Продовжуємо розгляд індивідуального завдання з теорії ймовірностей. Наведена схема обчислень допоможе знайти інтервал довіри. Формули для інтервалу не складні, в цьому Ви скоро переконаєтесь. Наведені завдання задавали економістам ЛНУ ім. І.Франка. ВУЗи інших міст України мають подібну програму навчання, тому для себе корисного матеріалу знайде кожен студент.

Індивідуальне завдання 1
Варіант 11

Завдання 2. Знайти інтервал довіри для оцінки з надійністю γ невідомого математичного сподівання а нормально розподіленої ознаки Х генеральної сукупності:
а) якщо γ=0,92, генеральне середнє квадратичне відхилення σ=4,0, вибіркове середнє =15,0, а обсяг вибірки n=16;

б) якщо γ=0,99, підправлене середнє квадратичне відхилення s=4,0, вибіркове середнє =20,0, а обсяг вибірки n=16.

Розв'язання: а) З рівняння за допомогою функції Лапласа методом інтерполяції знаходимо

Межі інтервалу довіри шукаємо за формулами:


Отже, отримали інтервал довіри з надійністю 0,92.

б) Оскільки n=16<30 і середнє квадратичне відхилення невідоме, то для знаходження меж інтервалу довіри використаємо формулу

де значенняшукаємо за допомогою таблиць (розподіл Ст'юдента):

інтерва довіри
інтерва довіри
Інтервал довіри рівний з надійністю =0,99.



Завдання 3. Знайти інтервал довіри для оцінки з надійністю γ=0,99 невідомого середнього квадратичного відхилення σ нормально розподіленої ознаки Х генеральної сукупності, якщо обсяг вибірки n=35, а підправлене середнє квадратичне відхилення s=13,3.
Розв'язання: Задача зводиться до відшукання інтервалу довіри , який покриває з заданою надійністю 0,99.
За таблицею знаходимо q

Шуканий інтервал довіри лежить в межах або
.



Варіант 1

Завдання 2. Знайти інтервал довіри для оцінки з надійністю γ невідомого математичного сподівання а нормально розподіленої ознаки Х генеральної сукупності:

  • а) якщо =0,9, генеральне середнє квадратичне відхилення s=3,0, вибіркове середнє =7,0, а об'єм вибірки n=9;
  • б) якщо =0,95, підправлене середнє квадратичне відхилення s=3,0, вибіркове середнє =15,0, а обсяг вибірки n=9.

Розв'язання: а) З рівняння за допомогою функції Лапласа методом інтерполяції знаходимо t

Інтерполяцію використовуємо для уточнення t, коли в таблиці значень функції Лапласа Ф(t) міститься між двома сусідніми.
Межі інтервалу довіри шукаємо за формулами:
інтерва довіри
інтерва довіри
Остаточно отримуємо такий інтервал довіри з надійністю =0,9 2.

б) Оскільки n=9<30 і середнє квадратичне відхилення невідоме, то для знаходження меж інтервалу довіри використаємо формули
,
де значення t шукаємо за допомогою таблиць (розподілу Ст'юдента):



Формули як бачите не складні і знайти інтервал довіри може не тільки студент, я й школяр.
Отже ми знайшли інтервал довіри з надійністю =0,95.



Завдання 3.Знайти інтервал довіри для оцінки з надійністю=0,95 невідомого середнього квадратичного відхилення σ нормально розподіленої ознаки Х генеральної сукупності, якщо обсяг вибірки n=17, а підправлене середнє квадратичне відхилення σ=11,2.
Розв'язання: Задача зводиться до відшукання інтервалу довіри , при заданому середньому квадратичному відхиленні з заданою надійністю =0,95.
За таблицею знаходимо значення функції q

Далі за формулами обчислюємо інтервал довіри
інтерва довіри
Після обчислень він лежатиме в межах

На цьому завдання розв'язано.

 

Варіант-12

Завдання 2. Знайти інтервал довіри для оцінки з надійністю невідомого математичного сподівання та нормально розподіленої ознаки Х генеральної сукупності:
а) якщо =0,94, генеральне середнє квадратичне відхилення =5,0, вибіркове середнє =18,0, а обсяг вибірки n=25;
б) якщо =0,999, підправлене середнє квадратичне відхилення s=5,0, вибіркове середнє =26,0, а обсяг вибірки n=25.
Розв'язання: а) З рівняння за допомогою функції Лапласа методом інтерполяції знаходимо t

Межі інтервалу довіри шукаємо за формулами:


Отже, інтервал приймає множину значень з надійністю .

б) Оскільки n=25<30 і середнє квадратичне відхилення невідоме, то для знаходження меж інтервалу довіри використаємо формули

де значення t - шукаємо за допомогою таблиць (розподілe Ст'юдента):

Далі знаходимо межі інтервалу довіри.
інтерва довіри
інтерва довіри
Отримали інтервал довіри з надійністю 0,999.

 

Завдання 3. Знайти інтервал довіри для оцінки з надійністю =0,999 невідомого середнього квадратичного відхилення σ нормально розподіленої ознаки Х генеральної сукупності, якщо обсяг вибірки n=45, а підправлене середнє квадратичне відхилення s=15,1.
Розв'язання: Задача зводиться до відшукання інтервалу довіри за формулою

такого, що покриває з заданою надійністю .
За таблицею знаходимо значення функції q

Після цього виконуємо обчислення меж інтервалу довіри
інтерва довіри

Як бачите, обчислення не складні, тож вивчайте формли та застосовуйте їх на контрольних і тестах з теорії ймовірностей.

Індивідуальні завдання з ймовірності