- 1. Метод Бернуллі для лінійних ДР 1 порядку
- (Диференціальні рівняння)
- ... і "v(x)". Спершу розділимо обидві частини рівняння на x2, а далі розпишемо за алгоритмом Ну і наостанок, не забувайте записувати відповідь в такому вигляді, в якому її шукаємо - y(x)=u(x)*v(x), а то буває, що функції знайдені правильно, а перемножити їх і записати загальний розв'язок ДР забувают ...
- Створено 23 липня 2022
- 2. Метод Бернуллі. Рівняння Бернуллі
- (Диференціальні рівняння)
- ... близькі до них функції. Приклад 4. Розв'язати ДР x^2*y^2*y'+x*y^3=a^2, де a - довільна стала. Розв'язування: Поділимо рівняння на множник при y', щоб було явно видно, що маємо диференціальне рівняння Бернуллі з показником y правій частині рівним m=-2. Застосовуємо метод Бернуллі - розв'язок ...
- Створено 23 липня 2022
- 3. Класифікація диф. р-нь першого порядку та приклади
- (Диференціальні рівняння)
- ... інтегруванні обох її частин отримаємо y=4x2/2+C=2x2+C - загальний розв'язок ДР. де C - довільна стала. Приклад 2. Знайти розв'язок ДР y'=8x Розв'язування: З вигляду р-ня робимо висновок що це найпростіше ДР першого порядку. Похідну y' замінюємо приростом функції до приросту аргументу y'=dy/dx, ...
- Створено 14 липня 2022
- 4. Нерівності з логарифмами. 11 клас
- (Математика)
- З попереднього уроку нам залишилося проаналізувати відповіді до логарифмічних нерівностей, що містять квадратичні та дробові функції. Складність обчислення дещо зростає, але основне на що слід звертати уваги ми Вам розкажемо, коментуючи готові відповіді. Правила як розв'язувати логарифмічні нерівності ...
- Створено 22 лютого 2022
- 5. Показникові рівняння. ЗНО підготовка
- (Математика)
- ... школі розв'язують шляхом їх зведення до спільної основи. Методи зведення до спільної основи базуються на властивостях показникової функції. Слід пам'ятати, що будь-яке число в 0-му степені рівне одиниці. Іноді буває важко передбачити, який з виразів слід зводити до основи іншого. Це особливо ...
- Створено 15 лютого 2022
- 6. Приклади обчислення границь. Границі в Maple
- (Границі)
- Сьогодні розберемо готові приклади на границі послідовностей та функцій, повторимо методики знаходження границь, які вивчали на попередніх уроках. Спершу покажемо, як знаходити границі в Maple. Для цього зарезервовано дві функції: Limit() – для виведення на екран формули границі; limit() – обчислює ...
- Створено 20 січня 2022
- 7. Приклади обчислення інтегралів + інтеграли в Мaple
- (Інтегрування)
- ... ускладнити обчислення, так і значно спростити їх. Тут в штучний спосіб перетворили дріб та заміною змінних звели до інтеграла дробової функції, який рівний логарифму В мат. пакеті закладений свій алгоритм, тому результат відрізняється (див. нижче) Приклад 3. int(x*exp(-x), x); Майже усі інтеграли, ...
- Створено 10 січня 2022
- 8. Як інтегрувати раціональні функції?
- (Інтегрування)
- ... Приклад 1. В дробових функціях такого виду в чисельнику додають та віднімають сталу (3), яка міститься в знаменнику. В такий спосіб можна розділити чисельник на знаменник націло та отримати найпростіший дріб, інтеграл якого рівний логарифму натуральному від модуль функції Далі так детально розписувати ...
- Створено 04 січня 2022
- 9. Приклади на другу важливу границю
- (Границі)
- ... граничним переходом. Всі деталі переходів містять формули, та й сам алгоритм зведення під правило другої важливої границі не важкий в застосуванні. Приклад 7. Уважно перегляньте цей приклад. Під коренем Вам можуть задати будь-яку безмежно малу величину (синуси, тангенси, обернені функції, які ...
- Створено 24 грудня 2021
- 10. Дотична площина та нормаль до поверхні + Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... кількох різних завдань. Приклад 1. Скласти рівняння дотичної та нормалі до поверхні z=7-(x-2)2-(y-3)2 у точці M(1;2). Розв'язання: Бачимо, що третьої кординати не задано, тому спершу обчислюємо її з рівня поверхні z0=7-(1-2)2-(2-3)2=5. Знайдемо часткові похідні функції, що задає поверхню z'x=-2(x-2) ...
- Створено 24 грудня 2021
- 11. Умовний екстремум функції
- (Функції багатьох змінних)
- Геометрична інтерпритація умовного екстремуму Нехай поверхня S - графік функції z=f(x, y). M1- точка безумовного екстремуму. Нехай ℓ-крива, що описує рівняння зв'язку φ(x, y)=0. L- відображення l на поверхню S. M0- точка умовного екстремуму. Задача полягає в знаходженні екстремуму z=f(x, ...
- Створено 23 грудня 2021
- 12. Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних в замкненій області
- (Функції багатьох змінних)
- Як знайти найбільше та найменше значення z=f(x, y) в замкненій області? Для знаходження мінімуму максимуму диференційовної функції в замкненій та обмеженій області D, потрібно: 1) знайти критичні точки, що належать області D, і обчислити значення функції у цих точках; 2) знайти найбільше та найменше ...
- Створено 21 грудня 2021
- 13. Знайти локальний екстремум функції f(x,y)
- (Функції багатьох змінних)
- Необхідна умова екстремуму. Диференційовна функція f(P) може досягати екстремуму лише в стаціонарній точці P0, тобто такій, що df(P0)=0. Звідси слідує, що точки екстремуму функції f(P) задовольняють системі рівнянь f'x[i](x1,…,xn)=0 (i=1,..,n). Достатня умова екстремуму. Функція f(P) в точці P0 має ...
- Створено 20 грудня 2021
- 14. Формули розкладу в ряд Тейлора та Маклорена
- (Функції багатьох змінних)
- ... допускає представлення у вигляді степеневого ряду Тейлора: (1) Частковий випадок при a=b=0 має назву формули Маклорена (2) Аналогічні формули мають місце і для функції більше ніж двох змінних. У випадку функцій однієї змінної ряд Маклорена з (2) спрощується до вигляду (3) Нижче наведена таблиця ...
- Створено 16 грудня 2021
- 15. Знайти напрям та величину градієнта скалярного поля в точці
- (Функції багатьох змінних)
- Нехай задана функція u=f(x;y;z) диференційовна в кожній точці області визначення D. Побудуємо вектор, проекції якого на осі координат є значення часткових похідних функції u в заданій точці M(x;y;z)Ж Цей вектор називається градієнтом функції u(x;y;z). (1) Він спрямований в сторону найбільшого ...
- Створено 16 грудня 2021
- 16. Як знайти похідну скалярного поля у точці M у напрямі вектора?
- (Функції багатьох змінних)
- Часткові похідні функції u=f(x;y;z) за змінними x, y, z виражають «швидкість змінення» функції за напрямом координатних осей. Нехай M(x;y;z) яка-небудь інша точка цієї осі, M0M - довжина відрізку. Нехай M необмежено наближається до M0. Границя називається похідною від функції f(M) за напрямом (або ...
- Створено 15 грудня 2021
- 17. Наближені обчислення за допомогою диференціалу
- (Функції багатьох змінних)
- Нехай задано диференційовну в точці (x, y, z) функцію трьох координат z=f(x, y, z). Випишемо її повний приріст: Δz=f(x+Δx, y+Δy, z+Δz)-f(x, y, z) Звідси f(x+Δx, y+Δy, z+Δz)=f(x, y, z)+Δz. (1) Запишемо приріст функції Δz через диференціали: Якщо в прирості Δz відкинуті малі величини та підставити ...
- Створено 15 грудня 2021
- 18. Похідна неявно заданої функції + Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- Нехай неперервна функція y від х задається неявним рівнянням F(x;y)=0, де F(x;y), F'x(x;y), F'y(x;y) - неперервні функції в деякій області D, що містить точку (x;y), координати якої задовольняють дане рівняння; крім цього, в цій точці F'y(x;y)≠0. Тоді похідна y від x: (1) Для відшукання часткових похід ...
- Створено 14 грудня 2021
- 19. Похідні складених функцій багатьох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- ... отримаємо складену функцію: u=f(φ(t),ψ(t),χ(t)). Нехай u має по x, y, z неперервні часткові похідні u'x, u'y, u'z і похідні за змінною t x't, y't, z't існують. Тоді справедливі формули похідної складеної функції: (1) Тепер розглянемо випадок, коли x, y, z залежать не від однієї змінної t, а від дек ...
- Створено 14 грудня 2021
- 20. Диференціали вищих порядків функцій двох змінних + приклади
- (Функції багатьох змінних)
- Повторимо формули, як обчислювати диференціали першого та другого порядку для функції двох та трьох змінних, що були наведені на попередньому уроці та перейдемо до обчислення диференціалів вищих порядків. Якщо задана диференційовна функція трьох змінних u=f(x;y;z) то повний диференціал обчислюють за ...
- Створено 14 грудня 2021
- 21. Повний диференціал функції двох, трьох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- ... існує повний диференціал: Диференціал І порядку Диференціал II порядку та старших Поклавши одну зі змінних рівною нулю отримуємо формули повних диференціалів для функції двох змінних Правила диференціювання суми, добутку, та частки функцій Якщо функції u(x,y,z), v(x,y,z) - диференційовні ...
- Створено 14 грудня 2021
- 22. Похідні вищих порядків ф-ї двох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- ... спростити вираз функції то відшукання часткової похідної І порядку стає легким. Відповідно і похідні вищих порядків легше знаходити. Приклад 5 (4.2) z=x4+x3y+x2y2+xy3+y4. Знайти частинні похідні четвертого порядку. Обчислення: У функціях подібного виду похідна вищого порядку береться лише ...
- Створено 13 грудня 2021
- 23. Часткова похідні І та ІІ порядку функції двох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- Часткова похідна першого порядку функції багатьох змінних u(x;y;z,…) обчислюється за правилами, як і звичайна похідна для функції однієї змінної. При обчисленні похідних інші змінні не залежать від тієї по якій диференціюємо, і так для кожної змінної. Частковими похідними другого порядку функції ...
- Створено 13 грудня 2021
- 24. Перетворення формули функції двох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- Сьогодні розглянемо завдання де потрібно зробити перехід від одних змінних до інших для функції двох змінних. Аглоритми, що тут розглянуті є універсальними і Ви їх повторно навчитеся застосовувати до інших подібних прикладів, що Вам задають. Приклад 1. Знайти f(1,y/x), якщо f(x,y)=2xy/(x2+y2) Розв'язування: ...
- Створено 13 грудня 2021
- 25. Поверхні рівня функції+Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- Поверхнею рівня називають такі поверхні, в кожній точці яких функція u=f(x,y,z) трьох координат (змінних) має однакове значення f(x,y,z)=C=const. На практиці визначення поверхні рівня зводиться до прирівняння функції трьох змінних до сталої, далі, якщо є можливо, вираженні однієї з координат через ...
- Створено 12 грудня 2021
- 26. Побудова графіків ліній рівня
- (Функції багатьох змінних)
- На попередньому ввідному уроці було дане означення лінії рівня, поверхні рівня, та області визначення для функції багатьох змінних (ФБЗ). Продублюємо, що таке лінії рівня та перейдемо до практичних де навчимося будувати графіки лінії рівня, зокрема в математичному пакеті Мейпл. Означення: Якщо функція ...
- Створено 11 грудня 2021
- 27. Область визначення ф-ї багатьох змінних. Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... і y, за яких визначається функція z=f(x;y), називається областю визначення, або областю існування цієї функції. Геометричне місце точок, координати яких задовольняють рівнянню z=f(x;y), називається графіком функцій двох змінних. Якщо кожній розглядуваній сукупності значень змінних x, y, z, …, u, ...
- Створено 10 грудня 2021
- 28. Приклади косинус та синус перетворення Фур'є
- (Функції багатьох змінних)
- Нехай f(x) – абсолютно інтегровна на множині дйсних чисел R , тоді інтеграл називають перетворенням Фур'є функції f(x). Інтеграл називають оберненим перетворенням Фур'є функції f(x). Функцію f(x) називається оригіналом, а F(t) її Фур'є- образом або зображенням. Функцію називають прямим косинус-перетворенням ...
- Створено 09 грудня 2021
- 29. Інтеграл та перетворення Фур'є. Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... лише за косинусами (3) Якщо функція f(x) непарна, то в інтегралі Фур'є присутній розклад лише за синусами (4) Комплексна форма інтегралу Фур'є має вигляд (5) Функцію називають перетворенням Фур'є функції f(x), а |F(α)| - амплітудним спектром. Де застосовують перетворення Фур'є?: необхідні ...
- Створено 09 грудня 2021
- 30. Сума ряду Фур'є в точці. Теорема Діріхле
- (Функції багатьох змінних)
- ... заданому інтервалі, тому потрібно обчислити усі коефіцієнти ряду Фур'є: Записуємо ряд Фур'є для функції f(x)=π+x: 2) Далі читайте уважно, оскільки наведені пояснення є алгортмом відшукання значення суми ряду в точці. А це Вам потрібно знати, оскільки функція, що задає ряд може мати розриви, ...
- Створено 09 грудня 2021
- 31. Розклад в ряд Фур'є інтегруванням. Рівність Парсеваля
- (Функції багатьох змінних)
- ... розриву. Якщо функція f(x) інтегрована разом зі своїм квадратом на (-π;π) , то виконується: рівність Парсеваля на проміжку (-π;π): нерівність Бесcеля на проміжку (-π;π): Нехай ak, bk - коефіцієнти Фур'є для функції f(x) і a'k, b'k - коефіцієнти Фур'є для функції f'(x) (похідної), тобто р ...
- Створено 09 грудня 2021
- 32. Приклади на комплексну форму ряду Фур’є на (-l;l)
- (Функції багатьох змінних)
- ... інтеграл знаходимо коефіцієнти Фур'є (l=1). При n=0 інтегруємо окремо: Розвинення в ряд Фур'є функції: Ось і вся схема розвинення в ряд функцій. На практичних Вам не будуть задавати екзотичних функцій, оскільки без мат. пакетів Ви навряд чи візьмете подібні інтеграли. Далі розберемо кілька ...
- Створено 08 грудня 2021
- 33. Комплексна форма ряду Фур’є на (-π;π). Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- Комплексна форма ряду Фур'є на проміжку (-π;π) має вигляд (1) - комплексні коефіцієнти Фур'є. n=0,±1;±2,... Комплексна форма ряду Фур'є на проміжку (-l;l) має вигляд (2) де - комплексні коефіцієнти Фур'є. n=0,±1;±2 Формула Ейлера: звідси випливає Тригонометричні функції у комплексній ...
- Створено 08 грудня 2021
- 34. Ряди Фур'є для періодичних функцій. Графік суми
- (Функції багатьох змінних)
- Сьогодні розберемо приклади на розклад в ряд Фур'є функцій, які є періодичними на проміжку[-Pi;Pi]. Це можуть бути функції як вигляду sin(kx), cos(mx), так і їх комбінація. Пригадаєм тригонометричну форму ряду Фур'є (1) a0, ak, bk - коефіцієнти Фур'є знаходять інтегруванням: (2) Перейдемо до ...
- Створено 07 грудня 2021
- 35. Як розкласти функцію в ряд Фур'є на (-π;π]?
- (Функції багатьох змінних)
- Продовжуємо розбирати готові приклади на розклад в ряд Фур'є функцій, заданих на інтервалі (-Pi;Pi). Формула ряду Фур'є (1) a0, ak, bk - коефіцієнти Фур'є знаходять інтегруванням: (2) Методика розкладу функції в ряд Фур'є Розберемо готові завдання, які підібрано зі збірник задач за ред. В. ...
- Створено 07 грудня 2021
- 36. Тригонометричний ряд Фурє на [-Pi;Pi]. Побудова графіка суми ряду
- (Функції багатьох змінних)
- Запам'ятайте формулу для розкладу в тригонометричний ряд Фур'є функції на проміжку[-Pi;Pi] (1) a0,ak,bk - коефіцієнти Фур'є: (2) З формул бачимо, що період функції рівний 2π. Теорема 1. Якщо функція f(x) парна на проміжку (-Pi;Pi), то коефіцієти Фур'є знаходять за формулою (3) Теорема 2. Якщо ...
- Створено 07 грудня 2021
- 37. Розклад в ряди Фур'є за косинусами та синусами
- (Функції багатьох змінних)
- Сьогодні розберемо готові приклади в яких функція задана на одній частині інтервалу, а потрібно продовжити на іншу частину так, щоб функція була парною або непарною. В такому випадку маємо справу з довизначенням функції, а самі розвинення в ряд Фур'є йдуть або за синусами або за косинусами. Ось чому ...
- Створено 07 грудня 2021
- 38. Приклади рядів Фурє на [-l;l]. Побудова графіків
- (Функції багатьох змінних)
- Продовжуємо аналізувати готові приклади на розклад функції в ряд Фур'є. Сьогодні крім обчислень будемо будувати суми рядів. Нагадаємо, що розклад в ряд Фур'є функції f(x) на проміжку [-l;l] має вигляд (1) де a0,ak,bk - коефіцієнти Фур'є, які обчислюють інтегруванням: (2) Теорема (ознака) Діріхле: ...
- Створено 07 грудня 2021
- 39. Коефіцієнти Фур'є для парних і непарних функцій. Приклади розкладу в ряд
- (Функції багатьох змінних)
- ... за редакцією В. П. Дубовика, І. І. Юрика. Приклад 396. Знайти розклад в ряд Фур'є функції f(x)=x на (-1;1]. Розв'язування: Повторюємо алгоритм з попереднього уроку: визначимо коефіцієнти розкладу для l=1 інтегруванням. Інтегруванням ми довели, що для непарної функції f(x) на [-l;l] коефіцієнти ...
- Створено 07 грудня 2021
- 40. Розклад функції в ряд Фур'є на проміжку [-l;l]
- (Функції багатьох змінних)
- ... кількості кусково неперервних функцій, то інтегруємо кожну з них на інтервалі де вона задана. При цьому множник перед інтегралом 1/l рівний половині проміжку на якому задана функція. Складаємо ряд Фур'є для заданої функції за формулою (1): Звикайте, що основні формули для обчислень будуть виділені ...
- Створено 07 грудня 2021
- 41. Доведення ортогональності функцій з вагою ρ(x)
- (Функції багатьох змінних)
- ... отже задані функції ортогональні. Перевіримо умову нормування Норма функцій не рівна нулю (=π/2), таким чином довели, що система функцій ортогональна на проміжку [-1;1] з вагою ρ(x). Приклад 7. Довести, що система функцій ортогональна з вагою ρ(x)=x2, ρ(x)≥0 на проміжку [0;l]. Доведення: ...
- Створено 06 грудня 2021
- 42. Ортогональна система функцій. Приклади на доведення ортогональності
- (Функції багатьох змінних)
- ... дорівнює нулю Запам'ятайте ці 2 інтеграли, адже їх постійно будете обчислювати на практиці для доведення ортогональності функцій. Перший інтеграл повинен бути рівний нулю і він показує, що функції (вектори в просторі функцій) ортогональні, якщо скалярний добуток рівний нулю. Норма функцій не ...
- Створено 06 грудня 2021
- 43. Інтегральна ознака Коші+Приклади
- (Ряди)
- ... Розв'язування: Члени ряду по характеру збіжності можна порівняти з гармонійним рядом і довести, що він розбіжний. Але так як мета уроку, навчити Вас застосовувати інтегральну ознаку Коші, то переходимо до інтегрування відповідної ряду функції: Інтеграл рівний безмежності, що є признаком розбіжності ...
- Створено 24 липня 2021
- 44. Радикальна ознака Коші +Приклади
- (Ряди)
- ... або розбіжність числового ряду. А тепер перейдемо то аналізу готових відповідей з розрахункових та екзаменаційних робіт. Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд Розв'язування: Маємо додатний ряд, причому він має вигляд функції від n в степені функції від n. Це важливо, тому що тільки в такому випадку ...
- Створено 23 липня 2021
- 45. Дослідити на збіжність ряд. Приклади
- (Ряди)
- ... чи знаменнику є степеневі функції або факторіали, то потрібно застосовувати ознаку Даламбера: Границя дорівнює 1/3<1, отже ряд збігається. Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд Розв'язування: Застосуємо граничну ознаку порівняння. З теорії відомо, що будь-який ряд який спадає швидше ...
- Створено 22 липня 2021
- 46. Формули похідної добутку та частки функцій + приклади
- ( Диференціювання)
- На попередньому уроці ми з Вами пройшлися по всіх головних формулах таблиці похідних, та розв'язали цікаві варіанти похідної складеної функції. Для школярів 10, 11 класів практичних завдань було більш ніж достатньо, щоб самостійно розібратися з темою та почати обчислювати важчі похідні. На сьогоднішньому ...
- Створено 27 квітня 2021
- 47. Обчислення похідних. +50 готових прикладів
- ( Диференціювання)
- Щоб добре навчитися знаходити похідну Ви повинні не стільки знати на пам'ять, скільки вміти застосовувати на практиці таблицю похідних. В першу чергу Вам необхідно запам'ятати правила виділені червоними рамками - правило суми, похідна добутку та частки функцій, як брати похідну складеної функції. ...
- Створено 27 квітня 2021
- 48. Похідна складеної функції
- ( Диференціювання)
- На попередніх уроках детально розібрали, як знаходити похідну коли вона має вигляд суми, добутку чи частки двох функцій, що відповідає правилам (3,5,6) таблиці похідних. Сьогодні навчимося знаходити похідні від функцій аргументом яких є функції від "ікс". Наприклад, щоб знайти похідну функції y=(x3+x2+3x+7)5 ...
- Створено 25 квітня 2021
- 49. Похідна добутку та частки функцій
- ( Диференціювання)
- ... функції та помножити на другу та додати похідну другої помножену на першу функцію. Позначимо за u=e2x, v=cos(6x-1) та обчислимо їх похідні: u'=(e2x)'=e2x·(2x)'=2e2x, v'=(cos(6x-1))'=-sin(6x-1)·(6x-1)'=-6·sin(6x-1). Підставляємо в формулу похідної добутку функцій y=u'·v+u·v'=2e2x·cos(6x-1)-6e2x·sin(6x-1). ...
- Створено 24 квітня 2021
- 50. Похідні функцій. Готові приклади
- ( Диференціювання)
- ... похідній складеної функції (24), а поки що ознайомтеся з формулою як її знаходити Далі на поширених з практичних прикладах навчимо Вас користуватися усіма приведеними тут формулами. Наостанок покажемо Вам, як можна знаходити похідні функцій в математичному пакеті Maple. Похідна суми, добутку та ...
- Створено 20 квітня 2021