Примеры на интегрирование функций подобного состава заданий задают студентам 1, 2 курсов. Это в основном задания для математиков, экономистов, статистов, программистов. Данные интегралы задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка, другие ВУЗы Украины также практикует подобные здания на контрольных по интегрированию. Чтобы формулы в задачах и ответах не повторялись условия заданий выписывать не будем. Всем и так известно что в задачах нужно или "Найти интеграл", или "Вычислить интеграл".

Пример 18. Для раскрытия иррациональности в знаменателе дроби необходимо в подобных примерах выполнять такую замену переменных - "икс" в наименьшей степени. В результате придем к интегралу от дробной функции
замена при интегрировании
дальше выполняем деления числителя на знаменатель и упрощение
интегрирование
Таким образом без громоздких расписаний дробей придем к интегралу
интегрирование
Пример 19. Корневую функцию обозначаем за новую переменную в квадрате (для удобства вычислений). Далее находим дифференциал переменной, подставляем в неопределенный интеграл и выполняем упрощение.
замена переменных
В результате замены получим дробь которая разделяется на два интеграла. Второй интеграл равен разнице логарифмов
интегрирование

Пример 20. Следующие интегралы касаются исключительно тригонометрических функций, а именно их произведения, квадратов, кубов, рациональных функций. Первый из приведенных интегралов нужно свести к синусу. Для этого косинус в 5 степени расписываем на произведение косинуса в 4 степени на косинус, который вносим под дифференциал
интегрирование
замена переменных под интегралом
Для упрощения вводим замену переменных и приходим к интегрированию полинома
интегрирование
После интегрирования возвращаемся к замене и вместо t везде записываем sin(x).
Пример 21. Для вычисления интеграла нужно снизить степень синуса. Таким образом используем тригонометрические формулы, понижаем степень первой, а дальше находим интеграл по табличным формулам.
интегрирование функции
интегрирование функции
Пример 22. Нужно найти интеграл от произведения двойного синуса на тройной косинус. Под дифференциал ничего внести не удастся, поскольку имеем различные переменные. Для упрощения распишем произведение тригонометрических функций через разницу синусов

Пример 23. Данный интеграл без универсальной тригонометрической замены переменных найти не удастся. Поэтому пусть тангенс половины угла равный t, тогда синус превратится по формуле
замена переменных
После раскрытия скобок в знаменателе получим квадратный трехчлен

Для сведения такой дроби к табличному арктангенсу в знаменателе сначала выделяем квадратный трехчлен

Не забываем в конце вернуться к выполненной в начале замены. Это важно при тестах и контрольных.
Пример 24. Здесь можем использовать универсальную тригонометрическую замену, а может пойти другим путем. Вынесем в знаменателе синус в квадрате за скобки и перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы по тригонометрическим формулам получить котангенс. Его и обозначим за новую переменную u, вычисляем также дифференциал du и подставляем все в интеграл
преобразование интеграла
В результате интегрирования получим табличную формулу арктангенса
интегрирование
Пример 25. Необходимо вычислить интеграл от тангенса в квадрате от тройного аргумента. Сначала расписываем тангенс как часть синуса к косинусу. Далее синус в квадрате расписываем через косинус. После деления числителя на знаменатель получим два интеграла которые без труда находим по формулам интегрирования

Как только Вы изучите приведенные схемы и методики сведения интегралов под то или иное правило, научитесь видеть в примерах табличные интегралы и преобразования, которые в несколько шагов позволят Вам найти интеграл - тогда контрольная работа, или "срезы" для Вас не будут препятствием в обучении. Для этого нужно решить с десяток различных интегралов к каждому из приведенных типов. Все остальные после этого будут для Вас подобными, а схема их вычислений очевидной и понятной. Если в обучении встречаются сложные интегралы или сомневаетесь в собственных силах помните - мы всегда готовы оказать помощь. Это предложение актуально не только для студентов стационарной формы обучения, но и для заочников и школьников. В 11 классе в обучении с недавних времен школьникам также приходится иметь дело с интегралами.

Готовые решения контрольной по интеграции