Знайти точку, симетричну точці (осі). Образ точки при гомотетії

Перетворення подібності вивчають в 9, 10 класі на уроках геометрії на прикладі точок та прямих. 
Сьогодні почнемо розбирати групу завдань із ЗНО підготовки на геометричні перетворення. Готові розв'язки розділені на 6 уроків, спершу йде симетрія та ескіз точок, далі паралельне перенесення прямих, парабол, кіл. Обчислення центра та коефіцієнта гомотетії. Теорію Ви повинні знати, якщо в ній "плаваєте" то спершу перечитайте відкриту в онлайн доступі статтю на "Геометричні перетворення. Перетворення подібності". Головні правила, означення, теореми та формули виділені в поясненнях , тому на них просимо звернути увагу та вивчати.

Тема: Перетворення фігур

Приклад 43.2 Знайти координати точки, симетричної точці (3;5) відносно початку координат.

Розв'язування: Дві точки X та X’ називають симетричними відносно даної точки O, якщо точка O – середина відрізка XX’.
Точку O вважають симетричною самій собі й називають центром симетрії.
Маємо точку X(3;5) і центр симетрії O(0;0) (початок координат).
За означенням точка O – середина відрізка XX’ (XO=OX’), тому знайдемо координати точки x(x;y):

Отримали X’(-3;-5).
На майбутнє Ви повинні знати, якщо точка O(0;0) (початок координат) є центром симетрії деяких інших точок, то їх відповідні координати мають лише протилежні знаки.
Відповідь: (-3;-5) – Г.

Приклад 43.4 Знайти координати точки, симетричної точці (-3;4) відносно осі Ox.

Розв'язування: Дві точки X та X’ називають симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром до відрізка XX’.

Маємо точку X(-3;4) і пряму, яка є віссю Ox. За означенням вісь Ox – серединний перпендикуляр до відрізка XX’, тому відрізок перпендикулярний до осі абсцис XX’⊥Ox і перпендикулярний до осі ординат XX’||Oy. Це означає, що точка (-3;0) – середина відрізка XX’, а точка X’ має координати (-3;-4).
Взагалі кажучи, точки, симетричні відносно осі ординат Ox, мають однакові абсциси та протилежні ординати.
Відповідь: (-3;-4) – Г.

Приклад 43.8 При паралельному перенесенні точка A(2;3) переходить у точку A’(5;1). У яку точку перейде при цьому паралельному перенесенні точка B(-2;1)?

Розв'язування: Уважно розберіть алгоритм обчислень для заданого типу завдань.
Знайдемо координати вектора , при якому здійснюється паралельне перенесення з точки A(2;3) в точку A’(5;1):
a_x=x_A’-x_A=5-2=3;
a_y=y_A’-y_A=1-3=-2.
Звідси a(3;-2).
Знайдемо координати точки B’(x;y), у яку переходить точка B(-2;1) при паралельному перенесенні на вектор a(3;-2):
x=x_B+a_x=-2+3=1;
y=y_B+a_y=1-2=-1.
Отже, B’(1;-1).
Відповідь: (1;-1) – Б.

Приклад 43.9 Точка A’(-8;12) – образ точки A(x;-3) при гомотетії з центром у початку координат. Знайти x.

Розв'язування: Гомотетія є перетворенням подібності. На координатній площині гомотетія з центром у початку координат задається формулами:

де (x;y) – координати точки A,
а (x’;y’) – координати образу цієї точки при гомотетії.
За умовою маємо точку A(x;-3) і образ A’(-8;12) цієї точки при гомотетії з центром у початку координат, звідси

Отримали точку A(2;-3).
На рисунку |AO|=k•|OA’| і при від'ємному коефіцієнті гомотетії k<0 точки A(2;-3) і A’(-8;12) лежать по різні боки від центра гомотетії (точки O(0;0)).
Відповідь: 2 – В.

Приклад 43.19 Точка A(2;-3) – образ точки B(8;6) при гомотетії з центром у точці M(4;0). Знайти коефіцієнт гомотетії.

Розв'язування:  За умовою точка A(2;-3) – образ точки B(8;6) при гомотетії з центром у точці M(4;0), тоді
|AM|=|k|•|MB|, де k – коефіцієнт гомотетії.

Знайдемо довжину відрізка AM – відстань між точками A(2;3) і M(4;0):

Знайдемо довжину відрізка MB – відстань між точками M(4;0) і B(8;6):

Знайдемо коефіцієнт гомотетії k:

або |k|=0,5.
Оскільки точки A(2;-3) і B(8;6) лежать по різні боки від центру гомотетії (точки M(4;0)), то k<0, звідси k=-0,5.
Відповідь: -0,5 – Д.

Приклад 43.20 Точка M(6;-3) – образ точки N(2;1) при гомотетії з коефіцієнтом k=-1/3. Знайти координати центра гомотетії.

Розв'язування: За умовою точка M(6;-3) – образ точки N(2;1) при гомотетії з коефіцієнтом k=-1/3, тоді
|KM|=|k|•|KN|, де K – координати центра гомотетії.
Гомотетія є перетворенням подібності, це означає, що точки N(2;1), K(x,y) і M(6;-3) лежать на одній прямій.

Оскільки k=-1/3, то точки M(6;-3) і N(2;1) лежать по різні боки від центра гомотетії (точки K(x,y)).
Так як |KM|=|-1/3||KN|,
|NM|=|NK|+|KM|,
то |NK|=3|KM| і |NM|=4|KM|.
Нехай маємо вектори NM, NK і KM.
Оскільки точки N(2;1), K(x,y) і M(6;-3) лежать на одній прямій, то NM=NK+KM.
Знайдемо координати вектора NM:
NM=(6-2;-3-1)=(4;-4).
Із умови |NM|=4|KM| знайдемо координати вектора KM:

Знайдемо координати точки K(x_K;y_K) – центра гомотетії:

де – координати вектора KM і M(x_M;y_M) – координати точки M.
Отримали K(5;-2) – центр заданої гомотетії з коефіцієнтом k=-1/3.
Відповідь: (5;-2) – А.

Приклад 43.21 Дано точку A(5;-2). Установити відповідність між перетвореннями (1–4) та координатами образу точки (А–Д).

Розв'язування: 1. Знайдемо координати точки A1(x;y), у яку переходить точка A(5;-2) при паралельному перенесенні на вектор a(3;4):
x=x_A+a_x=5+3=8,
y=y_A+a_y=-2+4=2.
Отримали A1(8;2). Д.

2. Якщо точка O(0;0) (початок координат) є центром симетрії деяких інших точок, то їх відповідні координати мають лише протилежні знаки, тому точка A2(-5;2) є образом точки A(5;-2) при симетрії відносно початку координат В.

3. Точки, симетричні відносно осі абсцис Ox, мають однакові абсциси та протилежні ординати, тому точка A3(5;2) є образом точки A(5;-2) при симетрії відносно осі Ox. А.
4. Точки, симетричні відносно осі ординат Oy, мають однакові ординати та протилежні абсциси, тому точка A4(-5;-2) є образом точки A(5;-2) при симетрії відносно осі Oy. Г.

Приклад 43.24 Дано точку A(4;6). Установити відповідність між гомотетіями (1–4) та координатами образу точки (А–Д).

Розв'язування: Гомотетія є перетворенням подібності. На координатній площині гомотетія з центром у початку координат задається формулами:

де (x;y) – координати точки A,
k – коефіцієнт гомотетії та
An(x';y') – координати образу цієї точки при гомотетії,
On(x0;y0) – координати центра гомотетії.
Знайдемо координати точок An(x';y') образів при кожній гомотетії.

1. A(4;6), гомотетія з центром O1(3;3) і k1=2:

звідси A1(5;9).
На рисунку |O1A1|=2|O1A| і при додатному коефіцієнті гомотетії k>0 точки A(4;6) і A1(5;9) лежать по один бік від центра гомотетії (точки O1(3;3)). Д.

2. A(4;6), гомотетія з центром O2(2;5) і k2=3:

звідси A2(8;8).
На рисунку |O2A2|=3•|O2A| і при k>0 точки A(4;6) та A2(8;8) лежать по один бік від центра гомотетії (точки O2(2;5)). А.

3. A(4;6), гомотетія з центром O3(3;7) і k3=-2:

звідси A3(1;9).
На рисунку |O3A3|=2•|O3A| і при від'ємному коефіцієнті гомотетії k<0 точки A(4;6) і A3(1;9) лежать по різні боки від центра гомотетії (точки O3(3;7)). Г.

4. A(4;6), гомотетія з центром O4(5;7) і k4=-3:

звідси A4(8;10).
На рисунку |O4A4|=3•|O4A| і при k<0 точки A(4;6) і A4(8;10) лежать по різні боки від центра гомотетії (точки O4(5;7)). Б.

Формулу з довільними координатами (x0;y0) центра гомотетії отримали з формули {x'=k•x; y'=k•y} з центром гомотетії у початку координат O(0;0) за допомогою паралельного перенесення точок (x;y) і (x';y') на вектор a(x0;y0), тобто

Далі розберемо готові приклади на знаходження координат при повороті точки за та проти годинникової стрілки на заданий кут, та решту розв'язків із ЗНО підготовки на геометричні перетворення.

Вас може зацікавити:
• Симетрія та паралельне перенесення параболи. Образ параболи
• Встановити образ прямої при симетрії та паралельному перенесенні