Методи (правила) розриття нерівностей з модулями полягають у послідовному розкритті модулів від внутрішнього до зовнішнього, при цьому використовують області знакосталості підмодульних функцій. В кінцевому варіанті отримують декілька нерівностей з яких і знаходять інтервали чи проміжки, які задовільняють умові задачі.

Перейдемо до розв'язування поширених на практиці прикладів.

Лінійні нерівності модулями

Під лінійними розуміємо рівняння, в яких змінна входить лінійно.

Приклад 1. Знайти розв'язок нерівності
рівняння з модулями, приклад

Розв'язання: З умови завдання слідує, що модулі перетворюються в нуль при x=-1 та x=-2. Ці точки розбивають числову вісь на інтервали
інтервали знакосталості
У кожному з цих інтервалів розв'яжемо задану нерівність. Для цього перш за все складаємо графічні малюнки областей знакосталості підмодульних функцій. Їх зображають у вигляді областей із знаками кожної з функцій

знаки підмодульних функцій, малюнок
або інтервалів із знаками всіх функцій.
знаки підмодульних функцій, малюнок

На першому інтервалі розкриваємо модулі
розкриття модулів
Множимо обидві частини на мінус одиницю, при цьому знак в нерівності поміняється на протилежний. Якщо Вам до цього правила тяжко звикнути, то можете перенести кожну з частин за знак, щоб позбутися мінуса. В кінцевому варіанті Ви отримаєте
обчислення
Перетином множини x>-3 з областю на якій розв'язували рівняння буде інтервал (-3;-2). Для тих кому легше шукати розв'язки графічно можете малювати перетини цих областей

претин розвязків

Спільний перетин областей і буде розв'язком. При строгій нерівності краї не включають. При нестрогій перевіряють підстановкою.
На другому інтервалі отримаємо
розкриття модулів
обчислення
Перетином буде інтервал (-2;-5/3). Графічно розв'язок матиме вигляд

графічний метод розвязування

На третьому інтервалі отримаємо
розкриття модулів умова
Дана умова не дає розв'язків на шуканій множині.

графічний метод розвязування

Оскільки два знайдені розв'язки (-3;-2) та (-2;-5/3) межують точкою x=-2, то перевіряємо і її.
підстановка
Таким чином точка x=-2 є розв'язком. Загальний розв'язок з врахуванням цього матиме вигляд (-3;5/3).


Приклад 2. Знайти розв'язок нерівності
|x-2|-|x-3|>=|x-4|
рівняння з модулями, приклад

Розв'язання: Нулями підмодульних функцій будуть точки x=2, x=3, x=4. При значеннях аргументів менших за ці точки підмодульні функції від'ємні, а при більших – додатні.
Точки розбивають дійсну вісь на чотири інтервали. Розкриваємо модулі згідно інтервалів знакосталості та розв'язуємо нерівності.
1) На першому інтервалі усі підмодульні функції від'ємні, тому при розкритті модулів міняємо знак на протилежний.
розкриття модулів
спрощення
умова
Перетином знайдених значень x з розглядуваним інтервалом буде множина точок
розвязок

2) На проміжку між точками x=2 і x=3 перша підмодульна функція додатня, друга і третя –від'ємні. Розкриваючи модулі, отримаємо
розкриття модулів
спрощення
умова
нерівність, яка в перетині з інтервалом, на якому розв'язуємо, дає один розв'язок – x=3.

3) На проміжку між точками x=3 і x=4 перша і друга підмодульні функції додатні, а третя – від'ємна. На основі цього дістанемо
розкриття модулів
умова
Ця умова показує, що цілий проміжок [3;4] буде задовільняти нерівність з модулями.

4) При значеннях x>4 усі функції знакододатні. При розкритті модулів їх знак не змінюємо.
розкриття модулів
спрощення
Знайдена умова в перетині з інтервалом дає наступну множину розв'язків
множина розвязків
Оскільки нерівність розв'язана на всіх інтервалах, то залишається знайти перетин всіх знайдених значень x. Розв'язком будуть два інтервали
розвязок нерівності з модулями
На цьому приклад розв'язано.

 

Приклад 3. Знайти розв'язок нерівності
||x-1|-5|>3-2x
подвійне рівняння з модулями, приклад

Розв'язання: Маємо нерівність з модулем від модуля. Такі нерівності розкривають по мірі вкладеності модулів, починаючи з тих, які розміщені саме глибше.
Підмодульна функція x-1 перетвориться в нуль в точці x=1.
При менших значеннях за 1 вона від'ємна і додатня для x>1. На основі цього розкриваємо внутрішній модуль і розглядаємо нерівність на кожному з інтервалів.
Спочатку розглянемо інтервал від мінус безмежності до одиниці
розкриття модулів
спрощення
нерівність з модулями
Підмодульна функція рівна нулю в точці x=-4. При менших значеннях вона знакододатня, при більших – від'ємна. Розкриємо модуль для x<-4:
розкриття модулів
умова
В перетині з областю, на якій розглядаємо отримаємо множину розв'язків
множина розв'язків
Наступним кроком розкриваємо модуль на інтервалі (-4;1)
розкриття модулів
умова
З врахуванням області розкриття модуля отримаємо інтервал розв'язків
розвязок нерівності з модулями

ЗАПАМ'ЯТАЙТЕ: якщо Ви отримали в подібних нерівностях з модулями два інтервали, які межують спільною точкою, то, як правило, вона також є розв'язком.

Для цього варто лише здійснити перевірку.В даному випадку підставляємо точку x=-4.
підстановка
Отже x=-4 є розв'язком.
Розкриємо внутрішній модуль для x>1
розкриття модулів
нерівність з модулями
Підмодульна функція від'ємна для x<6.
Розкриваючи модуль, отримаємо
розкриття модулів
умова
Дана умова в перетині з інтервалом (1;6) дає порожню множину розв'язків.
Для x>6 отримаємо нерівність

умова
Також отримали порожню множину.
Враховуючи все вище викладене, єдиним розв'язком нерівності з модулями буде наступний інтервал.
розвязок нерівності з модулями

Нерівності з модулями, що містять квадратні рівняння

Приклад 4. Знайти розв'язок нерівності |x^2+3x|>=2-x^2
рівняння з модулями, приклад
Розв'язання: Підмодульна функція перетворюється в нуль в точках x=0, x=-3. Простою підстановкою мінус одиниці
підстановка
встановлюємо, що вона менша нуля на інтервалі (-3;0) та додатня за його межами.
Розкриємо модуль в областях де підмодульна функція додатня
розкриття модулів
нерівність
Залишилося визначити області де квадратна функція додатня. Для цього визначаємо корені квадратного рівняння
дискримінант
корені рівняння
Для зручності підставляємо точку x=0, яка належить інтервалу (-2;1/2). Функція від'ємна в цьому інтервалі, значить розв'язком будуть наступні множини x
розвязок нерівності з модулями
Тут скобками позначені краї областей з розв'язками, це зроблено свідомо, враховуючи наступне правило.

ЗАПАМ'ЯТАЙТЕ: Якщо нерівність з модулями, чи проста нерівність є строга, то краї знайдених областей не є розв'язками, якщо ж нестрога нерівність () то краї є розв'язками (позначають квадратними скобками).

Це правило використовує багато викладачів: якщо задана строга нерівність, а Ви при обчисленнях запишете в розв'язку квадратну скобку ([,]) – вонин автоматом порахують це за неправильну відповідь. Також при тестуванні, якщо задана нестрога нерівність з модулями, то серед розв'язків шукайте області з квадратними скобками.
На інтервалі (-3;0) розкриваючи модуль, змінюємо знак функції на протилежний
розкриття модулів
умова
Враховуючи область розкриття нерівності, розв'язок матиме вигляд
розвязок
Разом з попередньою областю це дасть два півінтервали

дискрим

 

Приклад 5. Знайти розв'язок нерівності 9x^2-|x-3|>=9x-2
рівняння з модулями, приклад

Розв'язання: Задано нестрогу нерівність, підмодульна функція якої рівна нулю в точці x=3. При менших значеннях вона від'ємна, при більших – додатня. Розкриваємо модуль на інтервалі x<3.
розкриття модулів

Знаходимо дискримінант квадратного рівняння
дискримінант
та корені
корені рівняння
Підставляючи точку нуль, з'ясовуємо, що на проміжку [-1/9;1] квадратична функція від'ємна, отже проміжок є розв'язком. Далі розкриваємо модуль при x>3
розкриття модулів
нерівності, квадратне рівняння
Дискримінант
дискримінант
від'ємний, отже дійсних коренів немає.
Єдиним розв'язком є проміжок [-1/9;1] .

Давайте виконаємо дані обчислення в математичному пакеті Maple. Аналізу підмодульних функцій та склеювання областей Ви при цьому не побачите, зате без труднощів отримаєте лише правильні розв'язки.

Фрагмент коду в Maple та результати розрахунків наведені нижче

> restart ; - занулення всіх змінних
> Q1:=abs(x+1)>2*abs(x+2); - запис рівняння з модулями

нерівності з модулями, Maple

> solve(Q1,x); - розв'язування рівняння з модулями

розвязок, Maple

Тут RealRange() означає дійсний проміжок, Open() - показує, що краї проміжку не включаються (круглі скобки)
> Q2:=abs(x-2)+abs(x-3)>=abs(x-4);

нерівності з модулями, Maple

> solve(Q2,x);

розвязок, Maple

> Q3:=abs(abs(x-1)-5)<3-2*x;
> solve(Q3,x);

нерівності з модулями, Maple

розвязок, Maple

> Q4:=abs(x^2+3*x)>=2-x^2;
> solve(Q4,x);

нерівності з модулями, Maple

розвязок, Maple

> Q5:=9*x^2-abs(x-3)<=9*x-2;
> solve(Q5,x);

нерівності з модулями, Maple

розвязок, Maple

В середовищі Maple легко реалізовується розв'язування ірраціональних, логарифмічних нерівностей з модулями та інших. Достатньо лише ввести задану нерівність та визвати команду solve() - розв'язування. В такий спосіб можна отримати розв'язки настільки складних задань з модулями, що всі відомі аналітичні методи перед ними безсилі.
Рівняння з модулями потребують великої уваги при розв'язанні. Сама менша неуважність або помилка зі знаком може привести до зайвих розв'язків або їх недостачі. При обчисленнях можете виконувати перевірку методом підстановки. Також можете перевірити розв'язки з допомогою Maple чи інших відомих Вам математичних програм.