- 1. Дотична площина та нормаль до поверхні + Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... кількох різних завдань. Приклад 1. Скласти рівняння дотичної та нормалі до поверхні z=7-(x-2)2-(y-3)2 у точці M(1;2). Розв'язання: Бачимо, що третьої кординати не задано, тому спершу обчислюємо її з рівня поверхні z0=7-(1-2)2-(2-3)2=5. Знайдемо часткові похідні функції, що задає поверхню z'x=-2(x-2) ...
- Створено 24 грудня 2021
- 2. Умовний екстремум функції
- (Функції багатьох змінних)
- ... для визначення критичних точок. Для цього обчислюємо часткові похідні лагранжіана, прирівнюємо їх до нуля. 3 рівняння системи це умова зв'язку (2) 3) Характер умовного екстремуму можна встановити за знаком диференціала другого порядку функції Лагранжа: (3) Якщо у стаціонарній (критичній) точці ...
- Створено 23 грудня 2021
- 3. Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних в замкненій області
- (Функції багатьох змінних)
- ... на кількох завданнях. Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значення функції z(x,y)=x2-y2 в крузі x2+y2≤4. Розв'язування: Знайдемо часткові похідні першого порядку заданої функції: z'x=2x, z'y=-2y. Прирівняємо до нуля отримані вирази, щоб знайти критичні точки: z'x=0, z'y=0; 2x=0, -2y=0; x=0, ...
- Створено 21 грудня 2021
- 4. Знайти локальний екстремум функції f(x,y)
- (Функції багатьох змінних)
- ... дослідження. Функція f(P), яка диференційовна в обмеженій і замкненій області, досягає своїх найбільшого і найменшого значення в цій області або в стаціонарній точці, або в граничній точці області. Точки в яких перші похідні функції рівні нулю називають стаціонарними точками Як дослідити на екстрему ...
- Створено 20 грудня 2021
- 5. Формули розкладу в ряд Тейлора та Маклорена
- (Функції багатьох змінних)
- Якщо функція f(x, y) має в деякому околі точки (a, b) неперервні всі частинні похідні до n+1 порядку включно, то в цьому околі справедлива формула Тейлора: де залишок ряду рівний Якщо функція f(x, y) нескінченно диференційовна і границя залишку прямує до нуля при великих номерах то ця функція ...
- Створено 16 грудня 2021
- 6. Знайти напрям та величину градієнта скалярного поля в точці
- (Функції багатьох змінних)
- ... вгору - вниз. Далі дотримуємось простого алгоритму: обчислюємо часткові похідні від z в точці M(3;1) Записуємо за формулою (4) напрям grad(z) поля в точці M: Щоб знайти величину |grad(z)| градієнта поля в точці застосовуємо формулу (3): Ось і вся методика розв'язування таких завдань. Приклад ...
- Створено 16 грудня 2021
- 7. Як знайти похідну скалярного поля у точці M у напрямі вектора?
- (Функції багатьох змінних)
- Часткові похідні функції u=f(x;y;z) за змінними x, y, z виражають «швидкість змінення» функції за напрямом координатних осей. Нехай M(x;y;z) яка-небудь інша точка цієї осі, M0M - довжина відрізку. Нехай M необмежено наближається до M0. Границя називається похідною від функції f(M) за напрямом (або ...
- Створено 15 грудня 2021
- 8. Наближені обчислення за допомогою диференціалу
- (Функції багатьох змінних)
- ... суми початкового значення та приростів Звідси виписуємо початкове наближення x0=1, y0=2, та дельти Δx=0,02, Δy=-0.03. Подано функцію, що наближаємо у вигляді f(x, y)=√(х3+y3) та знайдемо значення в точці (x0;y0): Знайдемо часткові похідні І порядку у точці (1;2): Обчислимо наближено ...
- Створено 15 грудня 2021
- 9. Похідна неявно заданої функції + Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... их ∂z/∂x, ∂z/∂x від функції F(x;y;z) мають місце наступні формули: (2) На попередньому уроці вчили знаходити похідні складених функцій 2, 3 змінних і таблиця похідних була потрібна. Цього разу тема дещо легша, але таблицю похідних продовжимо вивчати та застосовувати. Приклад 3.1 Знайти похі ...
- Створено 14 грудня 2021
- 10. Похідні складених функцій багатьох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- ... отримаємо складену функцію: u=f(φ(t),ψ(t),χ(t)). Нехай u має по x, y, z неперервні часткові похідні u'x, u'y, u'z і похідні за змінною t x't, y't, z't існують. Тоді справедливі формули похідної складеної функції: (1) Тепер розглянемо випадок, коли x, y, z залежать не від однієї змінної t, а від дек ...
- Створено 14 грудня 2021
- 11. Диференціали вищих порядків функцій двох змінних + приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... формулами: Диференціал І порядку (1) Диференціал II порядку та старших (2) Як знайти частинні похідні вчили на попередніх уроках і продовжимо тут, це всього навсього звичайні похідні за конкретними змінними, при цьому решту змінних в функції вважаємо незалежними від тієї, по якій обчислюємо похідну. ...
- Створено 14 грудня 2021
- 12. Повний диференціал функції двох, трьох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- ... Приклад 1.4 Знайти диференціали першого та другого порядку функції трьох змінних u=z/(x2+y2). Обчислення: Диференціал І порядку: Частинні похідні можна перевіряти в математичних пакетах, зокрема в Мейплі код для похідних за змінними має вигляд: u := z/(x^2+y^2); d_x := diff(u, x); d_y := ...
- Створено 14 грудня 2021
- 13. Похідні вищих порядків ф-ї двох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- ... і т. д. На практиці рідко просять знайти похідні вище 5 порядку, виняток становлять завдання з експонентами та тригонометричними ф-ми, де легко вловити закономірність обчислення похідних. Почнемо з простіших завдань, які не увійшли до попереднього уроку, а далі важчі. Приклад 1. Знайти частинні ...
- Створено 13 грудня 2021
- 14. Часткова похідні І та ІІ порядку функції двох змінних
- (Функції багатьох змінних)
- ... двох змінних u(x;y) називається їх часткові похідні від часткових похідних першого порядку. Позначення других часткових похідних: Для функції трьох змінних до цих формул добавиться друга похідна по z та дві мішані похідні по xz та yz. Аналогічно визначаються похідні вищих порядків, наприклад ...
- Створено 13 грудня 2021
- 15. Область визначення ф-ї багатьох змінних. Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... границі та похідні функцій багатьох змінних. ...
- Створено 10 грудня 2021
- 16. Формули похідної добутку та частки функцій + приклади
- ( Диференціювання)
- На попередньому уроці ми з Вами пройшлися по всіх головних формулах таблиці похідних, та розв'язали цікаві варіанти похідної складеної функції. Для школярів 10, 11 класів практичних завдань було більш ніж достатньо, щоб самостійно розібратися з темою та почати обчислювати важчі похідні. На сьогоднішньому ...
- Створено 27 квітня 2021
- 17. Обчислення похідних. +50 готових прикладів
- ( Диференціювання)
- ... Далі йдуть розв'язки завдань на похідні погруповані в блоки по 10 прикладів, не найпростіші з тих, що Вам доводилося бачити онлайн. Проте, на нашу думку, вони навчать Вас швидко користуватися таблицею похідних та будуть добрим довідником при розв'язуванні практичних в 11 класах та далі у ВУЗ-ах. Кому ...
- Створено 27 квітня 2021
- 18. Похідна складеної функції
- ( Диференціювання)
- На попередніх уроках детально розібрали, як знаходити похідну коли вона має вигляд суми, добутку чи частки двох функцій, що відповідає правилам (3,5,6) таблиці похідних. Сьогодні навчимося знаходити похідні від функцій аргументом яких є функції від "ікс". Наприклад, щоб знайти похідну функції y=(x3+x2+3x+7)5 ...
- Створено 25 квітня 2021
- 19. Похідна добутку та частки функцій
- ( Диференціювання)
- Спершу розглянемо похідні добутку функцій. Хто вже вивчив правило добутку (u·v)', можете пропустити першу частину та одразу перейти за посиланням до прикладів похідної від частки функцій. По можливості майте таблицю похідних під рукою при вивченні теми диференціювання функцій та знаходженні похідних. ...
- Створено 24 квітня 2021
- 20. Похідні функцій. Готові приклади
- ( Диференціювання)
- Розв'язування прикладів на похідні не обходиться без таблиці похідних. Її завжди слід мати видрукованою під рукою і користуватися при обчисленнях як шпаргалкою. Голова не смітник, і всього що вчать не запам'ятати, а от вміти користуватися формулами та правильно знаходити похідні може навчитися кожен ...
- Створено 20 квітня 2021
- 21. Розв'язок диференціальних рівнянь в Мейпл
- (Диференціальні рівняння)
- ... про синтаксис команд Maple для розв'язування ДР. Перш за все ви повинні запам'ятати, що y'=dy/dх та похідні за параметром і .т.д. в мейплі вводяться командою: diff(y(x),x), diff(y(t),t). Нехай потрібно обчислити ДР виду y'=3e^(-x). для цього спершу його вводимо як рівняння eq1:=diff(y(x),x)=3*exp(-x). ...
- Створено 16 квітня 2021
- 22. Знайти умовний екстремум функції. Метод Лагранжа
- (Функції)
- ... Розв'язання: Випишемо функцію Лагранжа L(x,y,λ)= 1/x+1/y + λ (x+y-2). Знайдемо частинні похідні І порядку функції L(x,y,λ): На основі обчислених частинних похідних складаємо систему рівнянь (3) для визначення стаціонарної точки та множника Лагранжа. Третє рівняння це умова зв'язку x+y=2: Після ...
- Створено 01 травня 2020
- 23. Умовний екстремум функції z=f(x,y). Метод виключення змінних
- (Функції)
- ... Розв'язання: Складемо функцію Лагранжа L(x,y,λ)= x2+y2-xy+x+y-4+ λ (x+y+3). Це не важко зробити, якщо поглянути, що нам задано в умові. Знайдемо частинні похідні І порядку функції L(x,y,λ) за аргументами x,y: Частинні похідні функції Лагранжа потрібні для побудови системи трьох лінійних алгебраїчних ...
- Створено 01 травня 2020
- 24. Метод логарифмування. Правило Лопіталя
- (Границі)
- ... доки не отримаємо частку, яку можна обчислити підстановкою Приклад 22 В чисельнику маємо x^2, в знаменнику 2^x. Розв'язування: Оскільки аргумент прямує до безмежності, то пряма підстановка дає особливість виду ∞/∞. ЇЇ розкриваємо двічі беручи похідні чисельника та знаменника по "x". Прик ...
- Створено 04 січня 2020
- 25. Знаходження рівняння прямої регресії Y на X методом найменших квадратів
- ( Випадкові величини)
- ... у прирівняємо до нуля відповідні частинні похідні по ρ та b. Враховуючи, що ρ та b константи, перепишемо систему рівнянь у вигляді (7) Звідси маємо формули для обчислення коефіцієнтів рівняння прямої регресії І саме рівняння прямої регресії y= ρ•x+b (11) На практиці, як правило, обчислюю ...
- Створено 17 грудня 2019
- 26. Дивергенція та ротор векторного поля в точці
- ( Диференціювання)
- ... самостійно не буде складним. Приклад 1 Знайти дивергенцію поля a=(x•sin(x),z•ln(y),y•ez) в точці M(π,1,0). Розв'язання: Все що записано в поясненнях є інструкцією,що та після чого потрібно робити, щоб отримати правильну відповідь. Першим пунктом необхідно знайти часткові похідні першого порядку ...
- Створено 27 грудня 2018
- 27. Модуль та напрям градієнта. Кум між градієнтами
- ( Диференціювання)
- ... як покрокову шпаргалку. Першим ділом знайдемо часткові похідні функції u: Градієнт поля u=sin(x)+cos(y)+z-7 знайдемо за формулою: Модуль градієнта поля u обчислюємо через корінь квадратний від квадратів проекцій градієнта на координатні осі: Знаходимо напрям градієнта (косинуси) поля u: ...
- Створено 26 грудня 2018
- 28. Похідна функції за напрямом. Градієнт поля в точці
- ( Диференціювання)
- ... похідні першого порядку заданої функції в точці M(3,1): Обчислимо похідну функції в точці M(3,1) у напрямку p=(3,4) за формулою: Ось і вся мудрість знаходження похідної функції за напрямом на площині. В просторі всі формули масштабуються за рахунок третьої координати, але обчислення один в ...
- Створено 26 грудня 2018
- 29. Формула Гаусса-Остроградського. Перетворення поверхневого до потрійного інтегралу
- (Інтегрування)
- ... інтегралу - часткові похідні функції. Тоді повторно обчислюємо похідні, щоб отримати напрямні косинуси в напрямку кожної з осей Можемо перейти від подвійного інтегралу до потрійного тут позначили Δu - дельта оператор Лапласа На цьому всі пояснення до першого прикладу. Приклад 2 ...
- Створено 26 грудня 2018
- 30. Формулу Стокса. Криволінійний інтеграл ІІ роду
- (Інтегрування)
- ... по алгоритму обчислення інтегралу, щоб Ви бачили, що за чим потрібно робити. Спершу потрібно знайти диференціал ds і напрямні косинуси поверхні, яку обмежує крива: з рівняння сфери x2+y2+z2=a2 виражаємо z(x,y) (перед коренем знак «+»). Обчислюємо часткові похідні та підставляємо в формулу диференціала ...
- Створено 25 грудня 2018
- 31. Поверхневий інтеграл другого роду. Напрямні косинуси
- (Інтегрування)
- ... , R=R(x, y, z)=z. Теорію тут давати не будемо, лише практика. З канонічного рівняння сфери x2+y2+z2=a2 виразимо координату z як функцію z(x,y) (перед коренем беремо знак «+», оскільки розглядаємо верхню півсферу). Далі знайдемо часткові похідні першого порядку z(x,y) за змінними x,y: - часткові ...
- Створено 25 грудня 2018
- 32. Поверхневі інтеграли першого роду. Готові відповіді
- (Інтегрування)
- ... інтеграла. Наостанок, саме інтегрування Поверхня №4: x+y+z=1. На поверхні рівняння можемо переписати z=1-x-y, тому часткові похідні за двома іншими координатами від'ємні zx'=-1, zy'=-1. Диференціал обчислюємо за формулою Межі 4 грані: 0≤x≤1, 0≤y≤1-x. Обчислюємо ще один поверхневий інтеграл ...
- Створено 25 грудня 2018
- 33. Формула Гріна. Перехід від криволінійного інтегралу до подвійного
- (Інтегрування)
- ... визначення точок перетину прямих та розділення області інтегрування на підобласті. Трикутник в декартовій площині має вигляд Запишемо підінтегральний вираз: (x+y)2dx-(x2+y2)dy. Тут позначимо P=P(x,y)= (x+y)2, Q=Q(x,y)=-(x2+y2). Знайдемо часткові похідні першого порядку функцій P, Q: та ...
- Створено 23 грудня 2018
- 34. Обчислення інтегралу ІІ роду між двома точками в просторі
- (Інтегрування)
- ... двомірний випадок. Виписуємо підінтегральний вираз: Тут P(x,y) і Q(x,y) рівні Знайдемо часткові похідні першого порядку функцій P(x,y), Q(x,y): Бачимо, що часткові похідні рівні , звідси слідує, що підінтегральний вираз є повним диференціалом. В окремих випадках перевірку на повний диференціал ...
- Створено 23 грудня 2018
- 35. Як знайти функцію за її повним диференціалом?
- (Інтегрування)
- ... функції u за змінною y, Q(x,y) часткова похідна функції u за змінною x. Для її використання необхідно лише переконатися, що часткові похідні P(x,y), Q(x,y) рівні між собою Криволінійний інтеграл 2 роду (1) спрощується,якщо контур інтегрування від точки M0(x0,y0) до M(x,y) по прямій замінити ламаною, ...
- Створено 23 грудня 2018
- 36. Інтегрування повних диференціалів. Криволінійний інтеграл
- (Інтегрування)
- ... int[(x+y)dx+(x-y)dy] Розв'язання: Підінтегральні функції є первісними для повного диференціала (x+y)dx+(x-y)dy. Випишемо P=P(x,y)=x+y, Q=Q(x,y)=x-y та знайдемо часткові похідні першого порядку функцій P(x,y) та Q(x,y): Порівнянням переконуємось, що часткові похідні рівні тому підінтегральний ...
- Створено 22 грудня 2018
- 37. Довжина дуги просторової кривої
- (Інтегрування)
- ... частинами. Частину методів далі застосуємо для розв'язання завдань. Приклад 1 Знайти довжину дуги просторової кривої: x=3t, y=3t2, z=2t3, від точки O(0,0,0) до точки A(3,3,2). Розв'язання: Знайдемо похідні по змінній t від заданих функцій x=x(t), y=y(t) і z=z(t): x'=3, y'=6t, z'=6t2. Похідні ...
- Створено 22 грудня 2018
- 38. Інтеграл першого роду по дузі кола, гіперболи, астроїди, ланцюгової лінії
- (Інтегрування)
- ... з колом Перейдемо до полярної системи координат за допомогою формул переходу: (1) де 0≤φ≤2π. Заміна змінних тут потрібна для пришвидшення розрахунку диференціалу дуги та інтегралу. Знайдемо похідні за кутом φ функцій x=x(φ ) і y=y(φ): Обчислимо ...
- Створено 22 грудня 2018
- 39. Криволінійний інтеграл I роду для кривих в полярних координатах
- (Інтегрування)
- ... Запишемо похідні заданих функцій: Обчислимо криволінійний інтеграл І роду вздовж наведеної нижче астроїди Знайдемо диференціал астроїди за формулою: . Перетворимо підінтегральну функцію: . Межі інтегрування належать інтервалу: π/2≤φ≤π. Виконуємо інтегрування При інтегруванні довелось ...
- Створено 19 грудня 2018
- 40. Обчислення криволінійного інтегралу I роду для плоских кривих
- (Інтегрування)
- ... якого контуру інтегруємо, зобразимо лінії, що сполучають задані точки Запишемо рівняння всіх сторін квадрата та їх похідні: AB: -x+y=1, звідси y=1+x, тоді y'=1; BC: x+y=1, звідси y=1-x, тоді y'=-1; CD: x-y=1, звідси y=x-1, тоді y'=1; AD: -x-y=1, звідси y=-x-1, тоді y'=-1. Похідні необхідні ...
- Створено 19 грудня 2018
- 41. Диференціальні рівняння. Практикум
- (Диференціальні рівняння)
- ... похідні функції Для визначення сталої А функцію та її похідні підставляємо в диф. рівняння Загальний розв'язок ДР є сумою розв'язку однорідного та частинного р-ку неоднорідного ДР Завдання 5 Методом невизначених коефіцієнтів знайти загальний розв'язок лінійного неоднорідного різницевого ...
- Створено 01 березня 2017
- 42. Як знайти щільність розподілу випадкової величини?
- ( Випадкові величини)
- ... q3:=plot(1,x=26..28,color=blue,thickness=3): > display(q1,q2,q3); Щільність розподілу на краях рівна нулю, а на середньому інтервалі похідній розподілу Графік щільності розподілу має вигляд б) Інтегруванням знаходимо математичне сподівання: Далі дисперсію: та останню ...
- Створено 01 лютого 2017
- 43. Дослідження функції на монотонність, екстремуми, побудова графіка
- (Функції)
- ... похідної. y'(-1)>0; y(0.5)<0; y'(1.5)<0; y'(3)>0. Це не так важко перевіряти, оскільки знаменник в похідній завжди додатний, а в чисельнику всьго два простих множники. Нас же цікавить не значення похідної, а лише її знак. Результати визначення інтервалів знакосталості похідної потрібні, щоб ...
- Створено 11 січня 2017
- 44. Повне дослідження функції. Побудова графіка
- (Функції)
- ... визначення та область значень; знаходити перші та другі похідні функції; розв'язувати квадратні, трансцендентні рівняння; знаходити локальні екстремуми та точки перегину на графіку функції; інтервали опуклості та вгнутості; і наостанок похилі асимптоти. Після цього ще потрібно виконати побудову заданої ...
- Створено 06 січня 2017
- 45. Функції багатьох змінних. Курсова робота 1
- (Функції)
- ... Розв'язання: Для розкладу функції в ряд Тейлора нам потрібно мати значення функції в точці та її похідні до треього порядку. Найпростіше з усього підстановою знайти значення функції в точці A(1;0) u(1;0)=1*sin(0)-2*1*0=0. Далі обчислюємо часткові похідні функції u(x;y)=x*sin(y)-2xy до третього ...
- Створено 14 жовтня 2016
- 46. Функції багатьох змінних. Курсова робота
- (Функції)
- ... менші половини "епсилон" умова виконується. Звідси, за означенням, функція u(x,y) рівномірно-неперервна на множині E. Завдання 5 Знайти часткові похідні першого і другого порядку функції u(x,y)=x*sin(y2) Розв'язання: Знаходимо часткові похідні першого порядку: Маючи перші похідні обчислюємо ...
- Створено 14 жовтня 2016
- 47. Центр поверхні другого порядку. Задачі
- (Поверхні другого порядку)
- ... центр поверхні другого порядку (ПДП), взявши часткові похідні за правмлом Для багатьох із Вас ця формула буде набагато корисніша і швидша, порівняно з виписуванням коефіцієнтів з рівняння поверхні та складання СЛАР. Система рівнянь при обчисленні часткових похідних набуде вигляду Після її зведення ...
- Створено 04 жовтня 2016
- 48. Обчислення потоку векторного поля
- (Інтегрування)
- ... осі Oz вгору і обмежений площинами z=1, z=5. Схематично це можна зобразити наступним чином В перерізі отримали 2 кола з радіусами, відповідно, R=1, R=5. В силу симетрії, чверть області V описуємо межами: Інтеграл при цьому слід множити на 4. Через часткові похідні знаходимо дивергенцію поля ...
- Створено 01 вересня 2016
- 49. Перевірити чи векторне поле F потенціальне і соленоїдне
- (Інтегрування)
- ... було потенціальним, необхідно і достатньо, щоб ротор векторного поля був рівний нулю rot(F)=0. За умовою виписуємо функції, які необхідні для подальших розрахунків P=P(x;y;z)=5x+4yz, Q=Q(x;y;z)=5y+4zx, R=R(x;y;z)=5z+4xy. Звідси ротор векторного поля через часткові похідні знаходимо за формулою ...
- Створено 30 серпня 2016
- 50. Обчислення криволінійного інтегралу ІІ роду
- (Інтегрування)
- ... арка циклоїди x=a(t-sin(t)), y=a(1-cos(t)). Розв'язання: Перша арка циклоїди знаходиться в межах tє[0;2Pi]. Похідні за параметром приймають значення dx=a*(1-cos(t))dt, dy=a*sin(t)dt. Графік циклоїди в декартових координатах має вигляд Криволінійний інтеграл ІІ роду за формулою рівний. Тут ...
- Створено 21 серпня 2016