- 1. Дотична площина та нормаль до поверхні + Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... z'y=-2(y-3) та їх значення в точці M(1;2;5) z'x(M)=-2(1-2)=2; z'y(M)=-2(2-3)=2. За формулою (3) розписуємо рівняння дотичної площини в точці z-5=2(x-1)+2(y-2); z=5+2x-2+2y-4; z=2x+2y-1. Рівняння нормалі до поверхні знайдемо за формулою (4) Щоб показати, як виглядає обчислена дотична пло ...
- Створено 24 грудня 2021
- 2. Область визначення ф-ї багатьох змінних. Приклади
- (Функції багатьох змінних)
- ... які називаються лініями рівня. Якщо значення u ми будемо відкладати по осі : z=f(x;y) то лініями рівня на площині Oxy будуть проекції ліній, які отримуються в перетині поверхні z=f(x;y) з площинами z=c (рис. 1). Визначити та зобразити області існування функцій Приклад 1. u=x+√y. Розв'язування: ...
- Створено 10 грудня 2021
- 3. Площа поверхні правильної чотирикутної призми
- (Геометрія)
- ... що проходить через діагональ основи та два ребра призми. Довжина діагоналі основи рівна CA=√(42+42)=4√2 см. Площа перерізу призми рівна добутку діагоналі основи на висоту: S=CA*H=4√2*8=32√2 см2. ІІ випадок. Площина паралельна діагоналі призми BD1, але виходить з діагоналі основи CA. Тоді перерізом ...
- Створено 30 квітня 2021
- 4. ЗНО 2019 математика. Відповіді, повні розв'язки №24-33
- (ЗНО Математика)
- ... 4) та їх взаємним розташуванням (А–Д). Розв'язування: 1. Пряма CC1 перпендикулярна до площини основи (квадрата ABCD), тому вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить у цій площині, AC⊥CC1 тобто прямі AC й CC1 перетинаються й утворюють прямий кут. В 2. Прямі AB1 і CD1 лежать у різних площинах ...
- Створено 07 листопада 2020
- 5. Складання рівняння кіл, сфер, обчислення радіуса
- (Вектори)
- ... – Д. Приклад 41.13 Скласти рівняння сфери з центром у точці A(-1;3;2), яке дотикається до площини xOy. Розв'язування: Запишемо рівняння сфери з центром у точці A(a;b;c) і радіусом R: (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. Рисунок сфери з площинами є підказкою до обчислень Радіус R знайдемо з умови, ...
- Створено 10 квітня 2020
- 6. Поверхневі інтеграли першого роду. Готові відповіді
- (Інтегрування)
- ... Розв'язання: Перш ніж обчислювати інтеграл побудуємо схематичний вигляд тетраедра Заданий тетраедр складається з чотирьох площин (поверхонь), тому заданий поверхневий інтеграл рахуватимемо по всіх площинах окремо, тобто Поверхня 1: y=0. Звідси, диференціал площі рівний dS1=dxdz. Далі розставляємо ...
- Створено 25 грудня 2018
- 7. Обчислення потрійних інтегралів. Знаходження об'єму тіла
- (Інтегрування)
- ... з інтегралом. ЗАВДАННЯ 5.6 За допомогою потрійного інтеграла знайти об'єм тіла, що утворено поверхнями: x+y+z=0, x2+y2=1, z=0. Розв'язання: Проаналізуємо форму тіла, що задана умовою: x+y+z=0 - бісекторна площина, x2+y2=1 - коловий циліндр, що витягнутий вздовж осі Oz. Далі можемо розставити ...
- Створено 19 грудня 2018
- 8. Потрійний інтеграл. Об'єм тіла
- (Інтегрування)
- Потрійні інтеграли мають широке застосування не тільки в математиці, з їх допомогою можна розрахувати об'єми складних тіл. В студентській практиці все спрощується до тіл, які утворилися перетином сфер, параболоїдів, циліндрів з площинами, сферами і ін. Вся суть знаходження об'єму тіл зводиться до ...
- Створено 19 грудня 2018
- 9. Куля описана, вписана в циліндр, конус, куб
- (Геометрія)
- ... розв'язуйте геометричні задачі. Переглянути схожі матеріали Куля: Площа поверхні Об'єм кулі Дотична площина до кулі. Знаходження відстані до поверхні кулі (сфери) Радіус кулі. Куля вписана в конус, циліндр, куб Довжина дуги кола на кулі ...
- Створено 18 грудня 2017
- 10. Радіус кулі. Куля вписана в конус, циліндр, куб
- (Геометрія)
- ... площина до кулі. Знаходження відстані до поверхні кулі (сфери) Довжина дуги кола на кулі Куля описана, вписана в циліндр, конус, куб ...
- Створено 18 грудня 2017
- 11. Довжина дуги кола на кулі
- (Геометрія)
- ... інтернет мережу для навчання, однак мало хто допомагає в підготовці публікацій. Переглянути схожі матеріали Куля: Площа поверхні Переріз кулі площиною. Площа перерізу Об'єм кулі Дотична площина до кулі. Знаходження відстані до поверхні кулі (сфери) Радіус кулі. Куля вписана в конус, циліндр, ...
- Створено 18 грудня 2017
- 12. Куля: Площа поверхні
- (Геометрія)
- ... радіус кулі. Маємо кулю з центром в точці O і діаметром AB=D=2R=6 см. Звідси встановлюємо, що R=AO=BO=D/2=3 см – радіус заданої кулі. Підставляємо радіус у формулу площі поверхні кулі: отже S=36π см2. Відповідь: 36π см2 – Б. Задача 40.5 Площина перетинає сферу. Довжина лінії перетину дорівнює ...
- Створено 18 грудня 2017
- 13. Об'єм кулі. Відповіді до задач
- (Геометрія)
- ... площиною. Площа перерізу Дотична площина до кулі. Знаходження відстані до поверхні кулі (сфери) Радіус кулі. Куля вписана в конус, циліндр, куб Довжина дуги кола на кулі Куля описана, вписана в циліндр, конус, куб ...
- Створено 18 грудня 2017
- 14. Дотична площина до кулі. Знаходження відстані до поверхні кулі (сфери)
- (Геометрія)
- ... За властивістю: через три точки можна провести площину. Ця площина перетинає сферу по колу з центром O1, яке є описаним навколо ΔKLM. Відрізок OO1 – відстань від центра сфери до площини ΔKLM, тому OO1⊥LM, зокрема OO1⊥LO1. Оскільки вершини ΔKLM лежать на сфері, то MO=KO=LO=R=13 см – радіус сфери. ...
- Створено 18 грудня 2017
- 15. Переріз кулі площиною. Площа перерізу
- (Геометрія)
- ... кулю з центром в точці O та радіусом R=AO. Площина, яка перетинає кулю, перетинає її по кругу. Оскільки паралельні перерізи рівновеликі (за умовою), тобто їх площі рівні, тому відстань від центра кулі до кожного перерізу є однакова (за властивістю пропорційності площ паралельних перерізів і відстаней ...
- Створено 18 грудня 2017
- 16. Осьовий переріз конуса. Площа перерізу
- (Геометрія)
- ... конуса, а основа трикутника рівна діаметру кола в основі конуса. Інші перерізи утворюють площинами, які перетинають конус під певним кутом до його осі. Окремий випадок – це площини паралельні основі конуса і розміщені на певній висоті від неї. Такого сорту задачі нами відібрані та далі наведені їх розв'язки. ...
- Створено 24 листопада 2017
- 17. Твірна конуса. Відповіді до задач
- (Геометрія)
- ... кожної прямої, що лежить в цих площинах, тому O1⊥AO та OO1⊥A1O1. Звідси слідує, що чотирикутник AA1O1O – прямокутна трапеція, висота OO1 якої є висотою зрізаного конуса. Проведемо відрізок A1K=O1O, тобто A1K⊥A. Тут маємо KO=A1O1=7см, тоді AK=AO-KO=15-7=8 см. Розглянемо прямокутний трикутник AKA1 ...
- Створено 24 листопада 2017
- 18. Задачі на кути в цилідрі
- (Геометрія)
- ... Задача 38.33 У циліндрі проведено два перерізи ABCD і ABEF, де AB – твірна циліндра. Площа кожного з цих перерізів дорівнює 0,5 площі осьового перерізу. Знайти у градусах кут між площинами ABC і ABE. Розв'язання: Маємо циліндр з перерізами ABCD і ABEF. Оскільки AB – твірна (за умовою задачі), ...
- Створено 10 листопада 2017
- 19. Знайти висоту циліндра
- (Геометрія)
- ... ний у призму Радіус основи циліндра. Готові задачі Перерізи циліндра площинами. Осьовий переріз Задачі на кути в цилідрі ...
- Створено 10 листопада 2017
- 20. Перерізи циліндра площинами. Осьовий переріз
- (Геометрія)
- ... які можуть Вас чекати на практичних та вступних тестах. Тема 38.5 Осьовий переріз циліндра. Переріз площинами Задача 38.7 Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S. Визначити площу осьового перерізу. Розв'язання: Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою: де R – радіус ...
- Створено 10 листопада 2017
- 21. Знайти радіус основи циліндра
- (Геометрія)
- ... катета AO=OB=AB/2, тобто Відповідь: – Д. Задача 38.4 У циліндрі паралельно до його осі проведено площину на відстані 3 см від неї. Ця площина перетинає основу циліндра по хорді, яка дорівнює 8 см. Знайти радіус циліндра. Розв'язання: Переріз циліндра площиною, яка проходить паралельно ...
- Створено 09 листопада 2017
- 22. Циліндр вписаний у призму
- (Геометрія)
- ... і повної поверхні циліндра Радіус основи циліндра. Готові задачі Перерізи циліндра площинами. Осьовий переріз Знаходження висоти циліндра Задачі на кути в цилідрі ...
- Створено 09 листопада 2017
- 23. Площа бічної і повної поверхні циліндра
- (Геометрія)
- ... за знайденою формулою для кожного із тестових випадків: Далі розглянемо обчислення радіуса, висоти циліндра, осьових перерізів і т.д. Переглянути схожі матеріали: Об'єм циліндра. 50 готових задач із ЗНО Циліндр вписаний у призму Радіус основи циліндра. Готові задачі Перерізи циліндра площинами. ...
- Створено 09 листопада 2017
- 24. Об'єм циліндра. 50 готових задач
- (Геометрія)
- ... . Готові задачі Перерізи циліндра площинами. Осьовий переріз Знаходження висоти циліндра Задачі на кути в цилідрі ...
- Створено 09 листопада 2017
- 25. Задачі на зрізану піраміду
- (Геометрія)
- ... і A1B1C1 відповідно. Знайдемо радіуси описаних кіл: Оскільки висота OO1 перпендикулярна до площин основи (трикутників ABC і A1B1C1), то вона перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в цих площинах, тому OO1⊥AO і OO1⊥A1O1. Звідси слідує, що чотирикутник AA1O1O – прямокутна трапеція, висота OO1 ...
- Створено 03 жовтня 2017
- 26. Чотирикутна піраміда. Готові задачі
- (Геометрія)
- ... піраміди SABCD площиною β. 2. Обґрунтуйте вид перерізу. 3. Визначте периметр перерізу. Розв'язування: 1,2 Побудуємо піраміду SABCD, в основі якої лежить квадрат ABCD. Через точку O, основу висоти піраміди (точку перетину діагоналей AC і BD), проведемо відрізок KL||AD, так як площина β паралельна ...
- Створено 03 жовтня 2017
- 27. Трикутна піраміда. Готові відповіді
- (Геометрія)
- ... см. В умові задачі сказано, що основа піраміди CBDD1 є площина BDD1. Але розміри піраміди не залежать від положення її в просторі, тому за основу позначимо площину BCD, а за вершину – точку D1. Тоді DD1=H=6 см – висота піраміди, а основою є рівнобедрений прямокутний трикутник BCD (BC=CD=6 см, ∠BCD=90), ...
- Створено 03 жовтня 2017
- 28. Площа та об'єм чотирикутної піраміди
- (Геометрія)
- ... O – центр квадрата (точка перетину діагоналей), тому (за властивістю квадрата) MO||AB і AB=2MO=12 см (це доводиться на основі того, що MO – середня лінія трикутника ACD). Площа основи (квадрата ABCD) піраміди: SABCD=AB2=122=144 см2. За властивістю: площина яка проходить паралельно основі піраміди ...
- Створено 03 жовтня 2017
- 29. Правильна трикутна піраміда
- (Геометрія)
- ... Q. Знайти об'єм піраміди. Розв'язання: Об'єм правильної трикутної піраміди SABC обчислюють за формулою: тут формула площі основи (правильного ΔABC) зі стороною a; H=SO – висота піраміди і ΔASM одночасно, адже площина (ΔASM) перпендикулярна до площини основи (ΔABC) за умовою задачі, ...
- Створено 03 жовтня 2017
- 30. Задачі на похилу призму з відповідями
- (Геометрія)
- ... ромба дорівнює стороні основи, оскільки відрізок BC=4 – спільний, а діагональ ромба B1C=6. Оскільки площина ромба BB1C1C перпендикулярна до площини основи, то висота ромба C1K перпендикулярна до площини основи і є висотою призми: H=C1K. За властивістю ромба: діагоналі перетинаються під прямим кутом ...
- Створено 27 вересня 2017
- 31. Задачі на паралелепіпед з відповідями
- (Геометрія)
- ... єдину площину, так як M1∈B1C1, то цією площиною є γ. Отже, площина γ проходить через точки A, B1, C1, D, M1, з'єднаємо послідовно ці точки і отримаємо чотирикутник AB1C1D. Оскільки у прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 протилежні грані рівні й паралельні (є прямокутниками), то AB1||C1D і B1C1||AD, ...
- Створено 27 вересня 2017
- 32. Взаємне розміщення точок, прямих і площин у просторі
- (Геометрія)
- ... Точки M, N і P – середини ребер AB, BB1 і BC відповідно. Установити відповідність між прямими і площинами (1–4) та їхнім взаємним розміщенням (А–Д). Розв'язання: 1) Пряма MN належить площині ABB1, оскільки точки M і N– середини ребер AB і BB1 відповідно. Пряма DD1 не належить площині ABB1, з нею ...
- Створено 05 вересня 2017
- 33. Ортогональна і паралельна проекції фігур
- (Геометрія)
- ... Розв'язання: Маємо куб ABCDA1B1C1D1, який перетнутий площиною alpha. Ця площина проходить через точки M, B і C (за умовою задачі). Оскільки у куба протилежні грані рівні і паралельні, то в перерізі куба площиною alpha отримали чотирикутник MBCK, у якого протилежні сторони паралельні (якщо дві паралельні ...
- Створено 05 вересня 2017
- 34. Відстань між точками, прямими і площинами у просторі. Завдання з поясненнями
- (Геометрія)
- Розберемо шість готових прикладів з геометрії на відстань між точками, прямими і площинами. Завдання взяті із збірника для підготовки до ЗНО тестувань, та будуть корисними в першу чергу учням 10-11 класів. Це і хороша підказка на практичних заняттях з геометрії і добрий безкоштовний репетитор для ...
- Створено 05 вересня 2017
- 35. Відстані між точками, прямими і площинами у просторі. Готові відповіді
- (Геометрія)
- Розберемо ще три готові відповіді до задач на відстані між площинами, точками і прямими. Від Вас потрібні добрі знання трикутників, теореми синусів та Піфагора. Пояснення добре обгрунтовані та повинні бути легкими для сприйняття школярами 10-11 класів. Задача 35.26 На рисунку зображено правильну чотирикутну ...
- Створено 05 вересня 2017
- 36. Кути між прямими і площинами у просторі. ЗНО підготовка
- (Геометрія)
- На попередньому уроці проаналізовано готові відповіді до 5 прикладів на кути між прями і площинами в просторі. Далі розберемо 3 готові приклади, які можуть Вас чекати як при проходженні ЗНО тестів, так і на практичних з геометрії. Задача 35.20 Відрізок завдовжки 10 м перетинає площину, його кінці ...
- Створено 05 вересня 2017
- 37. Кути між прямими і площинами у просторі. Готові задачі
- (Геометрія)
- Готові відповіді до 8 тестових задач на кути між прямими і площинами у просторі допоможуть Вам швидко розібратися з можливими завдання, які Вас чекають як в шкільному курсі геометрії в 10-11 класі так і на початкових курсах у ВУЗ-ах. Завдання охоплюють значну частину теоретичного матеріалу по даній ...
- Створено 05 вересня 2017
- 38. Перпендикуляр і похила у просторі. Задачі з відповідями
- (Геометрія)
- ... опущений з цієї точки на площину. Основа перпендикуляра належить площині beta (в цій задачі це точка M), тому AM⊥beta. Кут ∠AKM=60 – лінійний кут двогранного кута, тобто кут між площинами alpha і beta. Розглянемо трикутник AMK. Оскільки AM⊥beta, то AM⊥MK (MK належить площині beta), тому ΔAMK – прямокутний ...
- Створено 05 вересня 2017
- 39. Перпендикуляр і похила у просторі. ЗНО підготовка
- (Геометрія)
- ... з нами відповідями. В такий спосіб Ви розширете наявну базу готових завдань та допоможете майбутнім поколінням учнів та студентів! Вас може зацікавити: Перпендикуляр і похила у просторі. Задачі з відповідями Кути між прямими і площинами у просторі. Готові задачі Відстань між точками, прямими ...
- Створено 05 вересня 2017
- 40. Задачі на прямі та площини в просторі
- (Геометрія)
- ... Розв'язання: Прямі a і b лежать в різних площинах і не мають спільної точки на прямій c – прямій перетину відповідних площин alpha і beta. 1) Тому прямі a і b не перетинаються (за теоремою). Площини alpha і beta не є паралельними і прямі a і b не лежать в одній площині, 2) тому прямі a і b не ...
- Створено 30 серпня 2017
- 41. Функції багатьох змінних. Курсова робота 1
- (Функції)
- ... в точці (0;0) і радіусом корінь з двох . - півплощина, яка знаходиться над прямою y=x. Схематично область інтегрування має вигляд Перейдемо до полярної системи координат: тоді якобіан переходу рівний: Запишемо рівняння кола в полярній системі координат: звідси радіус рівний кореню ...
- Створено 14 жовтня 2016
- 42. Діаметральна площина поверхні другого порядку
- (Поверхні другого порядку)
- Відрізок, який сполучає дві довільні точки поверхні другого порядку (ПДП), називається хордою цієї поверхні. Множина середин хорд ПДП паралельних до неасимптотичного напряму утворює площину, яку називають діаметральною площиною поверхні другого порядку. Таким чином діаметральна площина, це площина що ...
- Створено 07 жовтня 2016
- 43. Сфера. Задачі на рівняння сфери
- (Поверхні другого порядку)
- ... сфери з центром у точці O(x0; y0; z0) і радіусом R: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 Будь-яка дотична пряма або площина перпендикулярна до радіуса сфери в точці дотику. Основні формули сфериПлоща сфери Об'єм кулі, обмеженої сферою Площа сегменту сфери Сегмент сфери- смуга між ...
- Створено 25 вересня 2016
- 44. Обчислення потоку векторного поля
- (Інтегрування)
- ... що витягнутий вздовж осі Oz і обмежений площинами z=1, z=5. В цьому та наступних прикладах для уявлення приведені поверхні інтегрування та їх проекції в декартову площину В перерізі отримали два кола з радіусами, відповідно, R=1, R=5. В силу симетрії немає потреби інтегрувати по колу, достатньо ...
- Створено 01 вересня 2016
- 45. Формула Остроградського-Гаусса. Потік векторного поля
- (Інтегрування)
- ... вирізається площиною P: z=2 (нормаль зовнішня до замкненої поверхні, утвореної даними поверхнями). Розв'язання: Рівняння - конічна поверхня з вершиною (0;0;0), яка витягнута вздовж осі Oz. z=2 - площина, яка паралельна до площини Oxy. (шапка). Наведені поверхню та площину зобразимо в просторі ...
- Створено 20 серпня 2016
- 46. Поверхневі інтеграли ІІ роду
- (Інтегрування)
- ... площинами z=0, y=0, x=0, x=1, y=1, z=1. Розв'язання: Побудуємо куб, що обмежений заданими площинами: Обчислюємо поверхневий інтеграл ІІ роду по всім шести поверхням, тому формула прийме вигляд Для кожної поверхні куба запишемо рівняння площини і її межі по гранях: звідси - нормальний зовнішній ...
- Створено 20 серпня 2016
- 47. Обчислити поверхневий інтеграл І роду
- (Інтегрування)
- ... будуть задані подібні умови, в більшості випадків площина лежатиме в першому октанті, підінтегральна функія не надто важка для приведення поверхневого інтегралу до невластивого, а далі до визначеного. Спершу слід побудувати площину сігма: x+y+z=1 - бачимо що вона належить першому октанту. Задана ...
- Створено 20 серпня 2016
- 48. Подвійний інтеграл. Межі інтегрування
- (Інтегрування)
- ... заданих поверхонь в тій площині, де шукатимемо об'єм: Наведемо приблизний вигляд тіла, об'єм якого шукаємо та область інтегрування (проекцію тіла в декартову площину) Об'єм тіла, що обмежене заданими поверхнями, знайдемо як різницю об'ємів колового циліндра y2+(z-3)2=32, що обмежений площинами ...
- Створено 06 травня 2016
- 49. Кратні інтеграли. Індивідуальна робота
- (Інтегрування)
- ... 2.6 Знайти площу плоскої фігури, заданої наступними умовами: x2+y2-4x=0, . Розв'язання: x2+y2-4x=0, x2+y2-4x+4-4=0, (x-2)2+y2=22 - рівняння кола з центром у точці O(2;0) і радіусом =2. Умова - півплощина, що знаходиться нижче прямої y=x-1. Знайдемо точки перетину графіків заданих функцій x2+y2-4x=0 ...
- Створено 05 травня 2016
- 50. Контрольна робота №4. Дослідження ф-ї двох змінних на екстремум, частинні похідні, дотична та нормаль
- (Контрольна-Вища математика)
- ... значення. Разом ці дві умови складають систему з двох рівнянь Знаменник завжди більший нуля і лише чисельник обмежує область визначення . Таким чином область визначення заданої функції є півплощина, яка знаходиться нижче прямої , включаючи саму пряму також. Фрагмент просторового графіку ф-ї 2 ...
- Створено 12 квітня 2016