Характеристикою системи неперервних випадкових величин є щільність імовірностей. Для визначення щільності ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (X,Y) застосовується формула

Розглянемо прямокутник зі сторонами "деьта ікс" та "деьта ігрик"

щільність ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин, формула

Імовірність розміщення системи (X,Y) у прямокутній області обчислюється за формулою
Імовірність розміщення системи (X,Y) у прямокутній області, формула
Імовірність розміщення системи (X,Y) у прямокутній області, формула
Поділивши цю ймовірність на площу прямокутника і спрямувавши "деьта ікс" до нуля дістанемо ймовірність у точці, тобто щільність:





Отже, щільність розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин визначається залежністю
щільність ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин, формула

Функція щільності f(x,y) може існувати лише за умови, що F(x,y) є неперервною за аргументами x і y та двічі диференційовною. Функції f(x,y) у тривимірному просторі відповідає певна поверхня — так звана поверхня розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (X,Y). Тоді f(x,y)dxdy імовірність розміщення системи двох випадкових величин у прямокутнику зі сторонамиdx, dy.

Властивості щільності розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин f(x, y)

1. Щільності розподілу є невід'ємною функцією, оскільки F(x,y) є неспадною відносно аргументів x і y.
2. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин (X,Y) полягає в тому, що інтеграл по області від щільності рі:вний повній імовірності (=1)
умова нормування системи двох неперервних випадкових величин, формула Якщо область необмежена , то умова нормуваннянабирає вигляду:
умова нормування системи двох неперервних випадкових величин, формула

3. Імовірність розміщення системи змінних (x,y) в підмножині області обчислюється, як інтеграл по підмножині:
імовірність розміщення системи змінних (x,y) в області, формула

Імовірність розміщення системи змінних (x,y) у прямокутній області D=(a<x<b; c<y<d) визначається інтегруванням
імовірність розміщення системи змінних у прямокутній області, формула 4. Функція розподілу ймовірностей системи двох змінних визначається з рівняння
функція розподілу ймовірностей системи двох змінних, формула 5. Якщо область задана прямокутником , то функція розподілу ймовірностей має вигляд інтегралу
функція розподілу ймовірностей в прямокутній області, формула
Розглянемо наступний приклад для закріплення матеріалу.

Приклад. Задано поверхню розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин наступним законом:

функція є константою f(x,y)=a , (a=const) , якщо аргументи належать прямокутній області ;
та рівна нулю f(x,y)=0 поза його межами ;
Прямокутник задано областю
Знайти параметр a і функція розподілу ймовірностей F(x,y) . Обчислити ймовірність попадання аргументів у внутрішній прямокутник, що обмежений областю

Розв'язання. Перш за все намалюємо прямокутники, які задані умовами задачі. Це внесе деяку ясність в процес розв'язування
область інтегруванняПараметр a визначаємо з умови нормування :

умова нормування
Таким чином, отримали що поверхня розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин рівна f(x,y)=1.56 для аргументів з прямокутної області і нулю f(x,y)=0 поза нею Згідно 5 властивості в прямокутнику -3<x<5; -4<y<3 визначаємо закон розподілу ймовірностей
закон розподілу ймовірностей
За його межами функція набуває значень Аргументи належать області y>3; -3<x<5
закон розподілу ймовірностей

Якщо x>5; -4<y<3, то маємо
закон розподілу ймовірностей
Для x>5; y>3 функція рівна одиниці
закон розподілу ймовірностей
і при x<-3; y<-4 приймає нульове значення F(-3,-4)=0.
На основі вище наведених розрахунків функція розподілу ймовірностей має вигляд
функція розподілу ймовірностейОбчислюємо ймовірність попадання аргументів у внутрішній прямокутник
ймовірність попадання (X,Y) у  прямокутникймовірність попадання (X,Y) у  прямокутникПовне відшукання функції розподілу ймовірностей є досить популярним завданням на практиці і Ви повинні вміти його виконувати. Для цього потрібно інтегрувати функцію щільності ймовірностей. Таким чином вивчаючи теорію ймовірності - Ви на практиці удосконалюєте навички інтегрування.