений . Дискриминант у них будет одинаковый
дискримінант

Находим корни первого уравнения
корни уравнения
и второго
корни уравнения

Обозначенные корни уравнения не относятся области на которой искали решение. Окончательно получим 
решения уравнения с модулями

На графике модуль-функции решение является пересечением с осью Ox

уравнение с модулем

Пример 5.
Найти решение уравнения
уравнение с модулями, пример

Решение:

Точка x=-4 делит область на интервалы

На первом интервале получим квадратное уравнение
раскрытия модулей
на втором соответственно следующее
раскрытия модулей

Вычисляем дискриминант первого
квадратное уравнение
дискриминант
и корни
корни уравнения

Второе уравнение будет иметь решения
квадратное уравнение
дискриминант
корни уравнения
корені рівняння

Два корня отпадают, а два являются решениями
решения уравнения с модулями

График функции с модулем вместе с точками пересечения иллюстрирует следующий рисунок

уравнение с модулем

Пример 6.
Найти решение уравнения
уравнение с модулями, пример

Решение:
Схема решения предыдущая . Находим нули
нули функции

Делим область на пять интервалов  в которых находим знаки функций
область знакосталости
область знакосталости
область знакосталости
область знакосталости
область знакосталости

Раскроем модули для первой и пятой областей
раскрытия модулей

Данные точки принадлежат краю области, однако при подстановке уравнение превращается в тождество. 
Второй интервал
раскрытия модулей

превращается в тождество, следовательно все точки интервала включая краями являются решениями.
Третий интервал
раскрытия модулей

дает два корня , которые удовлетворяют исходное уравнение с модулями.

На четвертом интервале уравнение превратится в тождество,
раскрытия модулей
 это означает, что все точки из интервала являются решениями .
 Таким образом , решением будут два промежутка
решения уравнения с модулями

Для наглядности графики модуля вместе с правой частью изображены графически

уравнение с модулем

Пример 7.
Найти решение уравнения

Решение:
Имеем квадратное уравнение под модулем, кроме того переменная в нем также содержится под модулем. Такого рода задачи вызывают немало трудностей при решении у начинающих, но для профи такие примеры не сложные . В первую очередь избавляемся модуля у переменной.

Такого рода примеры приводят к большому количеству областей, поэтому можно решать применяя разбиение на промежутки, а можно решать самые уравнения, а после того проверять решения подстановкой.

Оба уравнения при раскрытии модулей дают следующие
раскрытия модулей
раскрытия модулей
раскрытия модулей
раскрытия модулей

Находим корни первого уравнения
квадратное уравнение
дискриминант
корни уравнения
корни уравнения

Решаем второе квадратное уравнение
квадратное уравнение
дискриминант
корни уравнения

С третьего уравнения
квадратное уравнение
дискриминант
корни уравнения
корені рівняння
получаем два решения.

Из последнего - 4 уравнения
квадратное уравнение
дискриминант
корни уравнения
 получаем два корня . Всего получили 8 решений уравнения с модулями. Проверка подстановкой показывает что они все подходят. Также для подтверждения ниже приведен график фигурирующих модулей.

уравнение с модулем

Все рассмотренные примеры достаточно просто решаются в математическом пакете Maple. Код программы с  решениями приведен ниже

> restart;
> Q1:=abs(5*x-10)=11;
уравнение с модулями в Maple
> solve(Q1,x);

> Q2:=abs(1-5*x)=abs(2-x);
> solve(Q2,x);
уравнение с модулями в Maple
решение в Maple
> Q3:=abs(x+3)-abs(x-5)=3*x+4;
> solve(Q3,x);
уравнение с модулями в Maple
решение в Maple
> Q4:=x^2-5*abs(x)-24=0;
> solve(Q4,x);
уравнение с модулями в Maple
решение в Maple
> Q5:=x^2-4*abs(x+4)=28;
> solve(Q5,x);
уравнение с модулями в Maple
решение в Maple
> Q6:=abs(x^2-9)+abs(x^2-16)=7;
> solve(Q6,x);
уравнение с модулями в Maple
решение в Maple
> Q7:=abs(x^2-6*abs(x)+4)=1;
> solve(Q7,x);
уравнение с модулями в Maple
решение в Maple

--------------------------

Уравнение с модулями требуют большого внимания при решении. Самая меньшая невнимательность или ошибка со знаком может привести к лишним решениям или их нехватке. При вычислениях можете выполнять проверку методом подстановки или с помощью Maple или других известных Вам программ.

Copyright 2012-2014. yukhym. com - Математика для Вас
Joomla 1.7 templates free. Yukhym.com-математичний студентський портал