Сьогодні розберемо тестові задачі із ЗНО курсу підготовки на знаходження радіуса основи циліндра. Завдання дещо складніші ніж шкільні, тому тут не будемо зупинятися на прикладах де відомо об'єм циліндра і висоту, а потрібно знайти радіус основи чи їм подібних. В завданнях слід виконати нескладну побудову і вже за нею визначити радіус. Для збільшення наведеного тут списку завдань просимо Вас надсилати нам тематично подібні відповіді до задач на циліндр.  

38.4 Радіус циліндра

Задача 38.3 Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює l і утворює з площиною основи кут alpha.
Визначити радіус циліндра.


Розв'язання: Осьовим перерізом циліндра є прямокутник AA1B1B (див рис.).
Сторони AA1=BB1 є твірними циліндра (їх довжина дорівнює висоті H ), а інші дві сторони AB=A1B1 – діаметри основ циліндра.
Вісь циліндра OO1 є віссю прямокутника, його кінці ділять діаметр навпіл, тобто AO=OB=A1O=OB1=R, де R – радіус циліндра.
Діагональ AB1 прямокутника AA1B1B (за властивістю) ділить його на два рівних прямокутних трикутники ΔABB1 і ΔAA1B1.

Ортогональною проекцією діагоналі AB1 осьового перерізу AA1B1B є діаметр AB (або A1B1) основи циліндра.
Тому кут між діагоналлю AB1 і площиною основи є кут B1AB (або кут AB1A1), отже ∠B1AB=alpha.
Розглянемо прямокутний ΔABB1 (∠ABB1=90), у якого AB1=l – гіпотенуза (за умовою задачі) і ∠B1AB=alpha – кут, що є прилеглим до катета AB.
Із означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника виразимо катет AB:

Далі знаходимо радіус циліндра як половину катета AO=OB=AB/2, тобто

Відповідь: – Д.

 

Задача 38.4 У циліндрі паралельно до його осі проведено площину на відстані 3 см від неї.
Ця площина перетинає основу циліндра по хорді, яка дорівнює 8 см. Знайти радіус циліндра.


Розв'язання: Переріз циліндра площиною, яка проходить паралельно осі циліндра є прямокутник AA1B1B, сторони AA1=BB1 якого є твірними циліндра (їх довжина дорівнює висоті H циліндра), а інші дві сторони AB=A1B1 – хорди основ циліндра, тобто AB=A1B1=8 см.
З центра основи циліндра O1 опустимо перпендикуляр O1M1 на хорду A1B1, тобто O1M1⊥A1B1.
Оскільки твірні циліндра перпендикулярні до площин основи, а основи циліндра – два рівні круги, що лежать в паралельних площинах, то звідси O1M1=3 см – відстань від осі циліндра OO1 до площини AA1B1 (прямокутника AA1B1B).
З центра основи O1 проведемо відрізки A1O1 і B1O1.
Оскільки A1B1 – хорда основи, то A1O1 і B1O1 – радіуси основи, тому A1O1=B1O1=R.

Звідси слідує, що ΔA1O1B1 – рівнобедрений з основою A1B1=8 см і бічними сторонами A1O1=B1O1=R.
Відрізок O1M1=3 см – медіана, висота і бісектриса рівнобедреного ΔA1O1B1 (за властивістю), тому A1M1=M1B1=A1B1/2=4 см і ∠A1M1O1=∠B1M1O=90.
Із прямокутного трикутника A1M1O1 (∠A1M1O=90), в якому A1M1=4 см і O1M1=3 см – катети,
за теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу A1O1=R – радіус циліндра:

Відповідь: 5 см – Б.

 

Задача 38.6 Діагональ розгортки бічної поверхні циліндра дорівнює d й утворює з висотою розгортки кут alpha.
Знайти радіус циліндра.


Розв'язання: Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник AA1A1'A', дві сторони AA1 і A1'A' якого є твірними (висотою) циліндра, а дві інші AA' і A1A1' є довжинами кіл – нижньої і верхньої основи циліндра відповідно, причому .
(Тут і надалі знак «», означає, що точки (або інші елементи) співпадають, накладаються).
Діагональ A'A1 прямокутника AA1A1'A' ділить його на два рівних прямокутних трикутники (за властивістю).
За умовою задачі діагональ A'A1 утворює з висотою розгортки кут alpha, тобто ∠AA1A'=alpha.
Розглянемо прямокутний ΔAA1A' (∠A'AA1=90), у якого A'A1=d – гіпотенуза (за умовою задачі) і (∠AA1A'=alpha – кут, що є протилежним до катета AA'.
За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо катет AA' – довжину кола:

Отже, C=d•sin(alpha) – довжина кола, звідси
– радіус кола,
де – відношення довжини кола C до його діаметра D=2R.
Отже, – радіус кола.
Відповідь: – Б.

 

Задача 38.17 Знайти радіус циліндра, описаного навколо прямокутного паралелепіпеда зі сторонами 9 см і 12 см і висотою 8 см.


Розв'язання: Циліндр описаний навколо призми (циліндр описаний навколо прямокутного паралелепіпеда за умовою), якщо основи циліндра описані навколо основ призми (коло описане навколо прямокутника), а висота циліндра дорівнює висоті призми, тобто H=8 см.
Маємо прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, в основі якого лежить прямокутник ABCD зі сторонами AB=CD=12 см і AD=BC=9 см .

У прямокутника, за властивістю, діагоналі рівні і в точці перетину O діляться навпіл. Діагональ AC прямокутника ABCD знайдемо із прямокутного ΔABC (∠ABC=90) за теоремою Піфагора (AB=12 см і BC=9 см – катети):
Коло описане навколо прямокутника, якщо всі вершини прямокутника лежать на колі, а центр кола лежить на перетині діагоналей прямокутника. Тому діаметр кола дорівнює діагоналі AC вписаного прямокутника ABCD, а радіус R дорівнює половині діаметра (тобто половині діагоналі AC), отже R=AC/2=15/2=7,5 см – радіус (основи) циліндра.
Відповідь: 7,5 см – А.

Далі розглянемо приклади на обчислення площі осьового та під кутом перерізів циліндра. Їх теж отримано із посібника для ЗНО підготовки.
Щоб мати можливість вчитися з більшого різноманіття прикладів просимо Вас співпрацювати та ділитися навчальними матеріалами.