Якщо крива C задана рівняннями x=x(t), y=y(t) (t[t0;T]), де x(t) і y(t) неперервні на [t0;T] функції, то довжина дуги кривої С дорівнює визначеному інтегралу
З формули довжини дуги кривої, заданої параметрично бачимо, що тут потрібно добре знати похідні елементарних функцій та мати відмінні знання інтегрування. Як це виглядає на практиці Ви можете побачити з готових відповідей до завдань.
Приклади підібрано із навчальної програми для студентів механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка.
Студенти всіх міст України мають подібну програму навчання, завдання схожі, а в ряді випадків співпадають.
Наведені пояснення навчать Вас обчислювати типові завдання з наступних тем:

Площа фігури

а) Площа фігури, що обмежена кривими в прямокутних координатах;                                          
б) Площа фігури, що обмежена кривими заданими параметрично
в) Площа фігури, що обмежена кривими в полярних координатах.

Довжина дуги

а) Довжина дуги кривої в прямокутних координатах;                                            
б) Довжина дуги кривої заданої параметрично;      
в) Довжина дуги кривої в полярних координатах .          

Об'єм тіла

а) Об'єм тіла за відомими поперечними перерізами;                                   
б) Об'єм тіла утворений обертанням кривої навколо осей Ox, Oy .

Площу поверхні обертання

Перший номер в прикладах відповідає номеру основного завдання зі збірника М. В. Заболоцький, Фединяк С.І., Філевич П.В. "Практикум з математичного аналізу" (поруч стоїть номер зі збірника Б. П. Демидовича).
Для вивчення основних моментів схема інтегрування та формули обчислення дуги кривої, заданої в параметричній формі будуть повторюватися з прикладу в приклад. Частину завдань обов'язово проілюструємо графіками кривих.

Як знайти довжину дуги, заданої параметрично?


Приклад 2.127 – 2443 Знайти довжину дуги кривої, заданої параметрично x=a(t-sin(t)), y=a(1-cos(t)), tє[0;2Pi]. (Див. 2.100)

Обчислення: Знайдемо похідні за змінною t заданих функцій:

Межі інтегрування беремо з початкової умови: [0;2Pi].
Виразимо підінтегральну функцію:

Інтегруванням знаходимо довжину дуги кривої на заданому відрізку:

Для виведення формули використали відомі тригонометричні формули. Довжина дуги рівна 8a одиниць.

 

Приклад 2.128 (2444) Знайти довжину дуги кривої, заданої параметрично x=a(cos(t)+t*sin(t)), y=a(sin(t)-t*cos(t)),tє[0;2*Pi]. (Див. 2.103)
Обчислення: Обчислюємо похідну за змінною t від параметричних рівнянь координат:

Межі інтегрування записуємо з умови: [0;2*Pi].
Сладаємо підінтегральну функцію:

Її вигляд надзвичайно простий, а довжина дуги параметричної кривої через інтеграл обчислюється швидко:

 

Приклад 2.129 (2442) Знайти довжину дуги кривої, заданої параметрично x=cos4(t), y=sin4(t)
Обчислення: Знайдемо похідні по змінній t параметрично заданих координат:

За умовою межі інтегрування: [0;Pi/2], оскільки функція приймає тільки додатні значення.
Графік параметричної кривої наведено на рисунку

Складаємо рівняння підінтегральної функції:

Однократно застосувавши заміну змінних та метод інтегрування частинами знаходимо довжину дуги кривої:

Інтеграл досить поширений для такого сорту прикладів, тож пригадайте всі формули інтегрування, що в результаті дають логарифм.

Приклад 2.130 Знайти довжину дуги кривої, заданої параметрично x=t2,y=t-t3,

Обчислення: Першим ділом знаходимо похідні параметрично заданих координат за змінною t:

x'=2t; y'=1-t2.
Крайні точки відомі: , але потрібно визначити чому рівний параметр:
оскільки y=0 при
Функція симетрична відносно осі Ox, тому і результат інтегрування помножимо на 2.
Графік кривої на додатній частині осі абсцис зображено нижче

Складемо рівняння підінтегральної функції:

Останнім кроком знаходимо довжину дуги кривої на встановленому відрізку:

Інтеграл доволі швидко визначається.

 

Приклад 2.131 (2445.1) Знайти довжину дуги кривої, заданої параметрично x=ch3(t), y=sh3(t) , [0;T]
Обчислення: Знайдемо похідні від гіперболічного косинуса та синуса за змінною t:

Межі інтегрування відомі за умовою: [0;T].
Графік кривої наведено на рисунку

Обчислимо підінтегральну функцію:

Враховуючи формули для гіперболічних функцій при обчисленні інтегралу синус гіперболічний від подвійного кута вносимо під диференціал. В результаті прийдемо до формули, яку і без заміни змінних можемо проінтегрувати.
.

Приклад 2441 Знайти довжину дуги еволюта еліпса, заданої параметрично .
Обчислення: Знайдемо похідні параметрично заданих координат еволюти еліпса:

Межі інтегрування: [0;Pi/2] (осі координат є осями симетрії).
Графік еволюти еліпса має вигляд

Складаємо рівняння підінтегральної функції:

Щоб знайти довжину дуги еволюти еліпса доводиться добряче перетворити підінтегральну фунцію, щоб звести її під відомі інтеграли.
Щоб полегшити читання формул на середині обчислень виконуємо заміну змінних і , відповідно, перерахунок меж інтегрування.
.
Також останні рядки показують, що вміння працювати з дробами Вам теж стануть у нагоді.
Якщо не спрощувати, то отримаємо важку для читання формулу з ірраціональними доданками.

 

Приклад 2445 Знайти довжину дуги кривої, заданої параметрично x=a(sh(t)-t), x=a(ch(t)-1, tє[0;T].
Обчислення: Обчислимо похідні від параметрично заданих координат кривої:
x'=a(ch(t)-1;
y'=a*sh(t).

Межі інтегрування задані: [0;T].
Підносимо до квадрату та сумуємо похідні параметричних координат лінії:

За формулою знаходимо довжину дуги кривої: для цього перетворюємо підінтегральну функцію, а далі методом заміни змінних обчислюємо інтеграл:

Кінцева формула довжини дуги кривої містить залежності від косинуса гіперболічного.