ЗНО математика. Ірраціональні рівняння

Шановні школярі, випускники, абітурієнти, цей розділ допоможе підготуватися до зовнішнього оцінювання 2017 року. Відповіді до тестів допоможуть Вам зрозуміти матеріал та методику обчислень, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

Розділ II. Рівняння і нерівності

Завдання 2.34 Розв'яжіть рівняння з коренями
Якщо рівняння має один корінь, упишіть його у відповідь; якщо два корені - упишіть їх суму.
Розв'язання: Задано ірраціональне рівняння, тому спершу досліджуємо область визначення коренів:
2x+5>0; x>-5/2=-2,5
x-1>0; x<1.
Спільним для двох є інтервал , на ньому і будемо шукати розв'язок.
Підносимо обидві частини рівняння до квадрату та спрощуємо

Знову отримали рівняння з коренем, щоб позбутися ірраціональності підносимо до квадрату

Після групування доданків отримаємо квадратне рівняння
x²-372x+3620=0.
Обчислюємо дискримінант
D=3722-4*3620=123904
Та корені рівняння
корені квадратного рівняння
Обидва корені належать ОДЗ тому за умовою завдання знаходимо їх суму
362+10=372.
Відповідь: 372.

Завдання 2.35 Розв'яжіть рівняння
Якщо рівняння має один корінь, упишіть його після слова "Відповідь", якщо декілька коренів, упишіть їх суму.
Розв'язання: Задано рівняння з коренем, тому виписуємо ОДЗ з умови обмеження на підкореневу функцію
x²>7/8.
Далі підносимо до квадрату обидві частини і зводимо до квадратного рівняння
8x²-7=9x²-24x+16;
x²-24x+23=0
Оскільки коефіцієнти різняться на одиницю, то розв'язок знаходимо за теоремою Вієта.
(x-23)(x-1)=0;
x=23; x=1.
Оскільки x=1 не входить в ОДЗ, то x=23 – єдиний розв'язок рівняння.
Відповідь: 23.

Завдання 2.36 Розв'яжіть рівняння
Якщо рівняння має декілька коренів, то у відповідь запишіть їх суму. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть у відповідь цей корінь.
Розв'язання: Для даного рівняння ОДЗ знаходити не будемо, а лише перевіримо корені вкінці обчислень підстановкою. Це деколи допомагає зберегти кілька хвилин на тестах. Підносимо до квадрату, щоб позбутися ірраціональності
6-4x-x²=x²+8x+16;
2*x²+12*x+10=0;
x²+6*x+5=0.
Обчислюємо дискримінант та корені рівняння
D=62-4*5=36-20=16
корені квадратного рівняння
Виконаємо підстановку

Один корінь зайвий, таким чином x=-1 – корінь ірраціонального рівняння.
Відповідь: -1.