На попередньому занятті ми розібрали неоднорідні диференціальні рівняння 3,4 порядку, що в нелінійній частині містили множником експоненту. З цього уроку Ви навчитеся обчислювати неоднорідні ДР, що містять в правій частині тригонометричні функції - синус та косинус. Також розглянемо випадки, коли неоднорідна частина ДР має вигляд добутку експоненти на синус та косинус. Забігаючи вперед можу лише підказати, що це все пов'язано з експонентою, а саме з комплексними показниками експоненти. Якщо проаналізуєте статтю до кінця, то будете знати "Як знайти розв'язок неоднорідного диференціального рівняння з комплексними коренями характеристичного рівняння?". І це ще не складні завдання, наступні уроки міститимуть куди важчі приклади.

Приклад 1. (11.4) Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
диференціальне рівняння
Розв'язання: Розв'язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку шукаємо у вигляді суми кореня однорідного рівняння та часткового розв'язку неоднорідного рівняння
Для однорідного диф. р-ня (ДР) розв'язок шукаємо у вигляді експоненціальної функції y=exp(k*x). При підстановці у рівняння і спрощенні не експоненту отримаємо наступне характеристичне рівняння
характеристичне рівняння
Його корені комплексно спряжені, тому інтегралом однорідного рівняння буде комбінація синус та косинус функції
інтеграл однорідного рівняння
Далі приступаємо до відшукання часткового розв'язку неоднорідного ДР. Відповідно до правої сторони вихідного рівняння розв'язок шукаємо у вигляді
частковий розв'язок диф. р-ня
Обчислюємо другу похідну, що міститься у рівнянні

Далі підставляємо знайдену похідну та значення функції в початкове рівняння

Прирівнюючи множники при синусу та косинусу отримаємо залежності, з яких обчислюємо сталі

Записуємо частковий розв'язок диференціального рівняння, попередньо звівши доданки під спільний знаменник
частковий розв'язок диференціального рівняння
Ну і не забуваємо все підставити у формулу загального розв'язку диференціального рівняння
загальний розв'язок диференціального рівняння
тут С1, С2 -сталі, що приймають довільні значення.

 

Приклад 2. (11.7) Розв'язати диференціальне рівняння

Розв'язання: Маємо неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку, причому права сторона містить експоненту помножену на суму косинус і синус функцій. Розв'язок неоднорідних рівнянь завжди шукаємо у вигляді суми двох .
Спершу обчислюємо однорідне диференціальне рівняння, для цього складаємо характеристичне рівняння характеристичне рівняння і знаходимо корені
Оскільки коефіцієнти характеристичного рівняння є різними дійсними числами, то інтеграл однорідного ДР матиме вигляд суми сталих помножених на експоненти у відповідних степенях
інтеграл однорідного
Оскільки неоднорідна частина ДР =ex(sin(x)+cos(x) не містить експоненти в степені кореня характеристичного рівняння (0;-2), то частковий розв'язок має простий вигляд

Знайдемо коефіцієнти A і B - для цього підставимо цей вираз у диференціальне рівняння і прирівняємо множнии при sin(x) і cos(x):

Після підставлення похідних та спрощень, отримаємо

Прирівнюючи значення при sin(x), cos(x), отримаємо систему рівнянь відносно сталих А, B
система рівнянь
Її не важко розв'язати, оскільки маємо всього два рівняння і дві невідомі. Знайдені значення підставляємо у формулу часткового розв'язку неоднорідного ДР
частковий розв'язок неоднорідного рівняння
Загальний розв'язок диференціального рівняння рівний сумі знайдених функцій
розв'язок диференціального рівняння
де C1, C2 - довільні константи.

 

Приклад 3.(11.17) Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
неоднорідне диференціальне рівняння
Розв'язання: Розв'язок неоднорідного диф. рівняння шукаємо за класичною схемою. Для однорідного рівняння 2 порядку записуємо характеристичне рівняння і розв'язуємо його
характеристичне рівняння
Отримали комплексно спряжені корені характеристичного рівняння. Це новий тип ДР, тому запам'ятайте, що інтеграл однорідного диференціального рівняння в таких випадках виражається через добуток експоненти на синус та косинус функції.
інтеграл однорідного диференціального рівняння
Зауважте, що дійсна частина характеристичного числа є показником експоненти, а уявні значення фігурують в якості аргументів косинус та синус функцій. Запам'ятайте це, бо подібні характеристичні корені поширені в такого роду ДР.
Проаналізуємо тепер, як шукати інтеграл неоднорідного ДР. Щоб при диференціюванні отримати праву частину рівняння e-3xcos(x) частковий розв'язок потрібно шукати у вигляді
формула часткового розв'язку
Знаходимо першу та другу похідні функції

та підставляємо у початкове диф. рівняння. Після усіх спрощень Ви повинні отримати вираз

З множників при косинусі та синусі формуємо залежності для встановлення констант A=1/3; B=0.
Таким чином отримаємо частковий розв'язок диференціального рівняння
частковий розв'язок диференціального рівняння
Щоб записати загальний розв'язок диференціального рівняння до знайденого додаємо корінь однорідного рівняння
загальний розв'язок диференціального рівняння
На цьому і ґрунтується розв'язання всіх ДР такого сорту. Алгоритм обчислень Вам тепер знайомий, як розв'язати неоднорідне диференціальне рівняння наведеного вигляду теж тепер знаєте. Тож для закріплення матеріалу пропонуємо розв'язати самостійно декілька з наступних ДР