Завершенням індивідуального завдання з теорії ймовірностей є перевірка гіпотез. Перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності зможе кожен, хто дочитає урок та буде застосовувати наведені формули на практиці.
Наведені завдання 11 та 12 варіантів допоможуть в першу чергу економістам ЛНУ ім. І.Франка (Завдання взяті з їх програми). ВУЗи інших міст України мають подібну програму навчання, тому корисного матеріалу для себе зможе почерпнути кожен студент.

Індивідуальне завдання 3
Варіант-11


Завдання 1. У таблиці наведено емпіричні частоти ni та теоретичні частоти , обчислені, виходячи з гіпотези H0 про нормальний розподіл генеральної сукупності. Для рівня значущості 0,025 перевірити гіпотезу H0 про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Розв'язання:
Спершу обчислюємо емпіричне значення критерію Пірсона (m=5)

Далі за таблицею критичних точок розподілу для рівня значущості 0,05 і кількості ступенів вільності k=m-r-1=5-2-1=2 (r=2 для нормального розподілу) знаходимо (методом інтерполяції):

Умова виконується , тому гіпотезу H0 приймаємо.

 

Завдання 2. Із нормально розподіленої генеральної сукупності з відомим середнім квадратичним відхиленням 4,0 одержано вибірку обсягом n=64 і за нею знайдено вибіркове середнє 89,7. Для рівня значущості 0,05 перевірити гіпотезу H0: a=a0=89 за наявності альтернативної гіпотези H1: a>a0.
Розв'язання: Обчислимо емпіричне значення критерію:

Для альтернативної гіпотези H1: a>a0 знаходимо за таблицею значень функції Лапласа, використовуючи формули


Оскільки умова виконується , то гіпотезу H0 приймаємо.

 

Завдання 3.За вибіркою обсягу n=16 з нормально розподіленої генеральної сукупності знайдено вибіркове середнє 89,7 і підправлене середнє квадратичне відхилення s=2,0. Для рівня значущості 0,05 перевірити гіпотезу a=a0=89 за наявності альтернативної гіпотези H1: a<>a0.
Розв'язання: Вам слід пам'ятати, що підправлене та саме середнє квадратичне відхилення несуттєво відрізняються на практиці.Тому формули, що розглядали в попередньому завданні актуальні і тут. тільки змінюється позначення з сігма на s. Переходимо до знаходження величин, спершу емпіричне значення критерію:

Далі із таблиці критичних точок розподілу Ст'юдента за заданим рівнем значущості 0,05 (для двосторонньої критичної області) і кількістю ступенів вільності k=16-1=15 знаходимо критичну точку

Перевіряємо умову та приймаємо гіпотезу H0 .
Як бачите обчислення не складні і за наведеною схемою зробити індивідуальні завдання з теорії ймовірності, чи контрольну зможете самостійно.



Завдання 4. За вибіркою обсягу n=15 з нормально розподіленої генеральної сукупності знайдено підправлену дисперсію 4,2. Для рівня значущості 0,1 перевірити гіпотезу за наявності альтернативної гіпотези

Розв'язання:
Знаходимо емпіричне значення критерію:

За допомогою таблиці критичних точок розподілу "хі -квадрат" визначаємо критичні точки зліва та справа


Оскільки емпіричне значення належить інтервалу

то гіпотезу H1 приймаємо.



Завдання 5. За вибіркою обсягу n=21 з нормально розподіленої генеральної сукупності знайдено підправлену дисперсію 3,4. Для рівня значущості 0,025 перевірити гіпотезу за наявності альтернативної гіпотези
Розв'язання: Визначаємо емпіричне значення критерію:

Далі із таблиці критичних точок розподілу знаходимо значення

Порівнянням величин робимо висновок про прийняття гіпотези H0.



Індивідуальне завдання 3
Варіант 12
Завдання 1. У таблиці наведено емпіричні частоти та теоретичні частоти , обчислені, виходячи з гіпотези H0 про нормальний розподіл генеральної сукупності. Для рівня значущості 0,05 перевірити гіпотезу H0 про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Розв'язання: Схема розрахунків достатньо проста і зводиться до знаходження та порівняння двох величин.
Спершу обчислюємо емпіричне значення критерію Пірсона (m=5)за формулою

Далі за таблицею критичних точок розподілу "хі-квадрат" для рівня значущості 0,05 і кількості ступенів вільності

(r=2 для нормального розподілу) знаходимо:

Порівнянням встановлюємо, що гіпотезу H0 приймаємо.

 

Завдання 2. Із нормально розподіленої генеральної сукупності з відомим середнім квадратичним відхиленням 1,75 одержано вибірку обсягом n=49 і за нею знайдено вибіркове середнє 84,7. Для рівня значущості 0,1 перевірити гіпотезу H0: a=a[0]=85 за наявності альтернативної гіпотези H1: a < a[0].
Розв'язання:
Знаходимо емпіричне значення критерію:

Для альтернативної гіпотези H1: a < a[0] знаходимо критичне значення за таблицею значень функції Лапласа. Для уточнення uкр використовуємо формулу інтенрполяції

Оскільки виконується умова умова гіпотези, то гіпотезу H0 приймаємо.



Завдання 3. За вибіркою обсягу n=9 з нормально розподіленої генеральної сукупності знайдено вибіркове середнє 84,7 і підправлене середнє квадратичне відхилення s=0,5. Для рівня значущості 0,01 перевірити гіпотезу за наявності альтернативної гіпотези .
Розв'язання: Згідно методики обчислимо емпіричне значення критерію:
емпіричне значення критерію
Далі за таблицею критичних точок розподілу Ст'юдента знаходимо за заданим рівнем значущості 0,01 (для двосторонньої критичної області) і кількістю ступенів вільності k=9-1=8 критичну точку
критична точка.
Порівнянням величин приходимо до висновку, що гіпотезу H0 приймаємо.

 

Завдання 4. За вибіркою обсягу n=29 з нормально розподіленої генеральної сукупності знайдено підправлену дисперсію 7,7. Для рівня значущості 0,05 перевірити гіпотезу H0 : за наявності альтернативної гіпотези H1:
Розв'язання: Обчислимо емпіричне значення критерію за формулою
емпіричне значення критерію
За допомогою таблиці критичних точок розподілу "хі-квадрат" визначаємо «ліву» критичну точку

таі «праву» критичну точку

Так як емпіричне значення належить знайденому інтервалу

то гіпотезу H1 приймаємо.

 

Завдання 5. За вибіркою обсягу n=25 з нормально розподіленої генеральної сукупності знайдено підправлену дисперсію 6,2. Для рівня значущості 0,05 перевірити гіпотезу H0: за наявності альтернативної гіпотези H1
Розв'язання: Знаходимо емпіричне значення критерію "хі -квадрат":
емпіричне значення критерію
Далі за допомогою таблиці критичних точок розподілу визначаємо

Оскільки умова виконується, то гіпотезу H0 приймаємо.
Тепер Ви знаєте, як перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності. Користуйтеся наведеними формулами на контроьних та модулях.

Індивідуальні завдання з ймовірності