Завдання 1. Обчислити

Розв'язування: Спростимо вираз на основі властивостей степенів

Відповідь: 9 – Д.

Завдання 2. Прямі l, m і n лежать в одній площині (див. рисунок).

Визначте градусну міру кута α.
Розв'язування: Нехай прямі l і n перетинаються в точці A, прямі m і n - у точці B, прямі l і m - у точці C.

Отримали трикутник ABC, у якого ∠ABC=50⁰ (внутрішній кут B), ∠50⁰ (зовнішній кут).
Знайдемо внутрішній кут A, який є суміжним до кута 120⁰:
∠BAC=180⁰-120⁰=60⁰.
За теоремою про суму кутів трикутника ABC знайдемо кут ACB (внутрішній кут C):
∠ACB=180⁰-(60⁰+50⁰)=180⁰-110⁰=70⁰.
Кути ACB і α - вертикальні, а тому за теоремою рівні, отже α=∠ACB=70⁰.
Відповідь: 70⁰ – Г.

Завдання 3. Копіювальна машина робить 3 копії за 4 секунди. Яку максимальну кількість копій можна одержати за 1 хвилину?

Розв'язування: 3/4 копій може зробити машина за 1 секунду, 1 хв=60 с, тоді

копій (за 1 хвилину).
Відповідь: 45 – А.

Завдання 4. Яке з наведених чисел є коренем рівняння ?

Розв'язування: Перетворимо рівняння та виразимо "ікс"

Відповідь: -1 – Д.

Завдання 5. Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 72 см.
Визначте довжину одного ребра цього куба.

Розв'язування: Куб - чотирикутна пряма призма, у якої всі ребра рівні.

Запам'ятайте, що у куба всього 12 ребер, тому
72:12=6 (см) - довжина одного ребра.
Відповідь: 6 см – А.

Завдання 6. На рисунку зображено графік функції y=f(x) визначеної на проміжку [-2;4]. Укажіть нуль цієї функції.

Розв'язування: Нуль функції - це точка на осі абсцис (Ox), у якій графік функції y=f(x) перетинає цю вісь, з графіка це x=1.
Відповідь: x=1 – В.

Завдання 7. Розв'яжіть рівняння x^2-4x+3=0.

Розв'язування: Квадратне рівняння обчислюємо через дискримінант

Відповідь: 1; 3 – Б.

Завдання 8. На вершину гори ведуть 5 доріг. Скільки всього є варіантів вибору маршруту підйому на вершину гори однією дорогою, а спуску іншою?

Розв'язування: При підйомі на гору можна вибрати 5 різних варіантів, тобто m=5;
при спуску з гори лишається вибрати вже з 4 інших маршрутів, тобто n=4. Загальна кількість варіантів сходження на гору і спуску з гори різними шляхами є добутком (оскільки сходження і спуск пов'язані сполучником "і") m=5 і n=4, тобто m•n=5∙4=20.
Відповідь: 20 – Г.

Завдання 9. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.
ІІ. Діагоналі будь-якого чотирикутника точкою перетину діляться навпіл.
ІІІ. Діагоналі будь-якого квадрата перпендикулярні.

Розв'язування: Твердження І і ІІІ є властивостями ромба (а також квадрата, як різновиду ромба), тому вони є правильними.
Твердження ІІ є неправильним, оскільки чотирикутник не має такої властивості і далеко не у всіх чотирикутників діагоналі у точці перетину діляться навпіл.
Відповідь: лише І та ІІІ – Д.

Завдання 10. На якому з рисунків зображено ескіз графіка функції ?

Розв'язування: Графік функції y=0,5^x спадає на всій області визначення і має область значень E(y)=(0;+∞), причому y(0)=(0,5)0=1, тобто (0;1) - точка перетину графіка функції y=0,5^x з віссю ординат (Oy).

Робимо висновок, що ескіз графіка функції y=0,5^x є на рисунку Б.
Відповідь: Б.

Завдання 11. Радіус основи конуса дорівнює r, твірна - l. Твірна утворює з висотою конуса кут 60⁰ (див. рисунок). Визначте r/l.

Розв'язування: Маємо конус з твірною SA=l, радіусом основи AO=r і ∠ASO=60 – кут між твірною SA=l і висотою (за умовою задачі).

Розглянемо прямокутний ΔAOS (∠AOS=90⁰), в якому SA=l – гіпотенуза і ∠ASO=60⁰ – кут, що є протилежним до катета AO=r.
За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо відношення r/l:

Відповідь: r/l=√3/2 – А.

Завдання 12. Розкладіть вираз (x+y)^2-9x^2 на множники.

Розв'язування: Застосовуємо формулу різниці квадратів

Відповідь: (-2x+y)(4x+y) – В.

Завдання 13. Графік довільної функції y=f(x) паралельно перенесли вздовж осі y на 3 одиниці вниз.
Графік якої з наведених функцій отримали?

Розв'язування: Графік функції y=f(x) паралельно перенесемо вздовж осі y на a одиниць вниз і отримаємо графік функції y=f(x)-a.

При a=3 маємо y=f(x)-3.
Відповідь: y=f(x)-3 – Г.

Завдання 14. Спростіть вираз


Розв'язування: Перетворимо тригонометричний вираз
.
Відповідь: tg²a – Д.

Завдання 15. Розв'яжіть систему нерівностей


Розв'язування: Виразимо змінну з першої та другої нерівностей


звідси x∈(-∞;3).
Відповідь: (-∞;3) – А.

Завдання 16. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння
log₆₄x=1/2.

Розв'язування: За властивістю логарифма перетворимо праву сторону та розкриємо рівняння

x=8, звідси x∈(6;32).
Відповідь: (6;32) – Г.

Завдання 17. Скільки всього цілих чисел містить інтервал (√8;√81)?

Розв'язування: Оскльки коренева функція y=√x зростає на всій області визначення, то √4<√8<√9, тобто 2<√8<3 і √81=9.
Звідси випливає, що інтервал (√8;√81) містить наступні цілі числа:
3; 4; 5; 6; 7; 8.
Тобто всього 6 цілих чисел.
Відповідь: 6 – В.

Завдання 18. На рисунку зображено прямокутник і трикутник, що є гранями правильної трикутної призми. Периметр цього прямокутника дорівнює 38 см. Визначте площу основи цієї призми, якщо довжина висоти призми дорівнює 11 см.

Розв'язування: Маємо прямокутник AA1B1B, у якого
AA1=11 см (висота призми),
PAA1B1B=38 см - периметр,
A1B1=a - інша сторона прямокутника і сторона правильного трикутника A1B1C1 (сторона основи призми).
Знайдемо її:
P_AA1B1B=2∙(AA1+A1B1), тоді
2∙(11+a)=38,
11+a=19,
a=8 см.
A1B1=AB=8 см - довжина сторони основи призми.
Оскільки A1B1C1 - правильний (рівносторонній) трикутник, то
∠A1=∠B1=∠C1=60 і A1B1=B1C1=A1C1=a=8 см.
Знайдемо площу основи:

Відповідь: 16√3 см² – А.

Завдання 19. Каркас колеса огляду складається з двох однакових кіл, до яких прикріплені 18 кабінок на однаковій відстані одна від одної, та ребер (радіусів кіл), що з'єднують місця прикріплення кабінок та центри кіл (див. рисунок). Довжина кожного ребра дорівнює 27 м. Визначте довжину дуги AB кола із центром у точці O. Укажіть відповідь найближчу до точної. Товщиною каркасу знехтуйте.

Розв'язування: Зробимо математичну модель задачі. Маємо коло з центром O і радіусом r=27 м.

Коло розбито точками на 18 рівних частин, серед них точки A і B.
Тоді маємо
alpha=∠AOB=360⁰:18=20⁰ - величина центрального кута.
Знайдемо довжину l дуги AB:

Відповідь: 9,5м – Б.

Завдання 20. Функція F(x)=5x^4-1 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).

Розв'язування: Дві функції F(x) й G(x), які є первісними від функції f(x) відрізняються лише на сталу C, тобто F(x)-G(x)=C, звідси G(x)=F(x)-C.
Шукаємо серед варіантів А-Д первісну, яка відрізняється від заданої на константу

C=-2.
Записуємо первісну
G(x)=5x^4-1-(-2)=5x^4+1.
Відповідь: G(x)=5x^4+1 – Г.

Завдання 21. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Розв'язування: Побудуємо графіки заданих функцій.

1. .
ОДЗ кореня квадратного:
x-4≥0, тобто x≥4.
Але x=1 Отже, функція не визначена в точці x=1. Б

2. y(x)=x+4, тоді y(-3)=-3+4+1>0.
Графік функції y=x+4 проходить через точку A(-3;1).
Функція y=x+4 набуває додатного значення в точці x=-3. Г

3. y(x)=x^3, тоді y(-x)=(-x)^3=-x^3=-y(x).
Графік функції y=x^3 симетричний відносно початку координат. Тому функція y=x^3 є непарною. Д

Завдання 22. Установити відповідність між виразом (1– 3) та тотожно рівним йому виразом (А–Д), якщо a - довільне від'ємне число.

Розв'язування: За умовою маємо:
a<0.
Тоді виконуємо тотожні перетворення
1. a^0=1. Г
2. |a|+a=-a+a=0. А
3. . В

Завдання 23. Бічні сторони AB та CD прямокутної трапеції ABCD дорівнюють 6 см і 10 см відповідно. Менша діагональ трапеції лежить на бісектрисі її прямого кута (див. рисунок).

Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А–Д).
Розв'язування: 1. Оскільки ∠BAC=∠CAD (AC - бісектриса) і ∠BCA=∠CAD (внутрішні односторонні кути), то ∠BAC=∠BCA.
Звідси, ΔABC - рівнобедрений BC=AB, прямокутний.

Отже, BC=6 см - основа трапеції ABCD. А

2. У трапеції ABCD проведемо висоту CK до сторони AD (CK⊥AD), тоді CK=AB=6 см (оскільки трапеція прямокутна). Відрізок KD - проекція сторони CD на пряму AD.
У прямокутному ΔCKD (∠CKD=90⁰), у якого CD=10 см - гіпотенуза і CK=6 - катет, за теоремою Піфагора знайдемо інший катет KD:
Б

3. У прямокутній трапеції ABCD чотирикутник ABCK - квадрат, тому AK=BC=6 см, тоді AD=AK+KD=6+8=14 см - більша основа трапеції ABCD.
Відрізок MN - середня лінія трапеції ABCD, знайдемо її довжину:
Г

 Практично усі теми зі Збірника тестових завдань А. Капіносова Ви можете переглянути на сторінках сайту. Більшість з низ містить категорія "Математика".
Решта готових розв'язків на тестові завдання під номерами 24-35 читайте в наступній публікації.

Завдання 24. Установіть відповідність між вимірами циліндра (1– 3) та правильним щодо нього твердженням (А–Д).

Розв'язування: 1. Маємо циліндр з розмірами R=6 - радіус основи і H=4 - висота.
Тоді AA1=H=4 - твірна циліндра. В

2. Задано циліндр з розмірами R=2 - радіус основи і H=6 - висота.
Тоді площу бічної поверхні циліндра знайдемо за формулою
Г

3. Маємо циліндр з розмірами R=4 - радіус основи і H=6 - висота. Тоді циліндр утворено обертанням прямокутника AA1O1O зі сторонами AO=A1O1=4 та AA1=OO1=6 навколо більшої сторони OO1=6. А

Завдання 25. Вартість оренди автомобіля бюджетного класу складається з основної плати та додаткової плати за понаднормовий пробіг. За перевищення норми пробігу (50 км за одну добу) нараховують додаткову плату в розмірі 6 грн за кожен понаднормовий кілометр. Пробіг автомобіля, орендованого на 6 діб, становить 420 км.
1. Яку суму грошей P (у грн) становитиме додаткова плата за понаднормовий пробіг орендованого автомобіля?
2. Основна плата за оренду автомобіля є фіксованою й становить 400 грн за кожну добу. Скільки відсотків від основної плати за 6 діб становить сума грошей P?
Розв'язування: 420:6=70 (км) - пробіг орендованого автомобіля за 1 добу;
70-50=20 (км) - понаднормовий пробіг автомобіля за 1 добу;
20∙6=120 (грн) - додаткова плата оренди авто за 1 добу.

1. P=120∙6=720 (грн) - додаткова плата за понаднормовий пробіг орендованого автомобіля за 6 діб.
400•6=2400 (грн) - основна плата оренди авто за 6 діб.

2. Складаємо пропорцію

звідси рівняння

тоді

Отже, 30% від основної плати за 6 діб становить сума грошей P.
Відповідь: 720; 30%.

Завдання 26. На рисунку зображено прямокутник ABCD та два кола, що мають зовнішній дотик.

Коло із центром у точці O1 дотикається сторін AB, BC та AD, а коло із центром у точці O2 проходить через вершини C та D. Відстані від точки O2 до вершини C та сторони CD дорівнюють 20 см і 12 см відповідно.
1. Визначте радіус меншого кола (у см).
2. Обчисліть площу трикутника DO1C (у см²).

Розв'язування: За умовою задачі маємо:
O2C=r2=20 см - відстань від центра кола O2 до вершини C, радіус більшого кола;
O2K=12 см - відстань від точки O2 до сторони CD (O2K⊥CD).
N - точка дотику двох кіл, тому O2N=r2=20 см;
O1N=r1- радіус меншого кола; точки O1, N, O2 і K лежать на одній прямій (O1K⊥CD).
У прямокутному ΔO2KC (∠O2KC=90) за теоремою Піфагора знайдемо катет CK:

1. CK=O1M=O1N=r1=16 см - радіус меншого кола (з центром у точці O1).

2. Площа трикутника DO1C:
S_ΔDO1C=1/2•O1K•CD, де CD=2•CK=2•16=32 (см) - основа рівнобедреного ΔDO2C (O2C=O2D=r2), тому відрізок O2K - висота, бісектриса і медіана у ΔDO2C;
O1K=O1N+O2N+O2K=r1+r2+O2K=16+20+12=48 (см).
Обчислюємо площу

Відповідь: 16; 768.

   Завдання 27. Розв'язування В арифметичній прогресії (a_n) відомо, що a₂-a₅=7,8.
1. Визначте різницю d цієї прогресії.
2. Визначте перший член a₁ цієї прогресії, якщо її третій член a₃=-1,8.

Завдання 28. Човен проплив 18 км проти течії річки, витративши вдвічі менше часу, ніж на подолання 48 км за течією. Власна швидкість човна є сталою. Визначте власну швидкість човна (у км/год), якщо швидкість течії дорівнює 2,5 км/год.
Розв'язування: Позначимо x, км/год - власна швидкість човна;
x+2,5, км/год - швидкість човна за течією річки;
x-2,5, км/год - швидкість човна проти течії річки;
, год - час, за який проплив човен за течією річки;
, год - час, за який проплив човен проти течії річки.
Тоді за умовою складаємо рівняння
.
Перш ніж його обчислювати випишемо ОДЗ:

Розписуємо рівняння

Звідси, 17,5 км/год - власна швидкість човна.
Відповідь: 17,5.

Завдання 29. У першому рядку таблиці наведено значення температури повітря, яку вимірювали на метеостанції через кожні 3 години впродовж доби. У другому рядку зазначено частоту фіксувань відповідного значення температури впродовж доби. За даними метеостанції визначте середню температуру (у ⁰С) протягом цієї доби.

Розв'язування: Середню температуру обчислимо як відношення суми температур, з урахуванням частотності, та суми частот: .
Відповідь: 15,5.

  Завдання 30. Пояснення Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, апофема - 13 см. Обчисліть об'єм (у см³) цієї піраміди

Завдання 31. Для участі в роботі студентської ради з кожної з двох груп навмання вибирають по 1 студенту. Серед 24 студентів першої групи проживають у гуртожитку 6 студентів, а серед 28 студентів другої групи - 14 студентів.
Яка ймовірність того, що обидва вибрані для роботи в раді студенти будуть з тих, хто проживає у гуртожитку?
Розв'язування: Нехай A - подія, яка полягає у тому, що у першій групі з 6 студентів, які проживають у гуртожитку навмання вибрали 1 студента з 24 у студентську раду, тоді ймовірність цієї події P(A) обчислюють наступним чином:
P(A)=6/24=1/4.
B - подія, яка полягає у тому, що у другій групі з 14 студентів, які проживають у гуртожитку навмання вибрали 1 студента з 28 у студентську раду, тоді ймовірність цієї події P(B) обчислюють аналогічно: P(B)=14/28=1/2.
Оскільки студентів обирають і з першої, і з другої групи, то ймовірність обчислимо як добуток ймовірностей для кожної з груп:

Відповідь: 0,125.

Завдання 32. У прямокутній системі координат Оху на площині коло задано рівнянням x²-4x+y²+12y=9. Центр O цього кола збігається з точкою перетину діагоналей паралелограма ABCD. Визначте координати вершини C(x_c;y_c), якщо вектор OA(-1;2). У відповідь записати добуток x_c∙y_c.
Розв'язування: Щоб визначити координати центра O(x₀;y₀) кола та його радіус R, зведемо рівняння кола до канонічного виду:
Отримали коло з центром у точці O(2;-6) і радіусом R=7. Оскільки діагоналі AC і BD паралелограма ABCD у точці перетину (точка O(2;-6)) діляться навпіл, то вектори рівні, звідси CO(-1;2).

Знайдемо координати точки C(x_c;y_c):

Отримали точку C(3;-8), де x_c∙y_c=3∙(-8)=-24.
Відповідь: -24.

Завдання 33. Задано функції f(x)=1 та g(x)=sin(x).
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g на проміжку [-π/2;π/2].
3. Позначте на рисунку точку, що є спільною для обох побудованих графіків функцій f і g, і запишіть її координати.
4. Знайдіть множину всіх коренів рівняння f(x)=g(x) на інтервалі (-∞;+∞).
Розв'язування: 1. Графік функції f(x)=1 є паралельним осі абсцис (Ox) і перетинає вісь ординат (Oy) у точці (0;1).

2. Графіком функції g(x)=sin(x) є синусоїда на проміжку [-π/2;π/2], яка є симетричною відносно осі ординат (функція g(x)=sin(x) непарна).
Для побудови графіка знайдемо координати деяких точок і запишемо у таблицю:

3. На рисунку та з таблиці видно, що точка A(π/2;1) є спільною для обох графіків функцій f(x)=1 та на g(x)=sin(x) проміжку [-π/2;π/2].
4. Розв'яжемо рівняння f(x)=g(x) на множині дійсних чисел (-∞;+∞):

 Завдання 34. Повна відповідь У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 через сторону AD нижньої основи та середину ребра B1C1 проведено площину γ. Висота паралелепіпеда дорівнює 18, грань CC1D1D є квадратом. Діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут α.
1. Побудуйте переріз паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 площиною γ.
2. Укажіть вид перерізу та обґрунтуйте свій висновок.
3. Визначте площу перерізу.

Завдання 35. Задано рівняння , де x - змінна, a - стала.
1. Розв'яжіть рівняння 5^(2x+1)-25^x-20=0
2. Розв'яжіть задане рівняння залежно від значень a.
Розв'язування: 1. Розпишемо показникове рівняння:

2. Розв'яжемо перше рівняння залежно від значень параметра a.

ОДЗ:
Рівняння розпадається на два рівняння:
а) 5^(2x+1)-25^x-20=0;
б) .
x=1/2 - корінь рівняння 5^(2x+1)-25^x-20=0.
Підставимо його в ОДЗ і знайдемо значення a, за яких цей корінь може існувати:

Отже, при a∈[12;+∞) маємо x=1/2 розв'язок заданого рівняння. Розв'яжемо рівняння

Підставимо отриманий розв'язок в ОДЗ і знайдемо значення a, за яких цей корінь може існувати:

Обидві нерівності останньої системі є еквівалентними, тому

Розв'яжемо рівняння

Отже, є розв'язком рівняння, якщо параметр належить 2 інтервалам
.
Запишемо усі розв'язки рівняння залежно від значень параметра a:
якщо , то рівняння коренів не має;
якщо , то ;
якщо a∈[12;+∞), то x=1/2 і .

Ви можете самостійно знайти безліч онлайн ресурсів де можна пройти тестування на основі завдань підібраних зі "Збірника для тестових завдань" А. Капіносова, перевірити, що Ви вмієте та визначити, які теми Вам слід підтягнути. Додатково можете займатися як самостійно так із репетитором.
І пам'ятайте, що найкраща підготовка, це практика. Чим більше Ви пройдете завдань з цього збірника, тим сміливіше будете себе почувати на тестах.

Завдання 1. Спростіть вираз , де b≠0.

Відповідь: 0,1b⁶ – А.

Завдання 2. Кола із центрами в точках O та O1 мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань OO1, якщо радіуси кіл дорівнюють 12 см і 8 см.

Розв'язування: Маємо коло з центром у точці O і радіусом r=12 см, а також коло з центром у точці O1 та радіусом r1=8 см.
Оскільки обидва кола мають зовнішній дотик, то
OO1=r-r1=12-8=4 см.
Відповідь: 4 см – Г.

Завдання 3. Розв'яжіть рівняння (x+1)(2x-3)=0.

Розв'язування: (x+1)(2x-3)=0,
x+1=0 або 2x-3=0, 2x=3,
звідси x1=-1 або x2=1,5.
Відповідь: -1; 1,5 – Д.

Завдання 4. Якщо ціна паркету (p) пов'язана із ціною деревини для його виробництва (d) співвідношенням p=5d+8, то d= ?

Розв'язування: p=5d+8,
p-8=5d,
d=(p-8)/5.
Відповідь: (p-8)/5 – В.

Завдання 5. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?

Розв'язування: На рисунку зображено розгортку прямої трикутної призми, у якої основи - два трикутники, а бічні грані - три прямокутники.
Відповідь: А.

Завдання 6. Укажіть формулу для обчислення об'єму V конуса, площа основи якого дорівнює S, а висота - h.

 Розв'язування: Об'єм V конуса дорівнює третині добутку площі основи S на висоту h, тобто

Відповідь: – Д.

Завдання 7. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [1;8]. Скільки нулів має ця функція на заданому проміжку?

Розв'язування: Нулі функції - це точки перетину графіка функції y=f(x) з віссю абсцис (Ox). Графік заданої функції y=f(x) перетинає вісь абсцис в одній точці, тому має один нуль функції.
Відповідь: один – Б.

Завдання 8. Яке з наведених чисел є розв'язком нерівності |x|>3?

Розв'язування:

звідси x∈(-∞;-3)∪(3;+∞).
Цьому проміжку належить число -8.
Відповідь: -8 – Д.

Завдання 9. Яку з наведених властивостей має функція y=√x?
А   набуває лише невід'ємних значень
Б   спадає на всій області визначення
В  парна
Г  періодична
Д  має дві точки екстремуму

Розв'язування: За властивістю кореневої функції y=√x вона набуває лише невід'ємних значень (тобто y≥0);
зростає на всій області визначення;
не є парною, ні непарною;
неперіодична;
точок екстремуму не має.
Відповідь: набуває лише невід'ємних значень – А.

Завдання 10. Спростіть вираз (1-sin²α)•tg²α.

Відповідь: sin²α – Г.

Завдання 11. На діаграмі відображено розподіл кількості працівників фірми за віком. Скільки всього працівників працює на цій фірмі?

Розв'язування: Випишемо і додамо кількість працівників по кожному стовпчику на діаграмі:
36+40+24+16+4=120.
Відповідь: 120 – В.

Завдання 12. Скоротіть дріб


Відповідь: (a+b)/a – А.

Завдання 13. На рисунку зображено паралелограм ABCD. Які з наведених тверджень є правильними?

І. ∠ABC+∠BCD=180⁰.
ІІ. AB=CD.
ІІІ. AC⊥BD

Розв'язування: У паралелограма ABCD сума двох сусідніх кутів дорівнює 180⁰, тобто ∠ABC+∠BCD=180⁰;
протилежні сторони рівні, зокрема AB+CD;
діагоналі у точці перетину діляться навпіл, але не є перпендикулярними (у загальному випадку).
Відповідь: лише І і ІІ – В.

Завдання 14. Якому з наведених проміжків належить число log₂(1/3)?

Розв'язування: Зробимо деякі перетворення:

Графік функції y=log₂x зростає на всій області визначення (x>0),

тому log₂2<log₂3<log₂4, де
log₂2=1 і

отже 1<log₂3<2, тоді
-2<-log₂3<-1,

Тому (-3;-1) проміжок, якому належить число log₂(1/3).
Відповідь: (-3;-1) – Б.

Завдання 15. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-3;3].

Одна з наведених точок належить графіку функції y=-f(x). Укажіть цю точку.
Розв'язування: Побудуємо графік функції y=-f(x), визначеної на проміжку [-3;3]. Точки графіка функції y=-f(x) є симетричними відносно осі абсцис (Ox) до точок графіка функції y=f(x).

Точка з координатами (2;2), яка належить графіку функції y=f(x), є симетричною до точки N(2;-2) відносно осі абсцис, тому точка N належить графіку функції y=-f(x) (дивись рисунок).
Відповідь: N – Д.

Завдання 16. Розв'яжіть систему рівнянь

Для одержаного розв'язку укажіть (x0;y0) укажіть добуток x0•y0.

Розв'язування:

Отже, (4;10) - розв'язок системи рівнянь, тоді
x₀•y₀=4•10=40.
Відповідь: 40 – Г.

Завдання 17. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, усі її бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60⁰. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.

Розв'язування: Маємо правильну чотирикутну піраміду SABCD, в основі якої лежить правильний чотирикутник (квадрат) ABCD зі стороною 6 см.
Тоді площа основи піраміди (квадрата):
S_oc=S_ABCD=6^2=36 см².
За теоремою «про площу ортогональної проекції многокутника» маємо співвідношення:
, де S_б - площа бічної поверхні піраміди і φ=60⁰ – кут між бічною гранню і основою піраміди, двогранний кут при основі. см².
Відповідь: 72 см² – А.

Завдання 18. На рисунку зображено графіки функцій y=f(x) і y=g(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

Розв'язування: При 2≤x≤7 маємо f(x)≥g(x), так як на графіку функція y=f(x) знаходиться вище, ніж функція y=g(x) на проміжку 2≤x≤7.
Тому площа зафарбованої фігури обчислюється наступним чином: .
Відповідь: – Г.

Завдання 19. На кресленні кутової шафи (вид зверху) зображено рівні прямокутники ABCD і KMEF та п'ятикутник EMOAD (див. рисунок).

Визначте довжину відрізка ED, якщо OK=OB=1,2 м, KM=AB=0,5 м, KF=0,3 м. Укажіть відповідь, найближчу до точної.
Розв'язування: Зробимо математичну модель задачі.

Маємо рівні прямокутники ABCD і KMEF та п'ятикутник EMOAD, у яких OK=OB=1,2 м, KM=AB=0,5 м, KF=BC=0,3 м.
З точки D на сторону OK і з точки E на сторону OB, відповідно, опустимо перпендикуляри DP та EQ, які перетнуться у точці S. Тоді отримаємо рівні прямокутники PMES і AQSD;
квадрат OQSP і прямокутний трикутник SED (∠DSE=90⁰). Отримаємо наступні розміри:
SE=PM=OK-KM-BC=1,2-0,5-0,3=0,4 (м);
SD=AQ=OB-AB-KF=1,2-0,5-0,3=0,4 (м).
У прямокутному трикутнику SED (∠DSE=90⁰), у якого SE=SD=0,4 м - катети, знайдемо гіпотенузу ED за теоремою Піфагора:

Відповідь: 0,55 м – Б.

Завдання 20. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння ?

Розв'язування: Розкриємо показникове рівняння:

Отриманий корінь x=1,5 належить проміжку [1;2).
Відповідь: [1;2) – Г.

Завдання 21. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Розв'язування: Побудуємо графіки заданих функцій.

1. Графік функції y=1 є паралельним до осі абсцис (осі x), тому не має спільних точок з віссю x. Г
2. y=cos(x). Нехай y=0, тоді cos(x)=0, звідси

тому графік функції y=cos(x) має безліч спільних точок з віссю x. В
3. y(x)=4-x^2, тоді y(1)=4-1^2=3, отримали точку (1;3), отже графік функції y=4-x^2 проходить через точку (1;3). Д
4. y=log₃x. ОДЗ: x>0, отже графік функції y=log₃x не перетинає вісь y (ординат). А

Завдання 22. Установіть відповідність між твердженням про дріб (1– 4) та дробом, для якого це твердження є правильним (А–Д).

Розв'язування: 1 Дріб 3/5 є правильним, бо 3<5 Б.
2 6/5=1,2, тому належить проміжку (1;1,5) Д.
3 Г.
4 А.

Завдання 23. Прямокутну трапецію ABCD (AD||BC, AD>BC) з більшою бічною стороною CD=10 описано навколо кола радіуса 4.

Установіть відповідність між величинами (1–4) та її числовим значенням (А–Д).

Розв'язування: 1. У прямокутній трапеції, в якій вписано коло, довжини меншої бічної сторони, висоти та діаметру кола рівні, тобто
AB=CK=2r=2•4=8, де AB||CK.
Отже, AB=8 - довжина сторони AB. Б.
2. У трапеції ABCD проведемо висоту CK до сторони AD (CK⊥AD). Відрізок KD - проекція сторони CD на пряму AD. У прямокутному ΔCKD (∠CKD=90), у якого CD=10 - гіпотенуза і CK=8 - катет, за теоремою Піфагора знайдемо інший катет KD:
А.
3. Якщо у чотирикутник (у трапецію ABCD) вписано коло, то суми протилежних сторін рівні, тобто BC+AD=AB+CD.
Нехай BC=x, тоді AD=AK+KD=x+6, так як AK=BC.
x+x+6=8+10,
2x=18-6=12,
x=6.
Отже, BC=6 і AD=6+6=12 - довжина сторони AD. Г
4. Відрізок MN - середня лінія трапеції ABCD.
Знайдемо її довжину:
В.

В наступній статті розглянемо наступні повні відповіді ЗНО 2019 тесту з математики.

Завдання 24. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Установіть відповідність між парою прямих (1– 4) та їх взаємним розташуванням (А–Д).

Розв'язування: 1. Пряма CC1 перпендикулярна до площини основи (квадрата ABCD), тому вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить у цій площині, AC⊥CC1 тобто прямі AC й CC1 перетинаються й утворюють прямий кут. В
2. Прямі AB1 і CD1 лежать у різних площинах і не перетинаються, тому прямі AB1 і CD1 мимобіжні. Б
3. Прямі AC й CD1 є діагоналями граней куба. У куба усі грані рівні, а тому діагоналі кожної грані також рівні, тому разом з діагоналлю AD1 утворюють рівносторонній ΔACD1, у якого всі сторони рівні, а також всі кути рівні і дорівнюють 60⁰. Отже, прямі AC й CD1 перетинаються й утворюють кут 60⁰. Д.
4. Прямі AB1 і C1D лежать в одній площині (діагональний переріз AB1C1D) і не перетинаються, тому прямі AB1 і C1D паралельні (AB1||C1D). А.

Завдання 25. У таблиці наведено тарифи на доставку вантажу за маршрутом N службою кур'єрської доставки. Будь-яку кількість вантажів можна об'єднувати в один, маса якого дорівнює сумі мас об'єднаних вантажів. Жодних додаткових платежів за об'єднання вантажів чи доставку вантажу, окрім указаних у таблиці, немає.

1. За яку найменшу суму грошей P (у грн) можна доставити цією службою за
маршрутом N три вантажі, маси яких становлять 31 кг, 36 кг та 40 кг?
2. Скільки відсотків становить P від загальної суми грошей за доставку цих
трьох вантажів, якщо кожен з них відправляти окремо?
Розв'язування: 1. За доставку вантажу масою 31 кг - плата 100 грн, 36 кг - плата 100 грн, 40 кг - плата - 100 грн.
Разом 300 грн.
Порахуємо суми мас окремо і дізнаємось вартість її доставки:
31+36=67 кг - плата 110 грн;
31+40=71 кг - плата 110 грн;
36+40=76 кг - плата 205 грн;
31+31+40=107 - плата 310 грн (що є більшою, ніж за кожний вантаж окремо). Отже, якщо доставляти вантажі 31 кг і 36 кг (разом 67 кг), об'єднавши в один, і вантаж масою 40 кг окремо, то отримаємо: p=110+100=210 грн - найменша сума грошей, за яку можна доставити цією службою за маршрутом N три вантажі.
2. звідси

70% становить P від загальної суми грошей за доставку цих трьох вантажів, якщо кожен з них відправляти окремо.
Відповідь: 210; 70.

  Завдання 26. Розв'язування На рисунку зображено ромб ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці O. Із цієї точки до сторони AD проведено перпендикуляр OK довжиною 3 см. Площа трикутника AOD дорівнює 15 см².

1. Визначте довжину сторони ромба ABCD (у см).
2. Обчисліть тангенс гострого кута ромба ABCD.

 Завдання 27. Обчислення За якого від'ємного значення x значення виразів x^2-4,3-5x та 2-3x будуть послідовними членами арифметичної прогресії?

Завдання 28. Маршрутний автобус, рухаючись зі сталою швидкістю, подолав відстань від міста A до міста B за 5 год, а на зворотний шлях витратив на 30 хв менше. Визначте швидкість (у км/год) автобуса на маршруті від A до B, якщо вона на 8 км/год менша за швидкість на маршруті від B до A. Уважайте, що довжини маршрутів від A до B та від B до A, якими рухався маршрутний автобус, рівні.
Розв'язування:Позначимо x, км/год - швидкість автобуса на маршруті від A до B;
x+8, км/год - швидкість автобуса на маршруті від B до A;
5x, км - відстань, довжина маршруту від A до B;
30 хв=0,5 год, тоді
5-0,5=4,5 год.
4,5(x+8), км - відстань, довжина маршруту від B до A.
За умовою довжини маршрутів від A до B та від B до A, якими рухався маршрутний автобус, рівні, тому
5x=4,5(x+8),
5x=4,5x+36,
(5-4,5)x=36,
0,5x=36,
x=36:0,5=72.
Шукана швидкість автобуса на маршруті рівна 72 км/год.
Відповідь: 72.

Завдання 29. У фінал пісенного конкурсу вийшло 4 солісти та 3 гурти. Порядковий номер виступу фіналістів визначають жеребкуванням. Скільки всього є варіантів послідовностей виступів фіналістів, якщо спочатку виступатимуть гурти, а після них - солісти? Уважайте, що кожен фіналіст виступатиме у фіналі лише один раз.
Розв'язування: Нехай m=4 - кількість солістів у фіналі;
n=3 - кількість гуртів у фіналі. Порахуємо кількість розташувань солістів у порядку їх виступу:
m!=4!=4·3·2·1=24.
Порахуємо кількість розташувань гуртів у порядку їх виступу:
n!=4!=3·2·1=6.
Тоді кількість варіантів послідовностей виступів фіналістів, якщо спочатку виступатимуть гурти, а після них - солісти обчислюють наступним чином: m!·n!=24·6=144.
Відповідь: 144.

Завдання 30. У прямокутній системі координат на площині xy задано прямокутний трикутник ACB (∠C=90). Коло з центром у точці A, задане рівнянням (x+3)^2+y^2-4y=21, проходить через вершину C. Сторона AC паралельна осі y, довжина сторони BC втричі більша за довжину сторони AC. Визначте координати вершини B(x_B;y_B), якщо вона лежить у першій координатній чверті. У відповідь запишіть суму x_B+y_B.

Розв'язування: Щоб визначити координати центра A(x_A;y_A) кола та його радіус R, зведемо задане рівняння кола до канонічного виду:

Кінцева формула описує коло з центром у точці A(-3;2) і радіусом R=5.
AC паралельна осі y (за умовою), то абсциса точки C дорівнює абсцисі точки A, тобто x_C=-3.
Обчислимо ординату точки C з умови, що ∠C=90⁰, тобто AC⊥BC і точка B(x_B;y_B) лежить у першій координатній чверті (за умовою), тобто BC паралельна осі x, тоді
|y_C-y_A|=R,
y_C-2=5,
y_C=5+2=7.
Координати C(-3;7).
Так як сторона BC паралельна осі x, то ордината точки B дорівнює ординаті точки C, тобто y_B=7.
Обчислимо абсцису точки B з умови, що BC=3·AC, тобто
BC=3R=3·5=15
і точка B(x_B;y_B) лежить у першій координатній чверті, тоді
|x_B-x_C|=15,  
x_B-(-3)=15,
x_B=15+(-3)=12.
Отож, отримали точку B(12;7),  де     x_B+y_B=12+7=19.
Відповідь: 19.

Завдання 31. Задано функції f(x)=2/x і g(x)=5-8x.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Знайдіть похідну функції f.
4. До графіка функції f проведено дотичні, паралельні графіку функції g. Визначте абсциси точок дотику.
Розв'язування: 1. Графік функції f(x)=2/x є гіпербола, гілки якої знаходяться в І та ІІІ чверті.
ОДЗ: x≠0.
Для побудови графіка знайдемо координати деяких точок і запишемо у таблицю:


2. Графіком функції g(x)=5-8x є пряма. Для побудови прямої достатньо знайти координати двох точок, запишемо їх у таблицю.
Далі виконуємо побудову графіків функцій

3. Знайдемо похідну функції f(x)=2/x:

4. Знайдемо абсциси точок дотику x₀.
Запишемо рівняння дотичної:

Оскільки дотичні до графіка функції f(x)=2/x є паралельними до прямої g(x)=5-8x (за умовою), то k=f'(x0)=-8 - кутовий коефіцієнт нахилу.
Звідси, F'(x0)=-8, тобто

x₁=1/2 або x₂=-1/2;
x₁=0,5 або x₂=-0,5 - абсциси точок дотику дотичних до графіка функції f(x)=2/x, які паралельні до прямої g(x)=5-8x.

 Завдання 32. Обчислення та побудова У нижній основі циліндра проведено хорду AB, довжина якої дорівнює c. Цю хорду видно із центра верхньої основи під кутом α. Через хорду AB проведено площину β паралельно осі циліндра на відстані d (d≠0) від неї.
1. Зобразіть переріз циліндра площиною β та вкажіть його вид.
2. Обґрунтуйте відстань d.
3. Визначте площу цього перерізу.

Завдання 33. Задано систему нерівностей

де x - змінна, a - стала.
1. Розв'яжіть першу нерівність цієї системи.
2. Визначте множину розв'язків другої нерівності системи залежно від значень параметра a.
3. Визначте всі розв'язки системи залежно від значень a.
Розв'язування: 1. Розв'яжемо першу нерівність системи:


отже x∈(-∞;-1]∪(2;+∞).

2. Розв'яжемо другу нерівність системи залежно від значень a:

Спростимо вираз в показнику :

Тоді отримаємо


Якщо a∈(-∞;0], то x∈(-∞;+∞),
якщо a∈(0;∞), то x∈(-∞;-log₂(2a)).

3. Знайдемо множину всіх розв'язків заданої системи залежно від значень параметра a:

Запишемо спільні розв'язки обох нерівностей системи, отриманих у 1 і 2 попередніх пунктах, залежно від значення a.
Випадок І: a∈(-∞;0], тоді x∈(-∞;-1]∪(2;+∞).
Оскільки ця множина x є частиною множини (підмножиною) x∈(-∞;+∞). Випадок ІІ: a∈(0;∞), отримаємо

Знайдемо такі значення a, при яких

причому a>0:

Враховуючи отримані значення a для кожного випадку, запишемо множину всіх розв'язків заданої системи нерівностей:
якщо a∈(-∞;0], то x∈(-∞;-1]∪(2;+∞);
якщо a∈(0;1/8), то x∈(-∞;-1]∪(-∞;-log₂(2a));
якщо a∈[1/8;1), то x∈(-∞;-1];
якщо a∈[1;+∞), то x∈(-∞;-log₂(2a)).

Нагадуємо, що на сторінках сайту розжовані усі розділи зі Збірника тестових завдань з математики А. Капіносова, від Вас потрібна сила волі їх пройти та взяти для самоосвіти максимум корисної інформації.

Завдання 1.

Відповідь: a+1 – В.

Завдання 2. Три прямі, розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α.

Розв'язування: Тут потрібно використати властивість,що ∠AOB=180⁰ - розгорнутий кут має 180 градусів.
∠AOM=40⁰, ∠BON=60⁰, тоді ∠AOB=AOM+∠MON+∠BON, звідси
∠MON=∠AOB-(∠AOM+∠BON)=180⁰-(40⁰+60⁰)=80⁰.
Кути α і ∠MON вертикальні, тому α=∠MON=80⁰.
Відповідь: 80⁰ – А.

Завдання 3. У буфеті друзі купили кілька однакових тістечок вартістю 10 грн кожне і 5 однакових булочок вартістю x грн кожна. Яке з чисел виражає загальну вартість цієї покупки (у грн), якщо x - ціле число?

Розв'язування: Введемо позначення до задачі.
Нехай y - кількість однакових тістечок, x - вартість однієї булочки.
Тоді
y•10+5•x=5(2y+x).
Отримане ціле число є кратним 5, тому має ділитися на 5 націло і закінчуватися цифрою 0 або 5.
Таким числом із запропонованих в тесті є 35.
Відповідь: 35 – Д.

Завдання 4. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-4;6]. Укажіть найбільше значення функції f на цьому проміжку.

Розв'язування: Досить простий приклад, головне не сплутати з локальним максимумом.
З рисунку бачимо, що
y_max=y(-4)=5 - найбільше значення функції на зображеному проміжку.
Відповідь: 5 – Г.

Завдання 5. Яке з наведених чисел є коренем рівняння log₄(x-1)=3?

Розв'язування: Спершу випишемо ОДЗ: x-1>0, x>1.
Якщо рівняння складне то на тестах ОДЗ не розписують, а після обчислень розв'язки перевіряємо на правильність підстановкою. Це щодо того, як зекономити час на ЗНО тестах.
Далі розкриємо логарифмічне рівняння, скориставшись властивістю, що логарифм основи рівний одиниці
log₄(x-1)=3log₄4,
log₄(x-1)=log₄4³,
log₄(x-1)=log₄64,
x-1=64,
x=64+1=65.
Відповідь: 65 – Г.

Завдання 6. Укажіть формулу для обчислення об'єму V півкулі радіуса R (див. рисунок).

Розв'язування: Тут потрібно знати формулу об'єму кулі радіуса R:

Тоді об'єм півкулі:

Відповідь: V=2/3·πR³– Б.

Завдання 7. Розв'яжіть рівняння 4√x=1.

ОДЗ кореневої функції:
x≥0
Підносимо до квадрату обидві частини, щоб позбутися кореня, та розписуємо

Відповідь: 1/16 – Д.

Завдання 8. Знайдіть область визначення функції
y=(x+1)/(x-2)

Розв'язування:Випишемо область допустимих значень для дробової функції
.
ОДЗ: x-2≠0, x≠2, звідси x∈(-∞;2)∪(2;+∞).
Відповідь: x∈(-∞;2)∪(2;+∞) – А.

Завдання 9. У просторі задано паралельні прямі m і n. Які з наведених тверджень є правильними?

Розв'язування: Через дві паралельні прямі m і n у просторі можна провести площину, в цій же площині можна провести пряму, що перетинає прямі m і n (тобто твердження І та ІІ правильні). Але не існує такої точки, що належить обом прямим m і n, оскільки паралельні прямі не перетинаються (твердження ІІІ хибне).
Відповідь: лише І та ІІ – Д.

Завдання 10. Спростіть вираз

Відповідь: -b² – В.

Завдання 11. На рисунку зображено паралельні прямі a і b та січну CD. Знайдіть відстань між прямими a і b, якщо CK=5 см, KD=2 см, а відстань від точки K до прямої a дорівнює 1 см.

Розв'язування: Відстань між паралельними прямими a і b - це спільний перпендикуляр проведений до цих прямих.
Проведемо перпендикуляр MN так, щоб точка K належала цьому перпендикуляру.
a||b, MN⊥a, MN⊥b, MN=MK+KN,
де MK=1см - відстань від точки K до прямої a(MK⊥a);
CK=5 см, KD=2 см.
Розглянемо прямокутні трикутники DMK (∠DMK=90) і CNK (∠CNK=90), у яких кути при вершині K рівні як вертикальні.
Звідси випливає, що ці трикутники подібні, а тому їх відповідні сторони пропорційні, тобто

Знайдемо довжину відрізка MN - відстань між паралельними прямими a і b:
MN=MK+KN=1+2,5=3,5 (см).
Відповідь: 3,5 см – В.

Завдання 12. Учень з понеділка до п'ятниці записував час (у хвилинах), який він витрачав на дорогу до школи та зі школи (див. таблицю).
На скільки хвилин у середньому дорога зі школи триваліша за дорогу до школи?

Розв'язування: Обчислимо середню тривалість дороги до школи (загальну кількість хвилин (їх суму) за всі робочі дні поділимо на кількість цих днів, тобто на 5):

Обчислимо середню тривалість дороги зі школи (загальну кількість хвилин (їх суму) за всі робочі дні поділимо на кількість цих днів, тобто на 5):
Визначимо на скільки хвилин у середньому дорога зі школи триваліша за дорогу до школи:
25-20=5 (хв).
Відповідь: 5 – Г.

Завдання 13. 1-sin(a)ctg(a)cos(a)=

Відповідь: sin²(a) – Д.

Завдання 14. Розв'яжіть систему рівнянь

Якщо (x0;y0) - розв'язок системи, то x0=

Розв'язування:Спростимо систему рівнянь

(-6;2) - розв'язок системи рівнянь, тому x0=-6.
Відповідь: -6 – А.

Завдання 15. На рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює 52 см, а периметр основи призми становить 12 см.

Розв'язування: Площа бічної поверхні прямої призми:
S_b=P_oc•H, де P_oc=12 см - периметр основи призми, з іншої сторони
P_oc=3a - периметр основи правильної трикутної призми, у якої a - сторона основи, тобто
a=P_oc:3=12:3=4 см;
H - висота призми.
Знайдемо її. За умовою задачі:
P=52 см - периметр розгортки призми (суцільна ліня), яка складається з 4 ребер основ і 6 бічних ребер призми, тобто
P=4a+6H, тоді
4•4+6H=52,
6H=52-16=36,
H=36:6=6 см.
- Висота правильної трикутної призми рівна H=6 см.
Тоді її площа
S_b=P_oc•H=12•6=72 (см²).
Відповідь: 72 см² – Г.

Завдання 16. Обчисліть значення виразу log₃45+log₃900-log₃500.

Відповідь: 4 – Б.

Завдання 17. На рисунку зображено фрагмент графіка періодичної функції з періодом T=2π, яка визначена на множині дійсних чисел. Укажіть серед наведених точку, що належить цьому графіку.

Розв'язування: З фрагменту графіка функції видно, що точка (-π;1) належить графіку, тобто f(π)=-1.
Враховуючи період T=2π і його властивість періодичної функції f(x+k•T)=f(x), отримаємо
f(5π)=f(π+2•2π)=f(π)=-1.
Тому точка (5π;-1) також належить заданому графіку.
Відповідь: (5π;-1) – Д.

Завдання 18. Обчислення Розв'яжіть нерівність 2^x+2^2x+3≥144

Завдання 19. Укажіть похідну функції f(x)=x(x^3+1).

Розв'язування: Маємо f(x)=x(x^3+1)=x^4+x - функція.
Тоді її похідна f(x)=4x^3+1.
Відповідь: f(x)=4x^3+1 – А.

Завдання під номерами №20-33 можете переглянути та самостійно розібрати з наступної публікації.

Завдання 20. На рисунку зображено фрагмент поперечного перерізу стіни (прямокутник KLMN) з арковим прорізом ABFCD, верхня частина BFC якого є дугою кола радіуса 1 м. Відрізки AB і DC перпендикулярні до AD, AB=DC=2 м. AD=1,6 м, KL=2,75 м. Визначте відстань d від найвищої точки F прорізу до стелі LM.

Розв'язування: Зробимо математичну модель задачі. Маємо дугу BFC кола радіусом 1м (за умовою), тоді OB=OF=1 м (як радіуси кола). Далі маємо AD=BC=1,6 м, тоді BQ=QC=C:2=0,8 м.
У прямокутному ΔBQO (∠BQO=90) знайдемо катет OQ:

Тоді FQ=OF-OQ=1-0,6=0,4 (м).
Довжина відрізка KL=2,75 м:
KL=AB+FQ+d, звідси отримаємо
d=KL-AB-FQ=2,75-2-0,4=0,35 (м).
Відповідь: 0,35м – Г.

Завдання 21. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Розв'язування: Побудуємо графіки заданих функцій:
y=4,5x; y=-4; y=2x+4; y=x; y=2x; y=x^2-1; y=3^x і проаналізуємо їх розташування.

1. Пряма y=4,5x перетинає графік функції y=3^x у точці з абсцисою x₀=2, бо y(2)=4,5•2=9 і y(2)=3₂=9 (червоний колір). В

2. Пряма y=-4 не має спільних точок з графіком функції y=x²-1, (на рисунку позначені синім кольором). Б

3. Пряма y=2x+4 є паралельною прямій y=2x (зелений колір), бо k₁=k₂=2, де y=k•x+b - рівняння прямої. А

4. Пряма y=x є бісектрисою І і ІІІ координатних чвертей (чорний колір). Д

Завдання 22. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо a=-3.

Розв'язування: 1. a⁰=1 для будь-якого a≠0. Значення виразу a^0 дорівнює 1. Б

2. a²¹, якщо a=-3.
Якщо a=-3, то значення виразу a² більше за 1. А

3. , якщо a=-3.
Якщо a=-3, то значення виразу |a|/a дорівнює -1. Г

4.
Якщо a=-3, то корінь кубічнй з відємного числа -3 менший за -1. Д

Повні відповіді до наступних тестів Ви можете переглянути за посиланнями перед умовою завдання. 

Завдання 23. Обчислення Циліндр і конус мають рівні об'єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює 25π см2, а його об'єм - 100π см3. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А–Д) ...

Завдання 24. Повна відповідь Установіть відповідність між геометричною фігурою (1– 4) та її площею (А–Д).

Завдання 25. Для визначення ширини автомагістралі hмаг (у м), що має по 4 однакові смуги руху транспорту в обох напрямках (див. рисунок), використовують формул
у hмаг=8b+r+2Δ де b - ширина однієї смуги руху транспорту;
r - ширина розділювальної смуги між напрямками руху транспорту;
Δ - ширина запобіжної смуги між крайньою смугою й бордюром.

1. Визначте ширину b (у м) однієї смуги, якщо hмаг=40,2 м, r=10 м, Δ=1,5 м.
2. Заплановано збільшити ширину b кожної смуги руху транспорту на 10% за рахунок лише зменшення ширини r розділювальної смуги. На скільки метрів потрібно зменшити ширину r розділювальної смуги?
Розв'язування: 1. За умовою завдання маємо:
hмаг=8b+r+2Δ, тоді обчислимо

ширина однієї смуги =3,4м.
2. Складемо пропорцію та розпишемо

b1=b+0,34=3,4+0,34=3,74 м - збільшена на 10% ширина однієї смуги.
Обчислимо зменшену ширину r1 розділювальної смуги:

Визначимо, на скільки метрів потрібно зменшити ширину r розділювальної смуги:
r-r1=10-7,28=2,72 (м).
Відповідь: 3,4; 2,72.

Завдання 26. Відповідь У прямокутному трикутнику ABC (∠C=90) відстані від середини медіани BM до катетів AC і BC дорівнюють 5 см і 6 см відповідно.
1. Визначте довжину катета AC (у см).
2. Визначте радіус (у см) кола, описаного навколо трикутника ABC.

Завдання 27. Пояснення Знаменник геометричної прогресії дорівнює 2/3, а сума чотирьох перших її членів дорівнює 65. Знайдіть перший член прогресії.

Завдання 28. У майстерні мали виготовити 240 стільців за n днів, причому щодня планували виробляти однакову кількість стільців. Однак, на прохання замовника, завдання виконали на 2 дні раніше запланованого терміну. Для цього довелося денну норму виготовлення збільшити на 4 стільці. Визначте n.
Розв'язування: Позначимо вхідні величини:
n - запланована кількість днів;
n-2 - фактична кількість днів;
240/n - запланована денна норма;
240/(n-2) - запланована денна норма;
ОДЗ: n>0, n≠2 (n- натуральне число).

З розрахунків n=12 - запланована кількість днів.
Відповідь: 12.

Завдання 29. В Оленки є 8 різних фотографій з її зображенням та 6 різних фотографій її класу. Скільки всього в неї є способів вибрати з них 3 фотографії зі своїм зображенням для персональної сторінки в соціальній мережі та 2 фотографії свого класу для сайту школи?
Розв'язування: Порахуємо кількість способів вибрати 3 фотографії з 8 зі своїм зображенням:

Порахуємо кількість способів вибрати 2 фотографії з 6 її класу:

Загальна кількість способів вибрати усі фотографії:

Відповідь: 840.

Завдання 30. Відповідь У прямокутній системі координат на площині задано колінеарні вектори та . Визначте абсцису точки B, якщо A(-4;1), а точка B лежить на прямій y=3.

Завдання 31. Обчислення Задано функції f(x)=x^3 і g(x)=4|x|.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Визначте абсциси точок перетину графіків функцій f і g.
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій f і g.

Завдання 32. Відповіді У правильній чотирикутній піраміді ...
1. Побудуйте переріз піраміди SABCD площиною β.
2. Обґрунтуйте вид перерізу.
3. Визначте периметр перерізуї.

Завдання 33. Розв'яжіть нерівність залежно від значень параметра a.
Розв'язування: Почнемо аналіз з ОДЗ знаменника дробу та логарифма:

Нерівність заміняємо еквівалентною системою:

Розв'яжемо квадратне рівняння:

Квадратний тричлен x²+(a-4)x+4-2a запишемо у вигляді:
x²+(a-4)x+4-2a=(x-2)(x-2+a).
Розв'яжемо задану нерівність методом інтервалів.
Причому врахуємо знак логарифма з такими параметрами (дивись графік функції y=logax):
при 0<a<1 і 0<x<1 маємо log_ax>0;
при 0<a<1 і x>1 маємо log_ax<0;
при a>1 і 0<x<1 маємо log_ax<0;
при a>1 і x>1 маємо log_ax>0.

Тому нерівність

справелива при наступній комбінації параметрів та "ікс":
a∈(0;1) маємо x∈[1;2-a)∪(2;+∞),
при a∈(1;21) отримаємо x∈[0;2-a)∪[1;2),
при a∈(2;+∞) маємо x∈[1;2).

Вважаємо, що розібрані приклади в повній мірі сприятимуть Вашій підготовці до вступу у ВУЗи. Подібні завдання до тем ЗНО тесту Ви можете знайти на сторінках сайту, усі розділи зі Збірника тестових завдань з математики А. Капіносова нами розв'язані, тому від Вас лише потрібне бажання навчитися!

Критерії оцінювання завдання з розгорнутою відповіддю (0-4 бали)

• 4 бали – Отримано правильну відповідь з обґрунтуванням усіх ключових моментів розв'язування.
• 3 бали – Наведено логічно правильну послідовність кроків розв'язування. Деякі з ключових моментів розв'язування обґрунтовано недостатньо. Можливі 1-2 негрубі помилки або описки в обчисленнях, перетвореннях, які не впливають на правильність подальшого ходу розв'язування. Отримана відповідь може бути неправильною.
• 2 бали – Наведено логічно правильну послідовність кроків розв'язування. Деякі з ключових моментів обґрунтовано недостатньо. Можливі 1-2 негрубі помилки або описки в обчисленнях чи перетвореннях, які не впливають на правильність подальшого ходу розв'язування. Отримана відповідь може бути неправильною або неповною (правильно розв'язана лише частина завдання).
• 1 бал – У правильній послідовності ходу розв'язування немає деяких етапів розв'язування. Ключові моменти розв'язування не обґрунтовано. Отримана відповідь неправильна або задача розв'язана неповністю.
• 0 балів – Учень не приступив до розв'язування задачі або приступив до її розв'язування, але його записи не відповідають наведеним вище критеріям оцінювання завдання в 1, 2, 3, 4 бали.

Далі наведено список тем розділів та посилання на тематично подібні матеріали.

• Розділ І. Числа і вирази
• ЗНО 2017 підготовка з математики . Числа
• ЗНО 2017 з математики. Тригонометрія
• ЗНО 2017 з математики. Логарифм
• ЗНО підготовка з математики 2015. Дроби та корені
• ЗНО 2017 математика. Корені
• ЗНО 2017 з математики. Рівняння, відсотки
• ЗНО 2017 математика. Арифметична прогресія
• ЗНО підготовка з математики 2015. Тригонометрія
• ЗНО 2017 математика. Логарифми
• Розділ ІІ. Рівняння і нерівності
• ЗНО 2017 математика. Рівняння
• ЗНО 2017 математика. Рівняння і нерівності
• ЗНО 2017 математика. Нерівності
• ЗНО 2017 математика. Системи рівнянь
• ЗНО 2017 математика. Тригонометричні рівняння
• ЗНО 2017 математика. Показникові рівняння і нерівності
• ЗНО 2017 математики. Логарифмічні рівняння і нерівності
• ЗНО 2017 математика. Ірраціональні рівняння
• ЗНО 2017 математика. Складання рівнянь
• ЗНО 2017 математика. Розв'язок нерівності
• ЗНО 2017 математика. Система рівнянь з параметром
• ЗНО 2017 математика. Корені рівняння
• ЗНО 2017 математика. Показникові рівняння та нерівності
• ЗНО 2017 математика. Логарифмічні рівняння та нерівності
• ЗНО 2017 математика. Рівняння підвищеної складності
• Розділ ІІІ. Функції
• ЗНО 2017 математика. Аналіз графіка функції
• ЗНО 2017 математика. Графік функції
• ЗНО 2017 математика. Парна і непарна функція
• ЗНО 2017 математика. Максимуми і мінімуми
• ЗНО 2017 математика. Область визначення функції
• ЗНО 2017 математика. Множина значень функції
• ЗНО 2017 математика. Похідна функції в точці
• ЗНО 2017 математика. Застосування похідної. Дотична
• ЗНО 2017 математика. Інтегрування функції
• ЗНО 2017 математика. Площа фігури, обмежена графіком функцій
• ЗНО 2017 математика. Аналіз графіку функції за асимптотами
• ЗНО 2017 математика. Аналіз функції за графіком
• ЗНО 2017 математика. Найбільше значення функції на проміжку
• ЗНО 2017 математика. Завдання на похідну
• ЗНО 2017 математика. Площа фігури, обмеженої графіками функцій
• ЗНО 2017 математика. Інтегрування функцій
• ЗНО 2017 математика. Побудова графіка функції
• Подальше наповнення розділів залежить від Вашої активності.
• Розділ IV. Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики
• Розділ V. Планіметрія
• Розділ VI. Стереометрія

Наведені відповіді допоможуть надолужити пропущений матеріал, швидко підготуватися до ЗНО тестування з математики у 2017 році.
Від Вас просимо лише розповісти про нас друзям та знайомим, та поділитися посиланням через соціальні мережі.
Понад 500 розв'язаних прикладів допоможуть Вам пройти будь-яке тестування.
Маємо мрію, яку Ви можете допомогти нам здійснити - до літа отримати відвідуваність сайту не менше 10000 школярів, студентів, вчителів, математиків, викладачів на день.
Не лінуйтеся і допоможіть нам в цьому!
Все що потрібно - це поділитися посиланням на ресурс серед друзів та знайомих.
Ми зі своєї сторони обіцяємо ділитися з Вами корисними навчальними матеріалами, допомогти успішно скласти екзамени, пройти ЗНО тестування з математики та поступити у ВУЗи!
Чекаємо на Ваші позитивні відгуки!

Завдання 1

Виконуємо спрощення, для цього вносимо дроби під спільний знаменник

Вкінці навпаки виконуємо ділення націло та знаходимо остачу.

Завдання 2


Завдання на периметр паралелограма одне з найлегших, що нам доводилося вирішувати
BC=(60-2*10)/2=20 см.
Побільше б таких прикладів для школярів на ЗНО.

Завдання 3


З пропорції визначаємо загальну кількість
4x+5x=9x.
Загальна кількість кульок повинна націло ділитися на 9.
При діленні 100 на 9 в остачі отримаємо одиницю,
115 при діленні на 9 дасть в остачі 7.
Число 117 ділеться на 9 без остачі
117:9=13.
Оскільки кожне завдання містить лише одну правильну відповідь, то наступниі числа немає змісту перевіряти.

Завдання 4


Маємо завдання на показникові рівняння. Розпишемо 125 як 5 в кубі.
Далі за умови що рівні основи прирівнюємо показники
5^(x+1)=125=5^3;
x+1=3;
x=3-1=2.
Варіант А) є відповіддю до завдань ЗНО тестів за 2016 рік.

Завдання 5


Маємо завдання на знання тригонометричних функцій.
Оскільки максимум рівний двійці то перед функцією повинен бути множник двійка.
Синус нуля нуль , в Pi синус теж=0, отже зображена функція відповідає
y=2sin(x).
Відповідь: А).

Завдання 6


Через точку можна провести безліч площин, які будуть паралельні до прямої і не проходитимуть через неї.
Тому правильна відповідь Д).

Завдання 7


Система лінійних рівнянь досить вдало підібрана.
Просумуємо обидва рівняння щоб позбутися змінної «ігрик».
В результаті отримаємо
2x+x=14-11=3;
3x=3;
x=3/3=1.
Підставимо знайдене значення в друге рівняння
1+3y=-11;
3y=-11-1=-12;
y=-12/3=-4;
Сума розв'язків нерівності рівна
x+y=-4+1=-3.
Відповідь: Д).

Завдання 8


Число 12506975 має 8 цифр, дві з яких 5.
Тому ймовірність, що буде видалена п'ятірка рівна
p=2/8=1/4.
Відповідь: Д).

Завдання 9


Якщо СB є бісектрисою кута BCK і виконується решта умов задачі, то кути ACB, CBA рівні.
Звідси маємо рівнобедрений трикутник, і знаходимо кут при основі через відомий кут при вершині
(180-52)/2=64 (градуси)
Відповідь: B).

Завдання 10


Для спрощення логарифма потрібно добре знати його властивості.
В даному завданні є декілька варіантів оформлення відповіді, зокрема наступний

Відповідь: Б).

Завдання 11


Завдання на пропорційні відрізки.
Трикутники ABC та AKM подібні.
Можна записати співвідношення
BC/AB =KM/AK.
Знайдемо
AB AB=6+2=8.
Обчислимо
KM KM=BC*AK/AB=10*6/8=7,5 см.
Така відповідь міститься в пункті В) тестів.

Завдання 12


Завдання тільки на вигляд складне, загалом його вирішення полягає в розділення всього виразу на косинус. Це не змінить рівності, особливо якщо допускаємо, що косинус відмінний від нуля. В результаті отримаємо

Відповідь: А.

Завдання 13


Завдання на спрощення дробів, поділити означає помножити на обернений вираз. Далі виділяємо спільним множником двійку, та щоб спростити корінь в чисельнику домножуємо на спряжений вираз. Результат зведення до відповіді наведено в формулі

Відповідь: Г)

Завдання 14


Висоту призми знайдемо через діагональ та основу за теоремою Піфагора

Далі площа бічної поверхні рівна 3 прямокутникам зі сторонами h,a.
Формула площі бічної поверхні

Відповідь: А)

Завдання 15


Розкриємо модулі в рівнянні, для цього спершу визначимо нуль підмодульної функції.
2x-1=0;
x=1/2.
При x>1/2 розкриваємо модуль
2x-1=6;
2x=7;
x=7/2=3,5.
При аргументах менших за 1/2 під модульна функція відємна, тому при розкритті модуля або перед функцією міняємо знак або праву сторону записуємо зі знаком мінус, тобто
-(2x-1)=6
2x-1=-6;
2x=-6+1=-5;
х=-5/2=-2,5.
Маємо два корені -2,5; 3,5.
Відповідь: Г)

Завдання 16


I. Ознака f(-10)=-f(10) вказує непарність функції, тому твердження не підходить для досліджуваної ф-ї.
II. Функція f(-6)=f(6) парна.
III. Симетрична відносно осі Oy функція є парною.
Відповідь: ІІ, ІІІ. Г)

Завдання 17


Обєм конуса визначаємо за формулою
V=1/3Pi*r^2*h.
Враховуючи, що об'єм сантиметра кубічного шоколаду рівний 3 грами отримаємо
M=3/3*3,14*1^2*3*100=942 грами.
Відповідь: Б).

Завдання 18


Розпишемо показникову залежнысть за правилом
2^(6-a)=2^6/2^a=64/(1/5)=64*5=320
Відповідь: Д)

Завдання 19


Завдання на первісну достатньо легке.
Сталу 1/2 можна винести за дужки, таким чином первісна для 1/x дасть ln|x|.
F(x)=1/2*ln|x|
Відповідь: Б)

Завдання 20


Розкриваємо дробову нерівність.
Оскільки вона нестрога, то чисельник може дорівнювати нулю.
Крім того в чисельнику маємо степінь=2, тому при переході через x=5 функція не змінює знаку.
Знайдемо нулі знаменника
x^2+x-6=(x+3)(x-2).
Звідси x=-3; x=2 та x=0 з чисельника.
Для перевірки знаку підставимо x=0.
Отримаэмо знак мінус, тому відповіддю є проміжки поза межами коренів квадратного рівняння

Відповідь: В)

Завдання 21


1. Графік функції y=5-x, має відємний кутовий коефіцієнт k=-1.
Тому утворює з додатним напрямом осі x тупий кут. В)

2. Графік функції y=2x+3 проходить через точку (-1,5;0), яка є внутрішньою для кола x^2+y^2=4.
Тому перетинає його в двох точка, оскільки перетинає його, а не дотикається. Д)

3. Графік функції 2x+6=0 це вертикальна пряма x=-6/2=-3, а тому не перетинає вісь y. A)

4. Графік функції y=x-4 можна записати у вигляді y-x=-4.
Він є пропорційним до прямої y-x=0, тому паралельний до неї. Г)

Завдання 22


Спростимо показникові вирази
1. 16^(1/2)=4^(2*1/2)=4;

2. (1/4)^(-2)=4^2=16;

3. (2^3)^2=2^(3*2)=2^6=64;

4. 2^3,5*2^1,5=2^(3,5+1,5)=2^5=32.
Думаю цих пояснень Вам достатньо, щоб знати як працювати з показниками на ЗНО.
Відповідь: 1 А), 2 В), 3 Д), 4 Г).

Завдання 23


1. Відрізок BC лежить на осі Oy тому координати x=0, y=0.
Серединою відрізка є точка (0; 8/2;0)=(0;4;0)

2. Вектор ВА лежить на осі Ox, тому його координати (4;0;0).

3. Описана точка буде мати координати (4;8;4).

4. У точки С1 відсутня координата x, тобто (0;8;12).
Відповідь: 1 Г), 2 Б), 3 Д), 4 А).

Завдання 24


Тут немає чого довго розписувати, завдання на знання формул характеристик геометричних фігур - трикутника, ромба, многокутника.
Відповідь: 1 Д), 2 Г), 3 В), 4 А).

Завдання 25


1. Якщо дитячого взуття пошито 100% то жіночого 5•100%=500%.
Різниця рівна
500-100=400%

2. 5340-2100=3240 пар.
Позначимо кількість дитячого взуття через Х, тоді жіночого 5Х, разом їх 6Х пар.
Складаємо рівняння
6•Х=3240;
Х=3240/6=540 пар.
Відповідь: 1) 400; 2) 540.

Далі залишилося розібрати відповіді до складніших завдань ЗНО тестів, що вимагають більших пояснень та письмової відповіді.
Якщо матеріал був Вам корисним прохання поширити його в соцмережах з метою допомоги друзям в підготовці!

Завдання 26


1. Щоб краще усвідомити, що від Вас чекають виконаємо допоміжний рисунок трикутника.

Оскільки маємо прямий кут та рівнобедрений трикутник, то його висота рівна половині гіпотенузи.
h=3,6/2=1,8.
Далі за основою та висотою знаходимо площу трикутника ABC
S=1,8•3,6/2=3,24

2. Щоб знайти пощу квадрата спершу треба обчислити його сторону.
Для цього є кілька способів, найлегший з пропорцій.
Позначимо сторону квадрату через х.
Трикутники BDC та KPC подібні.
Звідси складаємо пропорції
BD/DC=KP/PC;
1,8/1,8=x/(1,8-x);
x=1,8-x;
2x=1,8;
x=1,8/2=0,9 м.
Знаходимо площу квадрата
S=0,9^2=0,81 м^2.
Відповідь: 1) 3,24; 2) 0,81.

Завдання 27


Задача на суму арифметичної прогресії.
Першого дня студент розв'язав 11 задач, другого 11+d, 9 дня- 11+8d.
Cума прогресії 315.
З формули суми визначимо крок прогресії
S=(a1+a9)*9/2 (11+11+8*d)*9/2=315;
11*9+4*9*d=315;
36d=315-99=216;
d=216/36=6.
Крок прогресії ми знайшли, за формулою знаходимо скільки задач студент розв'язав 9 дня a9=11+8*d=11+8*6=59.
Відповідь: 59.

Завдання 28


Логарифмічні рівняння мало хто з школярів любить обчислювати, проте в них нічого скадного немає.
В даному завданні та подібних хитрість полягає в тому, що рівняння має два корені, один з яких відємний.
Проте рідко хто перевіряє область визначення логарифма, а вона відповідає всім значенням аргумента більшим за нуль.
Запишемо рівняння у вигляді
log₂x+log₂(x-7)=3•log₂2;
log₂x(x-7)=log₂2^3;
x(x-7)=2^3=8;
x^2-7x-8=0.
Корені квадратного рівняння за теоремою Вієта рівні x=-1; x=8.
Перший выдкидаємо, оскільки він не належить ОДЗ.
Єдиний розвязок логарифмічного рівняння x=8.
І не лякайтеся умови: «якщо рівняння має кілька коренів, то знайдіть їх суму».
Це більше психологічний тиск, аніж заклик до помилок.
Відповідь: 8.

Завдання 29


Задачі на формули комбінаторики.
Оскільки нас не цікавить яким за порядком в нас буде в букеті кожен нарцис чи тюльпан, то існує
9•8•7/(3•2•1)
способів вибору 3 нарцисів та
4•3/(2•1)
способи вибору тюльпанів.
Сумарна кількість способів скласти букет рівна їх добутку.
Загалом отримаємо
9•8•7/(3•2•1)•4•3/(2•1)=504
способів вибору букета.
Відповідь: 504.

Завдання 30


Нехай середня лінія трапеції DF.
Відомо, що катет навпроти кута 30 градусів в прямокутному трикутнику рівний половині гіпотенузи.
Позначимо діагональ трапеції BD через 2x, тоді AB=x.
Основа AD рівна за теоремою Піфагора x√3 або
AD=BD/2•√3=20•√3•√3/2=30 см.
Для обчислення BC виконаэмо добудову трапецыъ до прямокутника ABND.
З точки D маємо три кути по 30 градусів.
Звідси
СD=2y,
CN=y,
ND=y√3.
Так як AB=ND, то y√3=10√3, звідси CN=y=10.
Знайдемо другу основу трапеції
BC=30-10=20 см.
Обчислимо середню лінію трапеції
DF=(AD+BC)/2=(30+20)/2=25 см.
Відповідь: 25.

Завдання 31


Завдання не з легких і полягає в пошуку локальних екстремумів через похідну. Продиференціюємо функцію та прирівняємо похідну до нуля
f'(x)=1+2cos(2x)=0;
cos(2x)=-1/2;
2x=90+30=120;
x=120/2=60.
Кут належить досліджуваному інтервалу.
В цій точці досягається максимум
f(max)=Pi/3+sin(2•Pi/3)=Pi/3+√3/2=1,9132.
Мінімум досягається в нулі, це легко вгадати з аналізу обох складових функції
f(min)=0+0=0.
Графік заданої функції разом з колом для визначення косинуса зображено на рисунку

Завдання 33


Розв'язок 33 завдання до пробного ЗНО 2016 року кортко має вигляд.

Більш детально аналіз можна побачити з наступного відео.

Сподобалися відповіді до ЗНО з математики, тоді діліться посиланням серед школярів!

Завдання 1

Для того, щоб виразити число у відсотках помножимо його на 100%.
В результаті отримаємо
1/5•100%=0.2•100%=20%.
В тестах цю відповідь містить Б).

Завдання 2

Знайдемо довжину одного вдрізка
60:4-15 см.
Середини крайні відрізки від країв знаходяться на відстані
15:2=7,5 см.
Тоді відстань між серединами рівна всій мінус два краї
60-2•7,5=45 см.
Правильний варіант тестів В).

Завдання 3

Обчисліть добуток коренів рівняння
x^2+6x-55=0.
Є два методи – перший шукати корені через дискримінант, що займе часу і застосувати формулу Вієта.
На тестах Ви можете забути формулу Вієта, то ж краще її повторно вивести
(x-a)(x-b)=x^2-x(a+b)+ab.
Звідси добуток коренів квадратного рівняння рівний вільному члену, тобто (-55).
Це в тестах відповідає варіанту А) відповідей.

Завдання 4

Спростимо дріб попередньо виразивши в чисельнику і знаменнику спільні множники

Спрощений вираз відповідає пункту Д).

Завдання 5

Проаналізуємо функцію y=(5+x)/(x-2).
Найпростіше виконати підстановку і зясувати належність точки графіку функції.
Знаменик не повинен перетворюватися в нуль, тому варіант А) не є відповіддю.
Друга теж не підходить, бо отримаємо відємний знаменник, а значить і вираз, що суперечить додатному значенні y=7.
Варіант В) також відкидаємо, оскільки при x=-3 отримуємо відємне значення функції.
Те ж сааме стосується варіанту Г).
Отже, варіант Д) єдино правильний.
y(4)=9/2=4,5

Завдання 6

Проаналізуємо паралелограм ABCD.
Сума всіх внутрішніх кутів рівна 360 градусів.
Кути B, D тупі за побудовою, тому їх сума більша 180 градусів, отже наведене твердження не вірне.
Кут B тупий, а кут A гострий, тому різниця 3 твердження є вірним.
Отже правильні відповіді І і ІІІ, що відповідає варіанту Г) тестів ЗНО.

Завдання 7

log3x=-1.
Хто призабув, як розв'язувати логарифмічні рівняння прошу переглянути відповідь.
Експонуємо за основою 3 обидві частини рівняння, в результаті отримаємо
3^log₃x=3^(-1)
x=3^(-1)=1/3
Відповідь відповідає варіанту А).

Завдання 8

Визначте площу сфери, діаметр якої 12 см.
Без знання формул завдання не обчислити, що з нашої точки зору є неправильним.
Правда формула досить легка,
S=Pi*d^2=Pi*12^2=144*Pi см².
Правильна відповідь В).

Завдання 9

Вектори взаємно перпендикулярні, тому сума векторів рівна гіпотенузі прямокутного трикутника побудованого на a, b.
Знайдемо квадрат модуля вектора
|a+b|^2=6^2+8^2=36+64=100
Звідси
|a+b|=10.
Цю відповідь містить пункт Г) ЗНО тестів.

Завдання 10

Маємо два ріняння з двома невідомими, тому розвязок існує, якщо вони не є лінійно залежними.
Не лякайтеся, що зміннва «ікс» міститься під коренем, її якраз треба позбутися.
Тому з першого рівняння виражаємо корінь з «ікс» та підставляємо у друге, в результаті матимемо

Розписавши, та звівши подібні доданки отримаємо -3y=-3.
Звідси y=1. Правильна відповідь Д).

Завдання 11

Відсоток часу, протягом якого майстер обслуговує верстати переворимо в ймовірності, розділивши їх на 100%.
В результаті отримаємо
P1=0.2, P2=0.3, P3=0.5.
Ймовірність, що обслуговує перший або третій рівна сумі відповідних значень
p=0.2+0.5=0.7
Це варіант Б) пробного ЗНО за 2015 рік.

Завдання 12

Щоб знайти ескіз графіка y=2^(-x) потрібно пригадати кілька властивостей показникових функцій.
Перша, якщо основа додатня , а показник зростає то функція зростає.
В нас же в показнику мінус «ікс», тому функція відповідно симметрична відносно осі Oy, тому постійно спадає. З наведених відповідей підходять варіанти Б, В.
Далі 2 властивість: показникові функція завжди додатна, тому варіант В) відкидаємо.
Отже правильна відповідь Б).

Завдання 13

Маємо прості тригонометричні рівняння.
Варіанти Б,В, Г зразу відпадають, оскільки тангенси та котангенси можуть приймати як завгодно великі додатні та відємні значення.
Залишається sin(x), cos(x), проаналізуємо їх.
Корінь з трьох приблизно рівний 1.73, якщо число розділити на двійку, то воно буде менше одиниці, що відповідає області визначення синуса.
В прикладі Д) маємо обернене корінь з трьох в знаменнику, тому вираз більший одиниці, а значить рівняння не має коренів.
Отже Д) правильна відповідь до тесту.

Завдання 14

Спростимо рівняння, для цього 36 розпишемо як 6 в квадраті. Тоді 2 буде множником в показнику при логарифмі, що в свою чергу можна за властивостями логарифмів занести в степінь 5.
Далі 6 в степені логарифма 6 дає вираз, що йде за ним, тобто 5^2=25.

Значить правильна відповідь Г).

Завдання 15

AB1 є діагоналлю бокового ребра куба.
DD1 – сторона на паралельному ребрі куба.
Тому сторони паралелні DD1||AA1.
В кубі діагоналі нахилені до сторін під кутом 45 градусів, тому шуканий кут теж рівний 45.
Це відповідає варіанту В) відповідей.

Завдання 16

y=(4-x)/5 – проста лінійна функція, тому областю визначення є множина всіх дійсних чисел.

Завдання 17

Щоб розкрити модуль проаналізуємо як змінюється функції на вказаному проміжку.
Дослідимо її на екстремуми
f'=2a-1=0.
a=1/2.
Отже маємо на відрізку параболу з вітками вгору з вершиною в
a=1/2.
В крайніх точках області вона перетворюється в нуль.
В нулі впідмодульна функція відємна, отже щоб розкрити модулі всю функцію необхідно взяти з відємним знаком, тобто
|a^2-a-6|=-a^2+a+6
Таку відповідь має пункт Г) тестів.

Завдання 18

Показникову нерівність спершу треба звести до однієї основи, для цього праву сторону поділимо на двійку, а далі представимо як 0.3^2.

Далі , оскільки основа менша одиниці то при розкритті міняємо знак нерівності, тому з умови слідує x>2, а це відповідає варіанту Б) ЗНО тестів.

Завдання 19

Інтегруванням знаходимо первісну функції
F(x)=2*x^2/2+2x+C=x^2+2x+C.
З умови, що графік первісної проходить чсерез точку (1;4) знаходимо сталу
4=1+2+C.
Звідси стала рівна одиниці
C=1,
а рівняння первісної
F(x)=x^2+2x+1.
Варіант Б) містить правильну відповідь.

Завдання 20

Проаналізуємо розгортку паралелепіпеда, щоб знайти об'єм нам потрібно знати площу основи та висоту.
Щоб знайти висоту паралелепіпеда уявно представте,як його будете складати.
Звідси
h=12-4=8,
V=8*4*3=96 см^3.
Це відповідає пункту А) тестів.

Завдання 21

Завдання на знання тригонометричних формул загалом не складне, потрібно знати формулу косинуса та синуса подвійного кута, решта не важко вивести знаючи ише правило:
Сума квадрату синуса та косинуса рівна одиниці.

Таким чином маємо наступні відповіді: 1Д), 2 Б), 3 В), 4 А.

Завдання 22

Функція y=x^2 є парною+ область значень належить інтервалу (0; infinity).
y=x^3+1 зростає на всій області визначення, варіант А).
y=3-x спадаэ на всій області визначення.
Це легко довести, оскільки похідна рівна мінус одиниці, тобто всюди відємна.
Тригонометрична функція y=sin(x) в нулі рівна ную, є періодичною, до того ж непарною функцією В).

Завдання 23

Проведемо детальний аналіз заданих трикутників та визначио, до яких пунктів вони належать.
1) Трикутник у якого центри вписанного та описанного кола збігаються – це рівносторонній триутник.
Серед наведених трикутників підходить пункт A, оскільки сторонни рівні та кут при вершині рівний 60.
Звідси кути при основі рівні (180-60) /2=60.

Завдання 24

Задано точку в просторі з координатами M(1;-4;8).
Відстань від точки M до площини xy рівна 8.
Це легко бачити, це фактично значення координати z за модулем.
Інший варіант, шукати проекцію точки на площину F(1;-4;0), а далі модуль вектора |MF|.
Квадрат відстані від точки M до початку координат рівний сумі квадратів координат
8^2+(-4)^2+1=64+16+1=81.
Корінь з 81 рівний 8, що відповідає пункту Г) тестів.

Решта розв'язків ЗНО 2015 з математики  Ви можете переглянути в наступній частині.