Квадрат найбільш симетрична фігура серед всіх чотирикутників.

Властивості квадрату

Властивості квадрата - це основні признаки, які дозволяють розпізнати його серед прямокутників, ромбів, чотирикутників

• У квадрата всі сторони і кути рівні AB=BC=CD=AD.
• Протилежні сторони паралельні між собою
  
• Кути між сусіднвми сторонами прямі.
• Діалоналі квадрата рівні і перетинаються під прямим кутом.
• Діагоналі є одночасно бісектрисами кутів квадрата.
• Точка в якій перетинаються діагоналі є центром квадрату, крім цього – центром вписаного та описаного кіл.
• Діагоналі ділять квадрат на чотири однакові рівнобедрені прямокутні трикутники.

Площа квадрата

Найбільше прикладів в шкільному курсі при вивченні квадрату пов'язано з обчисленням його площі та периметру. Вам може здатися, що для обчислення площі достатньо знати одну формулу S=a*a і цього вистачить для всіх задач, проте це не так. Оскільки найшвидше інформація сприймається і вивчається візуально, то ми об'єднали всі величини квадрата, які Вам прийдеться обчислювати і намалювали прості і зрозумілі рисунки з формулами.

Більшість позначень Вам зрозуміла, але повторимо їх знову
a– сторона квадрата;
d– діагональ;
P– периметр;
S– площа;
R– радіус описаного кола;
r– радіус вписаного кола;
l– відрізок зображений на рисунку( часто використовується в складних прикладах).

Формули площі квадрата, які наведені нижче дають можливість її обчислення через периметр, сторону, діагоналі, радіуси.

Вони не надто складні і кожна з них може стати Вам в нагоді для обчислення площі квадрата.

Периметр квадрата

Що може бути простіше за обчислення периметру квадрата, якщо відомо його сторону. Однак, якщо задано лише діагональ, площу, радіус то знаходження периметру не таке очевидне. Наведений нижче рисунок містить найбільш необхідні формули для обчислення периметру квадрата

Формули периметру через діагональ, площу, радіуси і т.д. наведені нижче

Діагональ квадрата

Діагональ квадрата може мути виражена через радіуси вписаного, описаного кіл, сторону, периметр , площу наступними формулами.

В ролі довідника формул для обчислення діагоналі квадрата можете використовувати наступний рисунок.

Радіус описаного кола

Найпростіша формула радіуса описаного кола R=d/2, тобто радіус рівний половині діагоналі квадрата. Всі наступні формули, які допоможуть визначити радіус описанного кола містять корені, однак при обчисленнях незамінні.

Нижче зображено рисунок-схема з наведеними усіма формулами.

Радіус вписаного кола у квадрат

Радіус вписаного кола з рисунку рівний половині його сторони.

Також він рівній одній восьмій частині периметру. Залежності для знаходження радіусу вписаного кола через площу, діагональ, радіус описаного кола містять ірраціональності. Однак і в умовах прикладів величини, що відомі для обчислення радіусу, як правило, задані з коренями або такими, які легко спрощуються( наприклад ).

Чорновик-підказка формул радіуса вписаного в квадрат кола наведена нижче

Якщо ж задано діаметр вписаного або описаного кола, то ділимо на два і можемо застосовувати в наведених формулах. Це Ви думаю пам'ятаєте.

Бонус для всіх школярів та студентів. Усі кольорові графіки з формулами площі квадрата, його периметру, діагоналі, вписаного та описаного радіусів Ви можете завантажити за посиланням унизу.
Роздруковуйте формули та користуйтеся в навчанні.

Сподобався матеріал – поділися посиланням з друзями.

Вас може зацікавити:
• Площа трикутника. Формули
• Знайти площу паралелограма + формули
• Трапеція. Периметр, площа, середня лінія
• Задачі на рівнобедрений трикутник
• Катети, висота та гіпотенуза прямокутного трикутника
• Площа та периметр прямокутного трикутника

Прямокутником називають такий паралелограм у якого всі кути прямі. Все це узагальнено, оскільки, якщо паралелограм має хоча б один кут прямий, то всі решта - також прямі. Більшість предметів, що нас оточують мають форму прямокутника: стіл, вікна, двері, кімнати, ділянки землі, навіть гроші.
Розглянемо прямокутник

Точки А, В, С і D прийнято називати вершинами прямокутника, а відрізки, що їх сполучають АВ, ВС, CD і AD - сторонами прямокутника (ширина і довжина). Ті із сторін, що мають спільну вершину називаються сусідніми. Всі що не підпадають цьому визначенню називають протилежними (Протилежні сторонни паралельні між собою).
Відрізок, який сполучає найбільш віддалені вершини називається діагоналлю прямокутника.

Властивості прямокутника

Розглянемо чим відрізняється прямокутник від інших фігур.

1. У прямокутнику протилежні сторони рівні.

2. Рівні між собою і мають 90 градусів усі кути прямокутника.

3. Діагоналі прямокутника рівні і в точці перетину діляться навпіл.

4. Діагоналі трикутника поділяють його на два однакові трикутники.

Таким чином, якщо в пралелограмі рівні всі кути або один прямий, або однакові діагоналі то це прямокутник. Що стосується чотирикутників, то серед них прямокутником будуть лише ті, в яких всі кути рівні або хоча б три прямі. Бісектриса кута прямокутника відсікає від нього рівнобедрений трикутник.

Основними геометричними характеристиками прямокутника є периметр та площа.

Периметр прямокутника - формула

Периметр рівний сумі всіх сторін, які при цьому попарно рівні між собою. Тому формула периметру прямокутника має вигляд

P=2(a+b).

Приклад 1. Сторни прямокутника рівні 5 і 7 см. Знайти його периметр.

Розв'язок. Підставляємо значення в формулу периметру прямокутника

P=2(5+7)=24 (см).

Формула площі прямокутника

Площe прямокутника рівна добутку його ширини на висоту.

S=a*b.

Якщо задано довжину діагоналей (d) і кут між ними (alpha), то формула площі прямокутника рівна половині квадрату діагоналей на синус кута між ними.

S=d*d*sin(alpha)/2.

Не забувайте, що площа вимірюється в одиницях квадратних, тому, якщо розміри задані в метрах то площа буде в метрах квадратних, сантиметрах – площа в сантиметрах квадратних і т.д.

Приклад 2. Діагоналі прямокутника перетинаються під кутом 30 градусів і рівні 5 см. Яка площа прямокутника?

Розв'язок. Підставляємо дані в формулу площі прямокутника через діагоналі

Відповідь. Площа рівна 6,25 сантиметрів квадратних.

Діагоналі прямокутника

У прямокутнику довжину діагоналі обчислюють через довжини сторін за теоремою Піфагора

d=sqrt(a^2+b^2) або

Отже ви вже знаєте як знайти площу прямокутника, периметр та діагональ.

Сторони прямокутника

Якщо відома діагональ і одна сторона, то другу також визначаємо за теоремою Піфагора

або

Коло описане навколо прямокутника, вписане коло

Діаметр або радіус описаного навколо прямокутника кола Ви мабуть обчислювали. Проте навряд чи задумувались про вписане коло і геометричне місце його центрів.

Діаметр описаного кола рівний діагоналі (d), відповідно радіус описаного кола - половині діагоналі (R=d/2). Вписаних кіл у прямокутник можна побудувати безліч. Радіус вписаного кола рівний половині довжини меншої сторони прямокутника (r=b/2). Якщо з'єднати центри всіх можливих вписаних кіл то отримаємо відрізок MN, довжина якого рівна різниці сторін (MN=a-b).

Наведена інформація про вписані та описані кола не часто пригодиться Вам при розв'язанні задач, але Ви повинні знати як в таких випадках обчислювати вказані величини.

Задачі на прямокутник

Сторони прямокутника

Задача 1. Довжина діагоналі і сторони прямокутника становлять 10 і 8 см. Знайдіть другу сторону.

Розв'язання. За теоремою Піфагора обчислюємо

Задача 2. Довжина діагоналі прямокутника рівна 5 см. Одна сторона менша за іншу на сантиметр. Знайдіть сторони прямокутника.

Розв'язання. Позначимо першу сторону через х, тоді за умовою друга – х -1. Складаємо рівняння

Підносимо до квадрату і розв'язуємо квадратне рівняння

Друге значення не має змісту. Для знаходження меншої сторони виконуємо віднімання

Відповідь. Сторони прямокутника рівні 3 і 4 см.

Задачі на площу та периметр прямокутника

Задача 3. Більша сторона прямокутника 8 см. Менша становить четвертину більшої. Яка площа та периметр прямокутника?

Розв'язання. Четвертина більшої означає одна четверта частина, тобто

b= 8/4=2 (см).

Площу та периметр знаходимо за формулами

P=2(2+8)=20 (см);
S=2*8=16 (см^2).

Відповідь. Периметр 20 см, площа 16 сантиметрів квадратних.

Задача 4. Ділянка землі має площу 50 метрів квадратних. Який периметр ділянки, якщо діагоналі перетинаються під прямим кутом?

Розв'язання.

Оскільки кут між діагоналями 90 градусів, то це квадрат. Площа квадрата рівна квадрату сторони

Звідси знаходимо сторону

Периметр знаходимо за формулою

Відповідь. Периметр рівний 32 м.

Не забувайте, що периметр вимірюється в одиницях довжини, а площа - в одиницях квадратних.
Тепер Ви знаєте, як знайти периметр та площу прямокутника. Користуйтеся формулами на практиці та вдосконалюйте навики обчислень вказаних величин.

Вас може зацікавити:
1. Знаходження площі та периметра прямокутника
2. Задачі на рівнобедрений трикутник з розв'язками
3. Площа квадрата. Формули площі, периметру, радіуса кола
4. Трапеція. Периметр, площа, середня лінія

Сьогодні розглянемо задачі на властивості прямокутників. Далі задачі на робм, паралелограм, трапеції.
За кілька уроків на 29 прикладах Ви зможете пригадати шкільну практику з геометрії за 8,9 класи.
Прості пояснення та рисунки допоможуть зрозуміти хід обчислень, та швидко підготуватися до ЗНО тестів з математики. 

Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж

Завантажити онлайн відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).

Зміст: Посібник містить поради щодо проходження ЗНО з математики та взірці тестових завдань.
Усі задачі однієї теми розміщені в порядку складності.
Рекомендуємо всім завантажити відповіді до ЗНО та самостійно пройти теми, з якими маєте труднощі на практичних.

Тема 32. Чотирикутники

Задачі на прямокутники

 У збірнику наведено 29 прикладів з умовами на прямокутники, паралелограми, ромби трапеції. В такому порядку ми їх погрупували, підготували та рекомендуємо до перегляду.
 

Приклад 32.4 У чотирикутнику діагоналі дорівнюють 8 см і 5 см.
Обчислити периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін даного чотирикутника.

Обчислення: Завдання не зовсім стосується прямокутників, однак ми його включили оскільки подібне завдання може чекати Вас на тестах, екзаменах чи контрольній роботі. 
Нехай маємо чотирикутник ABCD, у якого AC=5 см і BD=8 см – діагоналі.
KLMN – чотирикутник, вершини якого є, відповідно, середини сторін AB, BC, CD і AD чотирикутника ABCD. 
Наголошуємо Вам на необхідності робити схематичні рисунки до більшості задач з геометрії.
Як вчать викладачі: гарно виконаний рисунок містить половину розв'язаної задачі.

Розглянемо трикутник ABD, у якого KN сполучає середини сторін AB і AD.
Звідси слідує, що KN – середня лінія трикутника ABD.
Тому, за властивістю середньої лінії трикутника ABD:
KN||BD і KN=BD/2=8/2=4 см.
Розглянемо трикутник BCD, у якого LM сполучає середини сторін BC і CD. Звідси слідує, що LM – середня лінія трикутника BCD.
Тому, за властивістю середньої лінії трикутника BCD:
LM||BD і LM=BD/2=4 см.
За теоремою про паралельні прямі («якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні одна одній») отримаємо, що KN||LM.
Аналогічно встановлюємо, що KL=MN=AC/2=5/2=2,5 см і KL||MN (тобто KL і MN – середні лінії трикутників ABC і ACD, відповідно).
Оскільки у чотирикутника KLMN протилежні сторони паралельні (і рівні), то цей чотирикутник – паралелограм.
Обчислимо його периметр:
P=KL+LM+MN+KN=2(KL+LM)=2(4+2,5)=13 см.
Відповідь: 13 см – Б.

Приклад 32.5 Одна зі сторін прямокутника дорівнює 8 см.
Знайти площу прямокутника, якщо площа круга, описаного навколо нього, дорівнює 25π см^2.

Обчислення: Записуємо все, що нам відомо про прямокутник ABCD, BC=AD=8 см і AB=CD.
За властивістю: діагоналі прямокутника рівні.
Кожна діагональ прямокутника розбиває його на два рівні прямокутні трикутники (ознака рівності: «за трьома сторонами»).

Діагональ прямокутника є гіпотенузою прямокутного трикутника. Оскільки коло описане навколо прямокутника, то ці два рівні прямокутні трикутники вписані у коло. За властивістю: гіпотенуза прямокутного трикутника, вписаного в коло є діаметром цього кола. Звідси слідує, що діагональ прямокутника BD вписаного в коло є діаметром кола 2R (BD=2R).
Площа кола:
S=πR², де R – радіус описаного навколо прямокутника кола.
Звідси:
25π=πR^2, R^2=25, тому R=5 см.
Отже, BD=2•R=10 см.
Розглянемо прямокутний трикутник ABD (∠BAD=90).
За теоремою Піфагора знайдемо катет AB
(BD=10 см – гіпотенуза, AD=8 см – катет):
BD^2=AB^2+AD^2, звідси сторона рівна

Знайдемо площу прямокутника зі сторонами AD=8 см і AB=6 см:
S_ABCD=AB•AD=6•8=48 см².
Відповідь: 48 см^2 – Б.

Приклад 32.6 У прямокутнику ABCD точка O – точка перетину діагоналей, ∠BOC=108.
Знайти ∠ABD.

Обчислення: Нехай маємо прямокутник ABCD, AC=BD – діагоналі, ∠BOC=108, де O – точка перетину діагоналей AC і BD.

Оскільки будь-який прямокутник – це паралелограм, то за властивістю:
AO=CO і BO=DO. А так як, за властивістю, у прямокутника діагоналі рівні, то AO=CO=BO=DO.
Розглянемо трикутник BOC, у якого ∠BOC=108 і BO=CO.
Звідси слідує, що трикутник BOC – рівнобедрений з основою BC і бічними сторонами BO, CO.
Тому (за теоремою про суму кутів трикутника).
Оскільки BO є половина діагоналі BD, то ∠DBC=∠OBC=36.
У прямокутника ABCD маємо:
∠DBC+∠ABD=90, звідси слідує, що
∠ABD=90-∠DBC=90-36=54.
Відповідь: 540 – Г.

Приклад 32.14 Діагоналі прямокутника утворюють кут 50⁰.
Знайти кут між діагоналлю прямокутника та бісектрисою кута, проведеними з однієї вершини.

Обчислення: У прямокутнику маємо наступні позначення: AC=BD – діагоналі, ∠COD=50, де O – точка перетину діагоналей AC і BD.

Оскільки будь-який прямокутник – це паралелограм, то за властивістю маємо:
AO=CO і BO=DO.
А так як, за властивістю, у прямокутника діагоналі рівні, то AO=CO=BO=DO.
Знайдемо ∠AOD за теоремою про суму суміжних кутів ∠COD і ∠AOD:
∠COD+∠AOD=180, звідси ∠AOD=180-∠COD=180-50=130.
Розглянемо трикутник AOD.
У нього ∠AOD=130 і AO=DO.
Звідси слідує, що трикутник AOD – рівнобедрений з основою AD, тому ∠CAD=∠OAD як кути при основі AD рівнобедреного трикутника AOD.
За теоремою про суму кутів трикутника знайдемо кути при основі AD трикутника AOD:

звідси ∠CAD=∠OAD=25.
Оскільки AL – бісектриса кута A, а ∠A=90 (за означенням прямокутника), то

Знайдемо ∠LAC – кут між бісектрисою AL і діагоналлю AC прямокутника ABCD, які проведені з кута A:
∠LAC=∠LAD-∠CAD=45-25=20, отже ∠LAC=20.
Відповідь: 20⁰ – Д.

Приклад 32.29 Перпендикуляр, проведений з вершини прямокутника на діагональ, дорівнює 12 і поділяє діагональ на відрізки, різниця яких дорівнює 7.
Знайти площу прямокутника.
Обчислення: Задано прямокутник ABCD, AC– діагональ, BH⊥AD, BH=12.

Введемо позначення: AH=b і HC=a, (тут AC=a+b), тоді за умовою задачі a-b=7 (*).

І – спосіб (важчий!):

Із прямокутного трикутника ABH (∠AHB=90) запишемо гіпотенузу AB:
AB^2=AH^2+BH^2, звідси
Із прямокутного трикутника BCH (∠BHC=90) запишемо гіпотенузу BC:
BC^2=HC^2+BH^2, звідси
Площу прямокутника можна обчислити:
1) за двома її сторонами, тобто S[ABCD]=AB•BC, тобто
2) як суму площ прямокутних трикутників ABC і ADC.
Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні (за властивістю), то ΔABC=ΔADC, звідси

звідси S[ABCD]=12(a+b).
Прирівняємо отримані вирази для обчислення площі прямокутника ABCD:
(**).
Отримали два рівняння (*) і (**) з двома невідомими a і b:

b1=b2=-16<0 (не задовольняє умові задачі), b3=b4=9.
Отже, b=9 і a=16.
Звідси AC=16+9=25.
Обчислимо площу прямокутника ABCD:
S[ABCD]=12•25=300.

ІІ – спосіб (легший!):

Обчислення: Нехай нам відомо наступне:
∠BAH=alpha, тоді ∠BAH=90-alpha (∠AHB=90 за умовою задачі).
Оскільки ∠ABC=90 (за означенням прямокутника ABCD), то
∠CBH=90-∠ABH=90-(90-alpha)=alpha.
Отже , ∠BAH=∠CBH.
Розглянемо два прямокутні трикутники ABH і BCH зі спільним катетом BH=12.
Оскільки ∠BAH=∠CBH, то звідси випливає, що ці трикутники подібні (ознака подібності : «за рівним гострим кутом»).
Тому маємо

a•b=12•12=144 (**).
Отримали два рівняння (*) і (**) з двома невідомими a і b:

Другий корінь квадратного рівняння не задовольняє умові задачі.
Отже, b=9 і a=16.
Звідси AC=9+16=25.
Обчислимо площу прямокутника:
S[ABCD]=12(a+b)=12•25=300.
Відповідь: 300.

Приклад 32.47 Скільки потрібно листів бляхи завширшки 3 м, щоб обгородити земельну ділянку прямокутної форми під будівництво офісного центру, площа якої дорівнює 480 м², а одна зі сторін – 16 м?
Розв'язування: Зробимо математичну модель задачі. Офісну ділянку замінимо на прямокутник ABCD, у якого AB=CD=16 м, BC=AD - сторони і S_ABCD=480 м² - площа.

Знайдемо іншу сторону прямокутника ABCD:

Обчислимо периметр (суму всіх довжин сторін) прямокутника ABCD:
P_ABCD=2(AB+BC)=2(16+30)=92 (м).
Кількість листків бляхи, щоб обгородити земельну ділянку, визначають як відношення периметра ділянки до ширини одного листка.
За умовою: b=3 м - ширина одного листка бляхи, звідси отримаємо

найменше натуральне значення що задовільняє нерівність n=31.
Відповідь: 31.

 Ось такого типу завдання Вас чекатимуть на зовнішньому незалежному оцінюванні і їх Ви повинні вміти обчислювати, інакше не наберете потрібних балів для вступу у ВУЗ.
Тож вчіться, працюйте багато самостійно і з часом будете вільно використовувати усі властивості чотирикутників.

Вас може зацікавити:
1. Площа квадрата. Формули площі, периметру, радіуса кола
2. Площа трикутника. Формули
3. Трапеція. Периметр, площа, середня лінія
4. Задачі на кути трикутника з розв'язками

Формули площі трапеції

1. Площа трапеції рівна добутку півсуми основ на висоту:

Середня лінія трапеції рівна півсумі основ, тому попередню формулу площі можна записати у вигляді

Нижче на рисунку наведено відповідні формули та позначення

2. Якщо задано діагоналі трапеції та кут між ними (див. рис.),

то площу трапеції знаходять через половину добутку діагоналей трапеції на синус кута між ними.
Варто зазначити, що неважливо чи тупий чи гострий кут підставляємо у формулу.
Значення площі від цього не поміняється.

Дана формула, як і попередня, достатньо проста в обчисленнях.

Наступна формула вимагає більшої кількості розрахунків.

3. Бувають складні приклади на трапецію, коли задано усі чотири її сторони. В таких випадках використовують першу формулу площі трапеції

або другу

При застосуванні формули слід пам'ятати, що між сторонами повинні виконуватися умови b>a і c>d.

4. Якщо в завданні відомо, що трапеція рівнобічна (бічні сторони рівні) то для того, щоб знайти площу трапеції крім вище наведених формул використовують наступні:

• якщо задано основу, бічну сторону та кут між ними
  
  
• якщо відомий радіус вписаного кола та кут при основі
  

Тут r – радіус вписанного кола, alpha – кут при основі, c – бічна сторона рівнобічної трапеції.

Якщо радіуса вписаного кола та потрібного кута не задано в умові прикладу – користуйтеся вище наведеними формулами площі трапеції.

Тепер Ви знаєте як знайти площу трапеції, використовуйте наведені формули на практиці та не майте проблем у навчанні.
Далі розглянемо готові відповіді до прикладів на трапеції та покажемо, як застосовувати формули площі на практиці.

Вас може зацікавити:
1. Формули та задачі на середню лінію трапеції
2. Площа рівнобічної трапеції
3. Трапеція. Знаходження площі,периметра, середньої лінії
4. Обчислення площі трапеції

Властивість 1: Площа трапеції ABCD рівна площі трикутника ABM.
Це легко довести, оскільки трикутники BCF і FDM рівні між собою.

Властивість 2: Відрізок, що сполучає точки перетину діагоналей з середньою лінією рівний піврізниці основ.
MN=(a-b)/2.
Доведення: Розглянемо рис.2, відрізки EM, NF, які відтинають діагоналі від середньої лінії трапеції, є середніми лініями трикутників ABC, BCD відповідно. Тому за теоремою Фалеса рівні половині сторони BC, тобто
EM, NF=b/2.
Щоб знайти MN залишилося від повної середньої лінії трапеції відняти відрізки EM, NF:
MN=EF-EM-NF=(a+b)/2-b/2-b/2=(a-b)/2.
На вказаних формулах та властивостях трапеції ґрунтуються пояснення до наступних задач з геометрії за 7-9 класи. Наведені алгоритми обчислень багатьом з Вас, а особливо батькам, слугуватимуть добрими інструкціями для обчислення подібних завдань.

Задачі на середню лінію трапеції

Задача 1. Основи трапеції рівні 5 та 11 см. Знайдіть середню лінію трапеції.
Розв'язування:m=(a+b)/2=(11+5)/2=8 см.
І таких задач в 7-9 класах не злічити. Ваша робота додати основи і розділити на 2, це і буде довжина середньої лінії.

Задача 2. Різниця основ трапеції рівна 6, а сума в три рази більша. Знайдіть середню лінію трапеції.
Розв'язування: 1 Спосіб.
Прийнявши більшу основу трапеції за a, меншу – b складаємо систему рівнянь:
a-b=6;
a+b=3*6=18.
a=b+6;
b+6+b=18;
2b=18-6=12;
b=12/2=6;
a=b+6=12.
За формулою обчислюємо довжину середньої лінії
m=(a+b)/2=(12+6)/2=9.
2 Спосіб.
Формула середньої лінії містить суму основ, а в умові сказано, що сума втри рази більша за різницю основ. Тобто ми зразу можемо визначити, що
a+b=3*6=18
і обчислити середню лінію
m=(a+b)/2=18/2=9.

Задача 3.Знайдіть середню лінію рівнобічної трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 6 см, а периметр 36 см.
Розв'язування: Периметр трапеціі це сума всіх його сторін. Якщо від периметру відняти бічні сторони, а вони в рівнобічної трапеції рівні, то дістанемо суму основ:
a+b=P-c-d=36-6-6=24 см.
Далі обчислюємо середню лінію
m=(a+b)/2=24/2=12 см.

Задача 4. Основи трапеції дорівнюють 8 см і 22 см. Знайдіть довжину відрізка, який сполучає середини діагоналей трапеції.
Розв'язування: Скористаємося формулою, виведеною на початку уроку
MN=(a-b)/2=(22-8)/2=7 см.

Задача 5. Основи трапеції відносяться як 5:7, а їх різниця дорівнює 6 см. Знайдіть середню лінію трапеції.
Розв'язування: На основі пропорції між основами, позначимо:
a=7x, b=5x.
Складаємо рівняння до умови
7x-5x=6;
2x=6;
x=3.
Знаходимо середню лінію трапеції
m=(a+b)/2=(7x+5x)/2=6x=6*3=18 см.

Задача 6. Основи трапеції відносяться як 3:4, а її середня лінія дорівнює 14 см. Знайдіть основи трапеції.
Розв'язування: Позначимо a=4x, b=3x.
Тоді m=(a+b)/2=14,
4x+3x=14*2=28,
7x=28,
x=28/7=4 см.
Знаходимо основи трапеції
a=4x=4*4=16 см, b=3x=3*4=12 см.

Задача 7. Висота трапеції рівна 7 см. Знайти середню лінію трапеції, якщо її поща 35 см²
Розв'язування:Такого типу задачі на трапецію обчислюють виходячи з формули площі:
S=h*(a+b)/2=h*m.
Віддси
m=S/h=35/7=5 см.

Задача 8. В трапеції вписано коло, а його бічні сторони рівні 10 та 12 см. Знайдіть середню лінію трапеції.
Розв'язування: Без знання властивостей трапеції у яку вписано коло вам цієї задачі не розв'язати. Див формули на рисунку.

Властивість: якщо в трапецію вписане коло, то сума його основ рівна сумі бокових сторін.
a+b=c+d.
За умовою c=10 см, d=12 см.
m=(c+d)/2=(10+12)/2=11 см.

Задача 9. Перпендикуляр, опущений з вершини тупого кута до більшої основи рівнобедреної трапеції, ділить її на частини, які мають довжини 12 см і 5 см. Знайдіть середню лінію цієї трапеції.
Розв'язування: Побудуємо рівнобічну трапецію та опустимо з меншої основи перпендикуляри.

В позначеннях рисунку умову задачі перепишемо так:
AE=12, EB=5.
FE=DC.
Оскільки трапеція рівнобічна, то
AF=EB=4.
Звідси, FE=b=AE-AF=12-5=7,
a=AB=AE+EB=12+5=17.
Знайшовши основи, обчислюємо середню лінію трапеції
m=(a+b)/2=(17+7)/2=12.

Задача 11. У рівнобедреної трапеції діагоналі перпендикулярні. Висота трапеції дорівнює 12. Знайдіть її середню лінію.
Розв'язування: Побудуємо рівнобічну трапецію та опустимо висоту так, щоб вона проходила через точку перетину діагоналей. Задачу розв'яжемо за побудовою, заодно виведемо одну властивість рівнобічних трапецій.

Висота розбиває трапецію на дві прямокутні трапеції, крім цього в обчислення великий вклад дає перпендикулярність діагоналей трапеції.
Висота ділить трикутники AOB, DCO на попарно рівнобедрені прямокутні трикутники:
ΔAOE=ΔBOE, ΔDFO=ΔCOF.
А в рівнобедрених трикутників, а ще прямокутних - катети рівні:
AE=a/2=OE;
DF=b/2=OF.
В наведених записах фігурують фрагменти формули середньої лінії трапеції, додамо обидва вирази:
a/2+b/2=m=OE+OF=FE=h.

Властивість: У рівнобічної (рівнобедреної трапеції) висота рівна середній лінії трапеції.

Тому відповіддю до задачі є: m=h=12.
На цій властивості теж можна обчислити багато задач, зокрема наступного плану.

Задача 12. Знайти середню лінію рівнобічної трапеції, якщо її площа рівна 169 см².
Розв'язування: Виведемо формулу площі рівнобічної трапеції, знаючи властивість, що середня лінія рівна висоті трапеції.
h=m=(a+b)/2.
Перепишемо формулу площі
S=h*(a+b)/2=h*h=m*m.
Таким чином площа рівнобічної трапеції рівна квадрату висоти або квадрату середньої лінії.
Звідси важливе твердження: середня лінія рівнобічної трапеції рівна кореню квадратному з площі:
m=h=√S.
m=√169=13 см.

Задача 13. Діагональ трапеції ділить її середню лінію на 2 відрізки, які відносяться 3:8. Знайти основи трапеції якщо середня лінія дорівнює 22 см.
Розв'язування: Побудуємо трапецію та середню лінію.

За умовою m=FG=22, FM:MG=3:8.
Складемо рівняння на знаходження відрізків, на які ділить діагональ середню лінію.
FM:MG=3:8,
3х+8x=22,
11x=22, x=2.
Звідси FM=3x=6 cм, MG=8x=16 см.
Оскільки знайдені відрізки є середніми лініями трикутників ABC та ACD, то їх сторони у два рази більші середніх ліній:
AD=b=2MG=2*16=32 см,
BC=a=2FM=2*6=12 см.
Відповідь: 12, 32 см.

Задача 14.У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й утворює з більшою основою кут 30 градусів. Знайти середню лінію трапеції, якщо більша основа дорівнює 8 см.

Виразимо кути при основі
 ∠A=∠D=∠CAB+∠CAD=30⁰+30⁰=60⁰
 Також ∠BCA=∠CAD=30⁰ як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC з паралельними прямими BC, AD.
Оскільки кути рівні ∠BCA=∠BAC=30⁰, то трикутник ΔABC – рівнобедрений.
Розглянемо трикутник ΔACD, у якого AD=8 см, ∠CAD=30⁰ і ∠D=60⁰.
Знайдемо третій кут ∠CAD:
∠CAD=180⁰-60⁰-30⁰=90⁰.
 ΔCAD – прямокутний з катетами AC і CD.
Катет навпроти кута ∠CAD=30⁰ рівний половині гіпотенузи, звідси обчислимо катет CD:
CD=AD*sin(30⁰)=8*0,5=4 см.
Знаємо усі сторони трапеції  AB=BC=CD=4 см і AD=8 cм.
Знайдемо середню лінію
m=(a+b)/2=(4+8)/2=6 см.

На цьому задачі на трапецію не завершені, адже на площу, основи та діагоналі трапеції є окремі статті, які чекають Вашого розгляду. Зрозуміло, що тут не всі можливі задачі на середню лінію трапецію, що Вас можуть чекати, а лише типові з навчання. Тому більше розв'язуйте самостійно та по можливості виконуйте побудову до умови задачі.

Протилежні кути в рівнобічних трапеціях є суміжними, отже кожна така трапеція є вписаним чотирикутником, тобто навколо рівнобчних трапецій можна описати коло. Так само можна і вписати коло.  Якщо в завданні відомо, що в рівнобічну трапецію вписано коло (бічні сторони рівні) то одночасно з основними формулами площі трапеції використовують наступні:

Коло вписане (описане) в рівнобічну трапецію

Приклад 32.18 У рівнобічну трапецію вписане коло. Знайти квадратних сантиметрах площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 2 см і 8 см.

Обчислення: Нехай маємо рівнобічну трапецію ABCD, AD||BC, BC=2 см, AD=8 см, AB=CD, BH⊥AD, де BH– висота трапеції, опущена на сторону AD.

Оскільки у рівнобічну трапецію ABCD вписане коло, то суми її протилежних сторін рівні (за властивістю чотирикутника, описаного навколо кола), тобто AB+CD=AD+BC, звідси
2AB=8+2=10, AB=AD=10/2=5 см.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тобто CK⊥AD (∠CKD=90).
Розглянемо прямокутні трикутники ABH і KCD.
У них ∠BAH=∠CKD – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю), і CD=AB=5 см.
Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і KCD рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), і, отже, AH=KD=(8-2)/2=3 см.
У прямокутному трикутнику ABH (∠AHB=90) знайдемо катет BH за теоремою Піфагора:
AB^2=AH^2+BH^2, звідси

Отже, BH=CK=4 см – висота рівнобічної трапеції ABCD.
Звідси тепер неважко довести теорему:
висота рівнобедреної трапеції, в яку можна вписати коло, є середнім геометричним її основ, тобто

Знайдемо площу трапеції:

Відповідь: 20 см² – В.

Приклад 32.38а У рівнобічну трапецію, верхня основа якої удвічі менша від її висоти, вписане коло, радіус якого дорівнює 3 см. Знайти у квадратних сантиметрах площу трапеції.
Розв'язування: Нехай задано рівнобічну трапецію ABCD (AD||BC), у якої вписане коло з центром у точці O та радіусом r=3 см (за умовою); AD||BC – основи та AB=CD – бічні сторони. Діаметр вписаного кола: d=2r=2•3=6 (см). Наведемо рисунок трапеції з вписаним у неї колом

З вершин B і C до основи AD проведемо висоти трапеції BM і CK, відповідно: BM⊥AD і CK⊥AD (очевидно, що BM=CK). Оскільки вписане коло дотикається до основ AD і BC (в точці дотику вписаного кола радіус перпендикулярний до дотичних сторін), то діаметр вписаного кола дорівнює висоті трапеції ABCD, отже BM=CK=d=6 см. Звідси слідує, що BC=BM:2=6:2=3 (см) за умовою.
Позначимо: AB=CD=x. Тоді у прямокутному трикутнику ABM (∠M=90) за теоремою Піфагора запишемо вираз для знаходження катета AM:
Оскільки трапеція ABCD рівнобічна, то і MK=BC=3 см. Тоді

За властивістю вписаного кола в чотирикутник (якщо у чотирикутник вписано коло, то суми його протилежних сторін рівні) запишемо рівність для знаходження x:
AB+CD=BC+AD,

6x=45, звідси x=7,5. Отже, маємо AB=CD=7,5 см і AD
(см).
Знайдемо площу рівнобічної трапеції:
(см²).
Відповідь: 45.

Приклад 32.40а Навколо трапеції описане коло, діаметром якого є більша основа. Обчислити площу трапеції у квадратних сантиметрах, якщо її діагональ і висота відповідно дорівнюють 5 см і 3 см.
Розв'язування: Нехай маємо рівнобічну трапецію ABCD (AD||BC), навколо якої описане коло з центром у точці O, причому AO=DO (AD - діаметр кола за умовою); AC=5 см - діагональ і CK=3 см - висота, що проведена до основи AD (CK⊥AD). Наведемо схематичний рисунок до задачі

За теоремою Піфагора знайдемо катет AK у прямокутному трикутнику ΔACK (∠K=90):
(см).
Позначимо: AO=DO=x, тоді KO=4-x.
Відрізок CO сполучає центр кола O з точкою C на колі, тому цей відрізок є радіусом описаного кола, звідси CO=x.
У прямокутному трикутнику ΔCOK (∠K=90) запишемо формулу Піфагора і знайдемо невідому x:
CO^2=CK^2+KO^2,
x^2=3^2+(4-x)^2,
x^2=9+16-8x+x^2,
8x=25, звідси x=25/8=3,125.
Отже, AO=DO=25/8 см, тоді AD=2•AO=2•25/8=25/4 см.
Лише рівнобічна трапеція може бути вписана у коло (за властивістю), тому

Маємо обчисленими AD=25/4 см і BC=7/4 см – основи трапеції ABCD.
Можемо знайти площу трапеції через добуток півсуми основ на її висоту:
(см²).
Відповідь: 12.

Задача 1. Коло, вписане в рівнобічну трапецію, ділить точкою дотику бічну сторону на відрізки 8 см і 18 см. Знайдіть площу трапеції.
Розв'язування:Коло тут будувати не будемо, лише трапецію. Відрізок, що з'єднує центр вписаного кола з точкою дотику OM є перпендикулярним до сторони трапеції.
Друга важлива пдказка в таких задачах, що кут COM є прямим, звідси випливає що висота прямокутного трикутника OM рівна кореню квадратному з добутку довжин відрізків на які висота ділить основу CD.
Решта обчислень приведено нижче:

Площа рівнобічної трапеції. ЗНО тести

Приклад 32.40 Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 13 см і 23 см. Обчислити (у см²) площу трапеції.
Розв'язування: Нехай маємо рівнобічну трапецію ABCD;
AD||BC - основи та AB=CD – бічні сторони. Діагональ AC є бісектрисою гострого ∠A (за умовою), тому ∠BAC=∠CAD і перетинає середню лінію MN в точці O, причому MO=13 см і NO=23 см, звідси MN=MO+NO=13+23=36 см.
∠BCA=∠CAD як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD, BC та січній AC. Звідси слідує, що ∠BCA=∠BAC, тому ΔABC рівнобедрений з основою AC і бічними сторонами AB=BC.

У триктнику ΔABC відрізки MO||BC паралельні і AM=BM рівні (як частина відрізка MN), тому відрізок MO – середня лінія трикутника ΔABC, звідси BC=2•BC=2•13=26 (см). Тоді CD=AB=BC=26 см.
У трикутнику ΔACD відрізок NO||AD і CN=DN (як частина відрізка MN), тому відрізок NO – середня лінія ΔACD, звідси AD=2•NO=2•23=46 (см).
Оскільки трапеція ABCD рівнобічна, то маємо KL=BC=26 см і AK=DL=(46-26):2=10 (см), де BK і CL – висоти, що проведені до основи AD.
У прямокутному ΔABK (∠K=90) за теоремою Піфагора знайдемо катет BK - висоту рівнобічної трапеції ABCD:
(см).
Знайдемо площу трапеції ABCD:
(см²).
Відповідь: 864.

Приклад 32.46 Канал з Дніпра до Кривого Рогу в районі села Червоні Поди має у поперечному перерізі форму рівнобедреної трапеції, у якої довжина більшої основи дорівнює 12 м, висота 3 м, а бічні сторони нахилені до основи під кутом 450. Швидкість руху води в каналі дорівнює 3 м/хв. Скільки кубічних метрів води забирається з Дніпра за 1 хв?
Розв'язування: Зробимо математичну модель задачі. Поперечний переріз каналу замінимо на рівнобічну трапецію ABCD (BC||AD), у якої AB=CD – бічні сторони, AD=12 м– довжина більшої основи, BK=CM=3 м – висота (BK⊥AD, CM⊥AD), ∠BAD=45 – кут нахилу бічних сторін до основи AD (за умовою).
Схематичний вигляд перевернутого каналу наведено далі

Кількість води, яка забирається з Дніпра з певною швидкістю v і за певний проміжок часу t дорівнює об'єму цієї води V, що пройшла шлях h зі швидкістю v і за час t, тобто

де S_ABCD – площа трапеції ABCD;
v=3 м/хв – швидкість руху води; t=1 хв - час.
Розглянемо прямокутний ΔABK (∠K=90), у якого BK=3 м – протилежний катет до кута ∠BAK=45. Із теореми про суму кутів трикутника випливає, що ∠ABK=∠ABK=45. Отже, трикутник ΔABK– рівнобедрений з бічними сторонами BK=AK=3 м.
Оскільки трапеції ABCD рівнобедрена за умовою, то трикутники рівні ΔABK=ΔDCM (а отже їх відповідні сторони рівні), тому DM=AK=3 м.
Обчислимо довжину меншої основи BC:
BC=KM=AD-2AK=12-2•3=6 (м).
Знайдемо площу рівнобічної трапеції:

Порахуємо кількість води (об'єм V), що забирається з Дніпра за час t=1 хв:

Відповідь: 81.

Задача 2. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 12 і 18 см, а діагональ є бісектрисою її гострого кута. Обчисліть площу цієї трапеції.
Розв'язування: Побудуємо трапецію за умовами задачі

У вас можуть бути інші розміри, головне запам'ятати як обчислювати коли в умові вказано, що діагональ є одночасно бісектрисою кута в трапеції.

Задача 3. Знайдіть площу рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 5 см і 13 см, а діагоналі перпендикулярні до бічних сторін.
Розв'язування:Побудуємо трапецію за умовами задачі та наведемо міркування для знаходження площі трапеції.

Більше готових відповідей з геометрії на трапецію, ромб, паралелограм Ви можете знайти на сусідніх сторінках сайту.

Вас може зацікавити:
1. Трапеція. Знаходження площі,периметра, середньої лінії
2. Обчислення площі трапеції
3. Ромб. Обчислення площі, висоти, діагоналей
4. Многокутники. Формули та приклади

Властивість 1. Якщо в рівнобічній трапеції діагонали перпендикулярні, то висота трапеції рівна півсумі основ.
Доведення: Проведено через точку C пряму CF, паралельну BD і продовжимо пряму AD до перетину з CF.

Чотирикутник BCFD - паралелограм (BC//DF за означенням основ трапеції, BD//CF з побудови). Звідси слідує
CF=BD, DF=BC, AF=AD+BC.
Трикутник ACF прямокутний (якщо пряма перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямій). Оскільки в рівнобічної трапеції діагоналі рівні, а CF = BD, то CF = AC, тобто трикутник ACF - рівнобедрений з основою AF.
Отже, його висота CN є також медіаною.
А так як медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, то
CN =(AD + BC)/2
що в загальному вигляді можна записати:
h=(a+b)/2,
де h - висота трапеції, a,b - основи.

Властивість 2. Якщо в рівнобедреної трапеції діагоналі перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії.
h=m=(a+b)/2.

Властивість 3 Якщо в рівнобічної трапеції діагоналі перпендикулярні, то площа трапеції дорівнює квадрату висоти трапеції (або квадрату напівсуми підстав, або квадрату середньої лінії).

Властивість 4. Якщо в рівнобічної трапеції діагоналі перпендикулярні, то квадрат діагоналі дорівнює половині квадрата суми основ, а також подвоєному квадрату висоти і подвоєному квадрату середньої лінії.

Задачі на взаємоперпендикулярні діагоналі трапецій

Приклад 1. Діагоналі трапеції перпендікулярні і рівні 6 та 8 см. Знайти середню лінію трапеції.
Розв'язування: Виконаємо допоміжну побудову.

За умовою AC⊥BD, AC=6 см, BD = 8 см, AD- нижня основа, ВС-верхнє. Проведемо СЕ параллельно ВD. Продовжимо сторону АD до перетину з СE в точці E.
Трикутник АСE - прямокутний
АС=6, СК=ВD=8.
За теоремою Піфагора:
АE= √(AC² + CE²)=√(64+36)=√100=10
АE=АD+DE=АD+ВС=10 сума основ.
Середня лінія дорівнює півсумі основ трапеції
m=AE/2=5 см.
Відповідь: 5 см.

Приклад 2. Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні. Знайдіть площу трапеції, якщо її висота 7 см.
Розв'язування: За 3 властивістю, півсума основ рівнобічної трапеції рівна висоті
(a+b)/2=h=7 см.
Обчислюємо площу
S=h*(a+b)/2=h^2=7^2=49 см².
Відповідь: 49 см².

Приклад 3. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні і дорівнюють 12 і 16 см.Знайти висоту трапеції.
Розв'язування: Використаємо рисунок 1 задачі. Така добудова використовується доволі часто, тому запам'ятайте, що вона дає в обчисленнях.

Нехай AC=12 см, BD=16 см.
BD||CE. BD=CE, ∠ACE=90⁰.

Трикутник ACE прямокутний, тому за теоремою Піфагора
AE^2=AC^2+CE^2,
AE²=12²+16²=400=20² ,
AE=20.
Висоту трапеції знайдемо з формул площі прямокутного трикутника ACE.
З однієї сторони площа рівна половині добутку катетів
S=AC*CE/2,
з іншої – половині добутку висоти на основу трикутника
S=h*AE/2.
Виводимо формулу висоти та обчислюємо
h*AE/2=AC*CE/2,
h=AC*CE/AE,
h=12*16/20=9,6 см.
Відповідь: 9,6 см.

Приклад 4. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні, одна з них дорівнює 48 см, а середня лінія трапеції- 25 см. Знайдіть висоту трапеції.
Розв'язування: Використовуємо це й же малюнок і подібні міркування.

AC=48 см, m=25 см.
Площа трикутника ACE рівна півдобутку діагоналей. З іншої сторони вона рівна півдобутку основи на висоту. Оскільки середня лінія трапеції ABCD одночасно рівна середній лінії трикутника ACE, то основа трикутника рівна подвоєній середній лінії (BD||CE, DE=BC).
За теоремою Піфагора знаходимо другу діагональ трапеції
AE=2m=2*25=50 см
CE=√(AE²-AC²) =√(50²-48²)=√196=14 см.
В попередній задачі вивели формулу, згідно з якої висота рівна відношенню добутку діагоналей до подвоєної середньої лінії
h=AC*CE/AE=48*14/50=13,44 см.
Відповідь: 13,44 см.

Приклад 5. Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні і дорівнюють 5 і 12 см. Знайти висоту трапеції та площу.
Розв'язування: Допоміжну побудову до трапеції запамятайте, адже на ній обчислюють багато завдань.

AC=5, BD=12. BD||CE, BD=CE.
За теоремою піфагора обчислюємо гіпотенузу трикутника ACE
АE= √(AC² + CE²)=√(5^2+12^2)=√(25+144)=√169=13.
Далі знаходимо висоту трапеції за формулою
h=AC*CE/AE=5*12/13=60/13≈4,6 см.
Середня лінія трапеції рівна половині АE, оскільки DE=BC.
Обчислюємо площу трапеції
S_ABCD=m*h=h*AE/2=60/13*13/2=30 см².
Відповідь: 4,6 см, 30 см².

Приклад 6. У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута. Одна з основ на 6 см більша за другу. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо його периметр рівний 74.
Розв'язування: Нехай AC - бісектриса кута ∠A. Позначимо BC=x, тоді більша основа
AD=x+6.

За означенням бісектриси ∠BAC=∠CAD, BC||AD, AC- січна, тому ∠BCA=∠CAD. Оскільки гострі кути в трикутнику ABC рівні, то він рівнобедрений. Звідси AB=BC=CD=x.
Складаємо рівняння на периметр
P_ABCD=x+x+x+x+6=74
4x=74-6=68,
x=68/4=17.
AD=x+6=17+6=23 см.
Далі знаходимо середню лініютрапеції
m=(BC+AD)/2=(17+23)/2=20 см.
Відповідь: 20 см.

Приклад 7. Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, а середня лінія 9 см . Знайти площу трапеції
Розв'язування: У рівнобічної трапеції висота рівна середній лінії (див. властивість 2), тому площа трапеції рівна
S=m^2=9^2=81 см².
Відповідь: 81 см².

Якщо маєте повчальні задачі на трапеції, які допоможуть на практичних учням та стосуються теми, надсилайте їх нам. Ми їх добавимо до наведених прикладів.

Пам'ятайте, що ми постійно працюємо для Вашого успіху в освіті!

Розберемо відповіді до тестових прикладів на властивості трапеції. Тут маємо рівнобічну, прямокутну, загальної форми трапеції.
В завданнях потрібно знайти сторони, основи, середню лінію, площу та периметр.
На простих прикладах Ви зможете пригадати шкільну програму з геометрії за 9,10 класи.
Пояснення до задач допоможуть Вам підготуватися до ЗНО тестів з математики.
 
Пропонуємо завантажити  відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).
Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж

Зміст: В книзі наведені рекомендації щодо проходження ЗНО з математики та зразки тестових завдань.
Завдання кожної з тем розміщені в порядку зростання складності.
Рекомендуємо всім переглянуи готові відповіді до посібника, що розміщені на сайті, а також самостійно пройти теми, з якими маєте труднощі на практичних.

Тема 32. Чотирикутники

Задачі на властивості трапеції

 Приклад 32.11 Висота рівнобічної трапеції, яка проведена з вершини тупого кута, поділяє основу на відрізки завдовжки 5 см і 11 см.

Знайти периметр трапеції, якщо її висота дорівнює 12 см.

Обчислення: Далі дамо прості рекомендації як обчислювати задачі та як їх оформляти.
Всюди де це потрібно виконуйте побудову рисунків, в зошитахв клітинку чи на А4 форматі немає значення.
На малюнках позначайте сторни, кути, висоти, діагоналі - все що є задано та дає хоч якусь підказку до правильного ходу обчислень.
Після цього, як маємо рисунок перед очима можемо переходити до пояснень.
Нехай задано рівнобічну трапецію ABCD, основи паралельні AD||BC, сторони AB=CD рівні між собою, BH⊥AD, де BH=12 см – висота трапеції, опущена на сторону AD,
AH=5 см, HD=11 см, звідси AD=AH+HD=5+11=16 см.
Розглянемо прямокутний трикутник ABH (∠AHB=90) та знайдемо за формулою Піфагора гіпотенузу AB:
AB^2=AH^2+BH^2, звідси

Оскільки трапеція ABCD – рівнобічна, то відповіні сторони рівні  CD=AB=13 см.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тоді кут прямий CK⊥AD (∠CKD=90).
Розглянемо прямокутні трикутники ABH і KCD.
У них ∠BAH=∠CKD – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю), і CD=AB=13 см.
Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і KCD рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), звідси слідує AH=KD=5 см.
Тоді у рівнобічній трапеції:
HK=HD-KD=11-5=6 см, тому BC=HK=6 см.
Знайдемо периметр рівнобічної трапеції ABCD:
P=AB+BC+CD+AD=13+6+13+6=48 см.
Відповідь: 48 см – В.

Приклад 32.12 Дві менші сторони прямокутної трапеції дорівнюють a, а один з її кутів – 45⁰.
Визначити площу трапеції.

Обчислення: Наведемо рисунок прямокутної трапеції
У трапецію ABCD відомо: AD||BC, AB⊥AD, AB=BC=a – менші сторони трапеції, ∠ADC=45 (як єдиний гострий кут прямокутної трапеції).
Оскільки бічна сторона перпендикулярна до основи AB⊥AD, то AB=a – висота прямокутної трапеції.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тобто CK⊥AD (∠CKD=90).
Очевидно, що вона також рівна заданій стороні CK=AB=a.
У прямокутному трикутнику KCD (∠CKD=90, ∠CDK=45), тому ∠DCK=45 (за сумою кутів трикутника), і робимо висновок,що трикутник ΔKCD – рівнобедрений.
Тобто, CK=DK=a (тут AK=BC=a як протилежні сторони квадрата ABCK).
Звідси AD=AK+KD=a+a=2a.
Знайдемо площу прямокутної трапеції:

Цю площу можна було знайти в легший спосіб, розписавши як суму площ квадрата S[ABCK]=a^2 і прямокутного трикутника S[kcd]=a^2/2

Відповідь: 3/2•a^2 – Д.

Приклад 32.15 Точка O, яка є перетином діагоналей трапеції ABCD (AD||BC), ділить діагональ AC на відрізки AO=8 см і AC=4 см.
Знайти основу BC, якщо AD=14 см.

Обчислення: Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, AD=14 см, AC=4 см, AO=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O.

Розглянемо трикутники AOD і COB.
В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.
∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.
Звідси слідує, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).
З цього слідує, що їх відповідні сторони пропорційні, тобто

звідси

Отже, BC=7 см – основа трапеції.
Відповідь: 7 см – В.

Приклад 32.16 Менша основа трапеції дорівнює 20 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 і 6 см.
Знайдіть площу трапеції.

Обчислення: До умови задано рисунок, який має вигляд 
Для трапеції записуємо все що на момент прочитання умови відомо:
 AD||BC, BC=20 см, MO=5 см, ON=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O, MO та ON – відстані від точки O до основ трапеції BC і AD, відповідно (тобто MO⊥BC, ON⊥AD).
Розглянемо трикутники AOD і COB. В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.
∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠ CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.
Звідси робимо висновок, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).
З цього слідує, що їх відповідні сторони (а значить і висоти MO та ON цих трикутників) пропорційні, тобто

звідси

Оскільки MO⊥BC, ON⊥AD, то MN⊥AD (або MN⊥BC), звідси слідує, що MN – висота трапеції (тобто точки M, O і N лежать на одній прямій).
Отже, MN=MO+ON=5+6=11 см.
Знайдемо площу трапеції:

Відповідь: 242 см² – Г.

Приклад 32.17 Відстань між серединами діагоналей трапеції дорівнює 7 см, а менша її основа – 6 см. Знайти середню лінію трапеції.

Обчислення: Наведемо позначення основ та сторін в трапеції AD||BC, BC=6 см, KL=7 см, де AC і BD – діагоналі трапеції, які перетинаються в точці O, KL – відстань між серединами діагоналей.

Оскільки KL сполучає середини діагоналей трапеції, то KL є частиною відрізка MN, що з'єднує середини бічних сторін трапеції, тому MN– середня лінія трапеції (це твердження доводиться на основі подібності трикутників:
ΔABC~ΔAMK і ΔDBC~ΔDLN за трьома кутами).
Розглянемо трикутник ABC.
Відрізок MK з'єднує середини сторін AB і AC.
Тому MK – середня лінія трикутника і за властивістю:
MK||BC, а також MK=BC/2=6/2=3 см.
Розглянемо трикутник DBC.
Відрізок LN з'єднує середини сторін BD і CD.
Тому LN – середня лінія трикутника і за властивістю:
LN||BC, а також LN=BC/2=3 см.
Отож, обчислимо середню лінію MN трапеції ABCD
MN=MK+KL+LN=3+7+3=13 см.
Відповідь: 13 см – Д.

Приклад 32.19 Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні. Знайти площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 8 см і 20 см.

Обчислення: Введемо наступні позначення в рівнобічній трапеції ABCD, AD||BC, BC=8 см, AD=20 см, AB=CD, AC⊥BD, де AC, BD – діагоналі рівнобічної трапеції.

Оскільки у рівнобічній трапеції діагоналі перетинаються під прямим кутом AC⊥BD, то висота BH трапеції (BH⊥AD) дорівнює середній лінії трапеції, тобто півсумі її основ:
BH=(BC+AD)/2 (це твердження потребує доведення!!!).
Знаходимо висоту трапеції BH=(8+20)/2=14 см.
За висотою обчислюємо площу трапеції:

Відповідь: 196 см² – А.

Приклад 32.22 Діагональ трапеції поділяє її на два подібні трикутники. Знайти цю діагональ, якщо основи трапеції дорівнюють 50 см і 72 см.

Обчислення: Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, BC=50 см, AD=72 см, AC – діагональ трапеції, яка розбиває її на подібні трикутники ABC і CDA (за умовою).

За ознакою подібності у трикутників ABC і CDA відповідні кути рівні:
∠ACB=∠CAD (як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC);
∠BAC=∠ADC, ∠ABC=∠ACD.
На основі теореми синусів запишемо рівність для визначення діагоналі AC:
Для трикутника ΔABC складаємо пропорцію 
(*).
У трикутнику ΔABC маємо

Однак маємо два рівні кути ∠BAC=∠ADC і ∠ABC=∠ACD, тому формули вище перепишемо до вигляду
(**).
Прирівняємо вирази (*) і (**) і знайдемо діагональ AC:

звідси AC^2=3600, AC=60 см.
Відповідь: 60 см – Д.

Приклад 32.28 У рівнобічних трапеціях діагональ є бісектрисою гострого кута й утворює з більшою основою кут 30.
Установити відповідність між довжинами більших основ (1–4) та периметрами трапецій (А–Д).
1. 4 см
2. 8 см
3. 24 см
4. 12 см

А. 20 см
Б. 60 см
В. 10 см
Г. 30 см
Д. 50 см.
Обчислення: Умова задачі збігається з умовою задачі 32.23 (дивись її розв'язок).
Знайдемо периметри трапецій в залежності від значень більшої основи AD:
1)
звідси AB=BC=CD=2 см і AD=4 см.
P=AB++BC+CD+AD=3·2+4=10 см. – В
2)
звідси AB=BC=CD=4 см і AD=8 см.
P= 3·4+8=20 см. – А.
3)
звідси AB=BC=CD=12 см і AD=24 см.
P= 3·12+24=60 см. 3 – Б.
4)
звідси AB=BC=CD=6 см і AD=12 см.
P= 3·6+12=30 см. 4 – Г.

Приклад 32.23 У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й утворює з більшою основою кут 300. Знайти периметр трапеції, якщо більша основа дорівнює 8 см.

Обчислення: Нехай маємо рівнобічну трапецію ABCD, AD||BC, AD=8 см, AB=CD, ∠CAD=30, де AC – діагональ (і бісектриса ∠A) рівнобічної трапеції, тому ∠BAC=∠CAD=30.

Зразу можемо знайти повні кути при основі ∠A=∠D=∠BAC+∠CAD=30+30=60 оскільки у рівнобічної трапеції кути при основі рівні.
∠BCA=∠CAD=30 (як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD, BC).
Звідси ∠BCA=∠BAC=30, тому трикутник ABC – рівнобедрений з основою AC і AB=BC – бічні сторони ΔABC.
Отже, можемо записати рівність трьох сторін AB=BC=CD, оскільки трапеція рівнобедрена (за умовою).
Розглянемо трикутник ACD, у якого AD=8 см, ∠CAD=30 і ∠D=60.
За теоремою про суму кутів трикутника знайдемо ∠CAD:

Отже, трикутник ACD – прямокутний з катетами AC і CD.
За означенням синуса гострого ∠CAD знайдемо катет CD:

Отже, маємо AB=BC=CD=4 см і AD=8 cм
Знайдемо периметр трапеції:
P=3•4+8=20 см.
Відповідь: 20 см – Г.

 На цьому завдання на чотирикутники розв'язані, умови не можна віднести до простих, але саме на таких задачах Ви найшвидше вчитеся.
Гарних Вам результатів на іспитах та при вступі у ВУЗи!

Вас може зацікавити:
1. Площа рівнобічної трапеції
2. Обчислення площі трапеції
3. Формули площі трапеції
4. Площа трикутника. Формули

Задача 1. Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 16 см і 30 см, а бічні сторони − 13 см і 15 см.
Розв'язування:Будуємо рисунок трапеції, позначаємо сторони, а далі за формулою Герона знаходимо площу трапеції.

Задача 2. Точка перетину бісектрис гострих кутів при основі трапеції належить іншій основі. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють 17 см і 25 см, а висота − 15 см.
Розв'язування:Тут важливо зауважити, що маємо не точки, а точка (однина). Тобто дві бісектриси перетинаються в одній точці. Наведемо рисунок до задачі і міркування, які допоможуть визначити сторони трапеції та знати площу.

Задача 3. Більша діагональ прямокутної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки 15 см і 9 см, а бічна сторона дорівнює її меншій основі. Знайдіть площу трапеції.
Розв'язування:Побудуємо прямокутну трапецію за умовами задачі. та наведемо міркування для знаходження площі трапеції.
Уважно перегляньте як з пропорцій сторін трапеції знаходимо її площу.

Задача 4. У трапеції ABCD діагоналі AC і BD перпендикулярні. Знайдіть площу цієї трапеції, якщо AC=12 см, а середня лінія трапеції дорівнює 10 см.
Розв'язування:Наведемо рисунок трапеції з перпендикулярними дагоналями.
Далі з певних закономірностей, що описані далі знайдемо сторони та площу трапеції.

Задача 5. Довжина кола, вписаного у прямокутну трапецію, дорвнює 24π см. Обчислити площу трапеції, якщо нижня її основа на 10 см довша за її верхню основу.
Розв'язування:Побудуємо трапецію за умовою. Легко здогадатися, що діаметр кола рівний висоті трапеції. Решта міркувань для обчислення площі прямокутної трапеції наведено нижче.

Якщо хочете допомогти в розвитку сайту то просимо надсилати цікаві задачі та, в такий спосіб, покращувати наявну бібліотеку готових задач!

Якщо відомі діагоналі трапеції та кут між ними, або їх можна визначити то площу трапеції обчислюють як півдобуток діагоналей трапеції на синус кута між ними
S=d₁*d₂*sin(alpha); S=d₁*d₂*sin(beta).

Окрім наведених, ще є формули Герона для площі трапеції коли відомі всі 4 сторони трапеції; основа трапеції, сторона та кут між ними; для рівнобічних трапецій радіус вписаного кола і інші формули. Далі розглянемо завдання ЗНО тестів на знаходження площі трапеції.

Обчислення площі трапеції. ЗНО відповіді

Подібні завдання Вам можливо доводилося розв'язувати в 8, 9 чи 10 класі, але пригадати формули та властивості трапеції краще всього на готових розв'язках, а їх тут багато.

Приклад 32.37 Основи трапеції дорівнюють 10 і 24, а бічні сторони – 15 і 13. Знайти площу трапеції.
Розв'язування: Нехай заданомо трапецію ABCD (AD||BC), у якої BC=10 і AD=24 - основи; AB=15 і CD=13 - бічні сторони (за умовою). Проведемо висоти BK і CM до сторони AD (BK⊥AD, CM⊥AD, BK=CM). Рисунок трапеції до умови наведено нижче

Це завдання можна розв'язати двома способами, подумайте про другий варіант.
Позначимо: AK=x, тоді MK=BC=10 і MD=14-x
(тут AD=AK+MK+MD=x+10+(14-x)=24).
У прямокутному трикутнику ΔABK (∠K=90) за теоремою Піфагора запишемо висоту через гіпотенузу AB та частину основи трапеції:
BK^2=AB^2-AK^2=15^2-x^2=225-x^2.
Аналогічні формули за теоремою Піфагора отримаємо для прямокутного трикутника ΔCDM (∠M=90):
CM^2=CD^2-MD^2=13^2-(14-x)^2=-27+28x-x^2.
Оскільки висоти трапеції рівні між собою BK=CM (тобто BK^2=CM^2), то можемо записати рівняння
225-x^2=-27+28x-x^2,
28x+x^2-x^2=225+27,
28x=252,
x=9.
Отже, AK=9 і MD=5. Тоді обчислимо висоту трапеції:
.
Обчислимо площу трапеції через добуток півсуми основ на висоту:

Відповідь: 204.

Приклад 32.38 У прямокутному трикутнику ABC точка M є серединою гіпотенузи AB, довжина якої дорівнює 26 см. Точка O віддалена від вершин B і C на 15 см, а від сторони BC - на 10√2см. З точки O на катет BC опущено перпендикуляр OK, точка K належить відрізку OM. Довести, що чотирикутник KMAC є трапецією. Визначити площу трапеції KMAC.
Розв'язування: Щоб краще уявити, що задано і що потрібно знайти в геометричних задачах старайтеся виконувати рисунки до умови. Побудуємо трикутник та задану точку

У прямокутному трикутнику ABC (∠ACB=90) відомі AB=26 см – гіпотенуза, AC і BC - катети. А також AM=BM=AB:2=26:2=13 см (за умовою).
Розглянемо рівнобедрений трикутник ΔBOC, у якого OB=0C=15 см - бічні сторони (відстань від точки O до вершин B і C), OK=10√2 см - висота, що проведена до основи BC (OK⊥BC) - відстань від точки O до сторони BC. Тоді відрізок OK - є медіаною і бісектрисою, тому BK=CK. У прямокутному трикутнику ΔKOC (∠K=90) за теоремою Піфагора знайдемо катет CK:

Звідси слідує, що BK=CK=5 см і BC=2•CK=2•5=10 см.
Оскільки точка M - середина сторони AB, точка K - середина сторони BC, то відрізок MK - середня лінія ΔABC, тому за властивістю: MK||AB і чотирикутник KMAC - трапеція, що і треба було довести.
У прямокутному ΔABC (∠ACB=90) за теоремою Піфагора знайдемо катет AC:
см.
За властивістю середньої лінії трикутника ΔABC маємо:
MK=AC:2=24:2=12 (см).
У трапеції KMAC отримали: AC=24 см, MK=12 см - основи, а CK=5 см - висота.
Знайдемо площу трапеції KMAC за формулою:

Відповідь: 90.
Уважно перечитайте пояснення до задачі, такі приклади часто зустрічаються на ЗНО тестах.

Приклад 32.39 Основи трапеції дорівнюють 5 і 15, а діагоналі – 12 і 16. Знайти площу трапеції.
Розв'язування: Нехай маємо трапецію ABCD (AD||BC), у якої BC=5 і AD=15 - основи;
AC=16 і BD=12 - діагоналі (за умовою), які перетинаються в точці O. Проведемо висоту MK до сторін AD і BC (MK⊥AD, MK⊥BC).

Розглянемо ΔCOB і ΔAOD, у яких кути при вершині O рівні як вертикальні, а також ∠OBC=∠ODA і ∠OCB=∠OAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC, AD і січних AC, BD, відповідно. Звідси слідує, що ΔCOB і ΔAOD подібні, тому їх відповідні сторони пропорційні. Отже, - для діагоналі AC маємо:

отримали AO=3CO і
AC=AO+CO=3CO+CO=4C0=16,
звідси CO=16:4=4 і AO=12;
- для діагоналі BD маємо:

отримали DO=3BO і
BD=BO+DO=BO+3BO=4BO=12,
звідси B0=12:4=3 і DO=9.
За теоремою Піфагора встановлюємо, що трикутники ΔCOB і ΔAOD - прямокутні, з прямим кутом при вершині O:
- для ΔCOB маємо:
BC^2=BO^2+CO^2, 5^2=3^2+4^2 - рівність виконується;
- для ΔAOD маємо:
AD^2=AO^2+DO^2, 15^2=12^2+9^2 - рівність виконується.
У прямокутному трикутнику ΔCOB, із формул площі складемо рівняння, з якого знайдемо висоту KO:

Аналогічним чином для прямокутного трикутника ΔAOD через площу знайдемо висоту MO:

Звідси, MK=KO+MO=2,4+7,2=9,6 - довжина висоти трапеції ABCD.
Обчислюємо площу трапеції як добуток півсуми основ на висоту:

Відповідь: 96.

Приклад 32.41 Площі трикутників, утворених основами трапеції та відрізками діагоналей дорівнюють S1 і S2. Визначити площу трапеції й обчислити її значення, якщо S1=4, S2=1.
Розв'язування: Нехай маємо трапецію ABCD (AD||BC), діагоналі AC, BD якої перетинаються в точці O і утворюють трикутники AOD і BOC з площами S1 і S2, відповідно (за умовою). Через точку O проведемо висоту MN трапеції ABCD до основ AD і BC (MN⊥BC, MN⊥AD). Намалюємо трапеції і заштрихуємо площі трикутників з умови

Позначимо висоти трикутників: MO=h2 і NO=h1, причому MN=NO+MO=h1+h2.
Розглянемо трикутники ΔCOB і ΔAOD, у яких кути при вершині O рівні як вертикальні, а також ∠OBC=∠ODA і ∠OCB=∠OAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC, AD і січних AC, BD, відповідно. Звідси слідує, що трикутники ΔCOB і ΔAOD подібні, тому їх відповідні сторони (та інші відрізки, зокрема висоти) пропорційні, а площі відносяться як квадрати їх лінійних розмірів, див. формулу далі

З площі трикутника ΔBOC виразимо меншу основу трапеції:

Аналогічним чином з площ ΔAOD виражаємо AD:

Виведемо площу трапеції через площі трикутників:

В отриману формулу підставляємо значення S1=4, S2=1

Відповідь: 9.

Попереду Вас чекають приклади на площу рвнобічних трапецій, а також на паралелограми, ромби, просторові фігури.

Вас може зацікавити:
1. Трапеція. Знаходження площі,периметра, середньої лінії
2. Площа рівнобічної трапеції
3. Ромб. Формули площі і радіуса вписаного кола
4. Задачі на медіану, бісектрису, висоту та сторони трикутника