Ранжований варіаційний ряд, полігон та гістограма частот, емпірична функція розподілу

Продовжуємо аналізувати практикум з теорії ймовірностей і сьогодні вивчимо характеристики вибірки - статистичний розподіл.
З сьогоднішнього уроку Ви дізнаєтесь:
що таке ранжований варіаційний ряд?
як знайти статистичні розподіли частот та відносних частот?
як будувати полігони частот і відносних частот?
що таке емпірична функція розподілу?
Всі ці поняття вивчають в курсі математичної статистики і мають пряме застосування в економіці, митній сфері, порівнянні результатів діяльності підприємств за фіксовані періоди і т.д. 
Щоб не повторюватись двічі розберемо приклади на вибірки і в поясненнях наведемо означення усіх вказаних статистичних характеристик.

Означення:  Полігон частот це ламана лінія, відрізки якої сполучають точки з координатами (x_i;n_i) .
Аггоритм побудови полігону частот:
на осі абсцис відкласти варіанти x_i , далі на осі ординат – відповідні їм частоти n_i та з'єднати їх.

Означення:  Полігоном відносних частот це ламана пряма, що сполучає точки з відповідними координатами (x_i;v_i)
Побудова полігона відносних частот полягає в послідовному з'єднанні  варіант  x_i в осях  (x_i;v_i).

Означення:  Гістограма частот це ступінчаста (східчаста) фігуру, яка має вигляд сполучених прямокутників, основа яких рівна  інтервалам довжиною h, а висоти рівні відношенню n_i/h (густина частоти).

Означення:  Гістограмою відносних частот це ступінчаста фігуру, подібна до гістограми частот, тільки по осі ординат відкладені густина відносних частот p_i/h.

Запам'ятовувати правила, як будувати числові характеристики статистичних розподілів краще всього з готових прикладів, тому переходимо до аналізу завдань.

Приклад 1 Результати досліджень характеризуються наступними вибірками.
Необхідно побудувати:

• а) ранжований варіаційний ряд, статистичні розподіли частот і відносних частот;
• б) полігон частот і полігон відносних частот;
• в) гістограму частот і гістограму відносних частот, розбивши вибірку на 5 рівних інтервалів;
• г) записати емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік.

Розв'язання: а) Що таке ранжований варіаційний ряд?
Варіацією називають можливість певної ознаки приймати різні значення у різних одиницях сукупності. Тому на початку статистичного дослідження варіації нообхідна побудова варіаційного ряду – упорядкування розподілу одиниць множини в порядку зростання або зменшення значень досліджуваної кількісної ознаки та знаходження числа одиниць, що рівні між собою (інтервали значень).
Виділяють три основні форми варіаційних рядів: ранжовані ряди, дискретні та інтервальні ряди.
Ранжований варіаційний ряд – це ряд впорядкованих одиниць сукупності в порядку зростання чи спадання ознаки, що досліджується.
Для заданої вибірки побудуємо ранжований ряд за зростанням

Статистичний розподіли частот і відносних частот необхідний, щоб встановити частотність входження варіанти у вибірку та визначити її долю в загальній сукупності.
Сума всіх добутків частот на відносні частоти повинна дорівнювати 1 або 100%.
Звідси знаходять частоту входження варіанти у вибірку та визначають відносну частоту за формулою
_Wi=n_i/n.

Результати упорядкування розподілів записуємо в таблицю

б) Полігон частот(полігон відносних частот) – це ламані на графіку, які відображають зв'язок варіанти з їх частотою (відносною частотою). 
Щоб побудувати полігон частот відкладаємо на осі абсцис значення варіант x_i, а на осі ординат –  частоти n_i , що їм відповідають.
Така ж інструкція справедлива для полігону відносних частот Wi=n_i/n).
З'єднавши точки (x_i;n_i) відрізками прямих, одержимо шуканий полігон частот (відносних частот):


в) Гістограма частот (вибірка розбита на 5 рівних інтервалів) - це частоти входження значень в певний інтервал.
Задана вибірка задана 50 значеннями, по 10 в кожному рядку таблиці. 

Гістограма відносних частот (в кожному інтервалі по 10 елементів):

г) Емпіричну функцію розподілу визначатимемо за формулою F_n(x)=n_x/n де n_x – кількість елементів вибірки, що менші за x.
В результаті простих обчислень для кожного з інтервалів отримаємо значення функції F_n(x)

Графік емпіричної функції розподілу має вигляд:

На цьому завершуються пояснення до завдання з ймовірності. 
Далі наведемо ще 4 приклади на статистичний розподіл вибірки, щоб Ви краще розібралися що і для чого робимо.

Приклад 2 Результати досліджень характеризуються наступними вибірками.
Необхідно побудувати:
а) ранжований варіаційний ряд, статистичні розподіли частот і відносних частот;
б) полігон частот і полігон відносних частот;
в) гістограму частот і гістограму відносних частот, розбивши вибірку на 5 рівних інтервалів;
г) записати емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік.

Розв'язання: а) Складаємо ранжований варіаційний ряд за зростанням та записуємо у вигляді таблиці:

Далі будуємо статистичні розподіли частот і відносних частот:

б) Полігон частот і полігон відносних частот - відкладемо на осі абсцис варіанти x_i, а на осі ординат – відповідні їм частоти n_i (відносні частоти v_i).
З'єднавши точки (x_i;n_i) відрізками прямих, одержимо невідомий полігон частот. 


Полігон відносних частот буде аналогічним, треба замінити 1на 0,02, а 2 на 0,04.


в) Розбивши вибірку на 5 рівних інтервалів (по 10 елементів), виконуємо  побудову гістограми частот:

Гістограму відносних частот будувати легко, оскільки кожен елемент вибірки на досліджуваних інтервалах зустрічається лише один раз. 


г) Емпіричну функцію розподілу знаходимо за формулою F_n(x)=n_x/n, де n_x кількість елементів вибірки, що менші за x.
Беремо значення із таблиці та знаючи, що обсяг вибірки n=50, записуємо емпіричну функцію розподілу:


Графік емпіричної функції розподілу має вигляд:

Її побудова займає найбільше часу, тому якщо є можливість, краще використовувати MathCad, Maple чи інші математичні пакети.
Самий оптимальний варіант - завантажити з інтернету програму для аналізу статистичних розподілів. 
Їх зараз багато, в тому числі і під андроїди.

Приклад 3 Результати досліджень характеризуються наступними вибірками.
Необхідно побудувати:
а) ранжований варіаційний ряд, статистичні розподіли частот і відносних частот;
б) полігон частот і полігон відносних частот;
в) гістограму частот і гістограму відносних частот, розбивши вибірку на 5 рівних інтервалів;
г) записати емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік.

Розв'язання: а) Ранжований варіаційний ряд за зростанням:

Статистичні розподіли частот і відносних частот:

б)Полігон частот і полігон відносних частот. Відкладемо на осі абсцис варіанти x_i, а на осі ординат – відповідні їм частоти n_i(відносні частоти w_i).
З'єднавши точки (x_i;n_i) відрізками прямих, одержимо шуканий полігон частот (відносних частот):


в) Гістограма частот (вибірка розбита на 5 рівних інтервалів):

Гістограма відносних частот (в кожному інтервалі по 10 елементів):


г) Емпіричну функцію розподілу визначатимемо за формулою F_n(x)=n_x/n де n_x – кількість елементів вибірки, що менші за x.

Використовуючи таблицю і враховуючи, що обсяг вибірки n=50, запишемо емпіричну функцію розподілу: Графік емпіричної функції розподілу має вигляд:

Приклад 4 Результати досліджень характеризуються наступними вибірками.
Необхідно побудувати:
а) ранжований варіаційний ряд, статистичні розподіли частот і відносних частот;
б) полігон частот і полігон відносних частот;
в) гістограму частот і гістограму відносних частот, розбивши вибірку на 5 рівних інтервалів;
г) записати емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік.

Розв'язання: а) Ранжований варіаційний ряд за зростанням:

Статистичні розподіли частот і відносних частот:

б)Полігон частот і полігон відносних частот. Відкладемо на осі абсцис варіанти x_i, а на осі ординат – відповідні їм частоти n_i(відносні частоти w_i).
З'єднавши точки (x_i;n_i) відрізками прямих, одержимо шуканий полігон частот (відносних частот):


Полігон відносних частот буде аналогічним, треба замінити 1на 0,02, а 2 на 0,04.

в) Гістограма частот (вибірка розбита на 5 рівних інтервалів):

Гістограма відносних частот (в кожному інтервалі по 10 елементів):


г) Емпіричну функцію розподілу визначатимемо за формулою F_n(x)=n_x/n де n_x – кількість елементів вибірки, що менші за x.


Використовуючи таблицю і враховуючи, що обсяг вибірки n=50, запишемо емпіричну функцію розподілу:
Графік емпіричної функції розподілу має вигляд:

Приклад 5 Результати досліджень характеризуються наступними вибірками.

Необхідно побудувати:
• а) ранжований варіаційний ряд, статистичні розподіли частот і відносних частот;
• б) полігон частот і полігон відносних частот;
• в) гістограму частот і гістограму відносних частот, розбивши вибірку на 5 рівних інтервалів;
• г) записати емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік.

Розв'язання: а) Ранжований варіаційний ряд за зростанням:

Статистичні розподіли частот і відносних частот: варіанта

б) Полігон частот і полігон відносних частот. Відкладемо на осі абсцис варіанти x_i, а на осі ординат – відповідні їм частоти n_i (відносні частоти w_i).
З'єднавши точки (x_i;n_i) відрізками прямих, одержимо шуканий полігон частот (відносних частот):

Полігон відносних частот буде аналогічним, треба замінити 1на 0,02, а 2 на 0,04.


в) Гістограма частот (вибірку розбили на 5 рівних інтервалів):

Гістограма відносних частот (в кожному інтервалі по 10 елементів, тому wi=0.01):


г) Емпіричну функцію розподілу визначатимемо за формулою F_n(x)=n_x/n де n_x – кількість елементів вибірки, що менші за x (їх тут аж 42, тому саму функцію не наводимо, через її громідскість), n=50.
Графік емпіричної функції розподілу має вигляд:

Використовуйте наведений алгоритм розрахунків, він легкий для запам'ятовування і вимагає знання найпростіших інтегралів.
Збережіть сторінку в закладки, якщо інформація допомогла Вам в навчанні. Якщо виникають труднощі в розрахунках чи побудові гістограм звертайтесь за допомогою.
Попереду Вас ще чекає чимало готових відповідей з теорії ймовірностей!

Вас може зацікавити:
• Функція розподілу ймовірностей дискретної величини
• Знаходження числових характеристик статистичного розподілу
• Рівняня регресії У на Х та Х на У. Алгоритм та побудова
• Мода та медіана. Приклади обчислення
• Асиметрія і ексцес. Обчислення, графіки