ГДЗ Алгебра 11 клас Мерзляк

підручник для 11 класу:
Збірник задач та контрольних робіт
Автор: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, Ю.М. Рабінович, М. С. Якір
Мова: Українська мова
Видавництво: Гімназія
Рік: 2011
ISBN: 978-966-474-163-4
Завантажити (скачать) ГДЗ: Алгебра 11 клас Мерзляк. Збірник задач і контрольних робіт. Формат: PDF
Зміст: Посібник містить близько 700 задач з алгебри. Складається з двох варіантів "Тренувальних вправ" по 239 завдань у кожному на різні теми та контрольних робіт для перевірки закріпленого матеріалу.

 

1 Варіант

Приклад 53. Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1) функція
Розв'язання: ОДЗ полінома вся дійсна вісь область визначення
Обчислюємо похідну
похідна, очислення
та прирівнюємо до нуля
нулі похідної
Між коренями похідна додатна
знак похідної
значить функція зростає на проміжку проміжок зростання функції та спадає на сусідніх інтервали спадання
В -1 маємо мінімум, а в 2 функція досягає максимуму. Значення ординати в точках екстремуму наступні
мінімум
максимум, обчислення
максимум, обчислення
Графічно знайдені точки екстремуму та проміжки монотонності наведено на рисунку
графік функції

 

2) f(x)=x4-2x2+3

Розв'язання: ОДЗ біквадратної функції дійсна вісь область визначення
З рівності похідної нуля визначаємо критичні точки
умова на екстремум
Отримали 3 точки, встановлюємо знак похідної на інтервалах
знак похідної
Маємо два проміжки зростання функції
проміжи зростання функції
та два де функція спадає
проміжи спадання функції
В одиниці та мінус одиниці маємо мінімуми і максимум в нулі.
Значення функції в точках екстремуму наступні
мінімум
мінімум
максимум функції
Графік полінома із знайденими екстремумами наочно ілюструє пророблену роботу
графік функції

 

3) функція
Розв'язання: ОДЗ дробової функції всі точки за винятком (-3 – нуль знаменника). область визначення
Обчислюємо похідну від частки
похідна частки
Похідна додатна на всій області визначення, а отже функція всюди зростає.
Її графік має вигляд
графік функції

 

4) функція
Розв'язання:ОДЗ функції множина дійсних чисел область визначення
З рівності нулю похідної встановимо критичні точки
похідна функції, обчислення
похідна функції, обчислення
похідна функції, обчислення
похідна функції, обчислення
Числову вісь розбиваємо знайденими точками на інтервали та встановлюємо знаки похідної знак похідної.
Оскільки дужки є в парному степені, то при переході через (-1) похідна не змінює знак.
Функція зростає на 3 інтервалах
проміжи зростання
та спадає на проміжку
інтервал спадання функції
Отримали точку мінімуму x=2, точку максимуму x=2/7 та перегину x=-1.

Ордината точки мінімуму
мінімм функції
Максимум точка максимуму спробуйте обчислити самостійно, надто дробове число має вийти.
Наглядний графік функції дає ясність на багато речей
графік функції

 

5) функція

Розв'язання: ОДЗ функції вся вісь крім нуля знаменника
область визначення
Шукаємо похідну від частки
похідна від частки
похідна від частки
та критичні точки функції
точки екстремуму
При переході через (-1) похідна не змінює знак, так як знаменнику дужка в парному степені. В нулі похідна менша нуля
знак похідної
отже на інтервалі між (-1) і 1функція спадає. Далі розставляємо знаки похідної згідно правил

Отримали, що функція зростає на інтервалах
інтервали зростання
та спадає посередині інтервали спадання функції

При x=-3 маємо максимум, в точці x=1 – мінімум функції.

Ординати екстремумів обчислюємо підстановкою в функцію
максимум
мінімум
Особливості поведінки відображає графік функції
графік функції

 

6) функція

Розв'язання: Область визначення встановлюємо з умови обмеження кореня
область визначення
Обчислюємо похідну
похідна
і знаходимо критичні точки
умова на екстемум
Дана точка не належить області визначення До них добавляємо нулі знаменника
критичні точки
Перевіряємо знак похідної в одиниці
знак похідної
Отже функція зростає на інтервалі
інтервал зростання
та спадає при
інтервал спадання
Точок екстремуму функція немає, а її графік має вигляд
графік функції

 

7) функція

Розв'язання: Область визначення вся вісь, оскільки знаменник завжди більший нуля.
Визначимо критичні точки функції
умова на екстремуми
рівняння

екстремуми
Крім того точка x=0 є точкою перегину, оскільки змінна входить в похідну при парному степені. Похідна всюди додатна, отже функція зростає на множині дійсних чисел і немає точок екстремуму.
Графік функції наведено нижче
графік функції

 

8) функція
Розв'язання: Область визначення обмежена двома нулями знаменника
область визначення
Встановимо критичні точки функції
похідна, обчислення
похідна, обчислення
критична точка
Функція спадає при більших значеннях змінної за нуль
інтервали спадання функцції
та зростає зліва від інтервалів
інтервали зростання
В нулі маємо максимум
максимум
Графік функції із встановленими характеристиками наступний
графік функції

 

Приклад 54. Знайдіть, при яких значеннях a функція
функція
1) не має критичних точок;
2) не має точок екстремуму.

Розв'язання:
1) Область визначення вся дійсна вісь.
Не має критичних точок означає, що похідна не дорівнює нулеві.
Знайдемо похідну
похідна
Визначимо параметр a
умова на параметр
Синус приймає значення від (-1) до 1. Необхідно, щоб права сторона приймала значення за межами проміжку
умова
Отримали два інтервали розв'язків
розв'язок
2) На краях знайденого інтервалу критичні точки будуть перегинами, це слідує з вигляду функції перша –періодична парна, друга – рівняння прямої. Тобто на краях немає точок екстремуму

Переконатися в цьому Ви можете з графіків відповідних функцій
графік функції

Розв'язки до Збірника задач з алгебри 11 клас. Мерзляк

Переглянути тематично подібні матеріали

Сподобався матеріал - порекомендуйте друзям!