Завдання на часткові похідні розв'язують студенти на1, 2 курсі навчання. Такі приклади задають і заочникам і студентам стаціонарної форми. Початкові прилади досить прості, однак на контрольній та тестах попадають складні приклади на обчислення часткових похідних. Все залежить від складності функції – поліноми та прості тригонометричні функції піддаються диференціюванню без значних труднощів, а от дробово-раціональні функції, комбінації раціональних та показникових вимагають більшої уваги та часу для знаходження похідних. Схема обчислень похідної від функції 2 змінних достатньо проста – змінну по якій не диференціюють вважають константою при обчисленні і першої, і другої похідної. На практиці це виглядає наступним чином.

Приклад 1. Знайти часткові похідні й повний диференціал першого порядку функції
в точці N(1;2) при заданому аргументі : delta[x]=0,03; delta[y]=-0,02

Розв'язання: Знайдемо часткові похідні першого порядку від заданої функції двох змінних:

В точці N(1;2) обчислюємо часткові похідні рівні


Повний диференціал знайдемо за формою

Із обчислень бачимо, що знайти повний диференціал функції під силу кожному.

 

Приклад 2. Знайти часткові похідні другого порядку функції
Розв'язання: Обчислюємо часткові похідні першого порядку від заданої функції двох змінних:


Далі повторним диференціюванням по кожній із двох змінних знаходимо часткові похідні другого порядку.
Друга похідна по "ікс" прийме значення


Друга похідна по "ігрику"


Друга похідна по "ікс ігрик"


При обчисленні похідних використовували правило похідної частки функцій.



Приклад 3. Обчислити часткові похідні другого порядку функції
Розв'язання: Знаходимо часткові похідні першого порядку від квадрату синус функції від двох змінних:

Тут спростили вираз за формулою подвійного кута.

Повторним застосуванням похідної знаходимо часткові похідні другого порядку



Це і є відповіддю до задачі.



Приклад 4. Дослідити на екстремум функцію двох змінних
Розв'язання: Знайдемо критичні точки функції. Для цього обчислюємо часткові похідні першого порядку


та прирівнюємо їх до нуля. В результаті отримаємо систему двох рівнянь, яку і розв'язуємо



Критична точка із системи рівнянь рівна (0;-2).
Щоб встановити, чи функція в критичній точці набуває максимуму чи мінімуму слід знайти похідні другого порядку в критичній точці



і визначити характер критичної точки зі знаку

Оскільки A>0 та параметр A*C-B*B>0 більший нуля, то функція має мінімум в знайденій точці. Знайдемо значення функції в точці мінімуму

Графік функції двох змінних в околі точки мінімуму має вигляд
Такого роду приклади на часткові похідні зустрічаються на першому другому курсі навчання математичних дисциплін. Якщо Вам не під силу знайти часткові похідні функції першого та другого порядку, в навчанні зустрічаються складні функції, або навчаєтеся заочно тоді звертайтеся до нас. Через форму зворотнього зв'язку Ви завжди можете замовити у нас тести чи контрольну. Пам'ятайте, що наш сервіс працює для того, щоб полегшити Вам навчання!