Примеры на интегрирование функций методом замены переменных взято из материалов контрольной работы, которую задавали студентам 1, 2 курсов математических факультетов. Для экономии Вашего времени сами условия задач пропущенные, везде нужно или "Найти неопределенный интеграл" или "Вычислить интеграл". Текста в комментариях к каждому заданию ровно столько, сколько нужно Вам для усвоения материала и изучение методики и схем интегрирования.
Пример 1. При интегрировании дробной функции необходимо в знаменателе корень квадратный превратить в показатель, далее разделить числитель на знаменатель и полученные слагаемые проинтегрировать. Если не вдаваться в детали то в конечном варианте интеграл примет значение
интеграл функции
Для большинства студентов ход вычислений должен быть понятным, если переход между последними двумя строками Вы не можете осуществить то начните с того, что откройте или распечатайте основные формулы интегрирования.
Пример 2. Имеем под интегралом дробь от синус функции, которую упрощаем делением числителя на знаменатель. Далее знаменатель дроби во втором интеграле расписываем по теореме косинуса, а синус вносим под дифференциал. Таким образом перейдем к новой переменной t=cos(x) в интегрировании.
интегрирование синусов
Второй интеграл по табличным формулам равный разнице логарифмов от простых множителей знаменателя
интегрирование
Возвращаемся к замене которую выполняли. На этом интегрирования можно было и завершить, а можно записать в компактном виде. Но для этого необходимо знать или иметь под рукой тригонометрические формулы и свойства логарифма.
упрощение
Пример 3. Для вычисления интеграла запишем знаменатель дроби в виде разности квадратов, а дальше умножим на минус единицу и сведем к разности логарифмов от простых множителей
интеграл
Минус перед логарифмом преобразовали в показатель функции, поэтому дробь под логарифмом в конечном варианте перевернута.
Пример 4. Очень поучительное задание на интегрирование, побольше бы таких на контрольных и тестах. Если бы в степени имели 3 или 4, то поднимать еще хоть как-то было бы можно. Здесь же стоит 10, поэтому возводить к 10 степени мало кто захочет. Выражение в скобках в подобных заданиях на интегрирование обозначьте за новую переменную t=2x+5. Далее применяем табличную формулу и после того как проинтегрировали не забываем подставить замену.
замена переменных под интегралом
Хорошо запомните схему вычисления этого интеграла.
Пример 5. На первый взгляд сложный интеграл, однако схема вычислений достаточно проста. Обозначим арккосинус за новую переменную t=arccos(x) и запишем ее дифференциал. Как видите дифференциал равен dx разделить на знаменатель. И такая схема присущая большинству сложных примеров на неопределенные интегралы. Поэтому Ваша основная задача - научиться видеть замены переменных, схемы возведения под табличную формулу, удачно выбирать функцию под правило интегрирования по частям. А для этого нужно решить много интегралов, поэтому лучше учиться на готовых ответах + самостоятельная работа.
замена переменных под интегралом
Пример 6. Под интегралом имеем дробную иррациональную функцию от экспоненты. Для вычисления интеграла обозначим функцию под корнем за новую переменную. Также преобразуем экспоненту в числителе и найдем дифференциал от новой переменной.
замена переменных под интегралом
После таких действий полученный интеграл по сложности ничем не будет уступать первому из рассмотренных примеров. После интегрирования не забываем вернуться к выполненной в начале замене переменных.
вычисление интеграла
Пример 7. Для вычисления этого и подобных примеров Вы должны знать что производная от логарифма равна единице разделенной на переменную. Таким образом большинство интегралов где содержится показательная функция от логарифма и «икс» в знаменателе за новую переменную выбирайте логарифм t=ln(x). В результате интеграл существенно упростится и получим компактный ответ
замена переменных под интегралом
Остальные ответы в следующих материалах. Помните что такого рода интегралы задают на контрольной и тестах, поэтому внимательно разбирайте ответы к заданиям.

Готовые решения контрольной по интегрированию