Функція розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин. Імовірність попадання в прямокутник

Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин (X,Y) називають таку функцію двох аргументів x,y, яка визначає ймовірність cпільної появи подійПроекція цієї функції на площину зображена на рисунку

Властивості функції розподілу ймовірностей F(x,y)

1. Функція розподілу приймає значення від нуля до одиниці , оскільки ймовірності перетину менші одиниці

2. Якщо один із аргументів F(x,y) прямує до безмежності то функція розподілу системи прямує до функції розподілу одного аргументу, що не прямує до а саме: властивості функції розподілу ймовірностей 3. Якщо обидва аргументи прямують до безмежності то значення функції в цих точках прямують до одиниці4. Якщо аргументи прямують до протилежного краю площини (мінус безмежності), та функція прямує до нуля властивості функції розподілу ймовірностей 5. Функція розподілу ймовірностей F(x,y) є неспадною функцією своїх аргументів x і y.
6. Імовірність попаданя аргументів функції розподілу в прямокутник (a<X<b, c<y<d) обчислюється за правилом:Розглянемо задачу на останнє правило.

Приклад. Закон розподілу системи двох неперервних випадкових величин X,Y задано функцією розподілу ймовірностейОбчислити імовірність попадання точки (X,Y) в прямокутник P(0<X<5; 0c<y<3)..

Розв'язання. Для повної уяви прямокутника влучання зобразимо його графічно прямокутник влучання За правилом шукана ймовірність визначається залежністю імовірність попадання точки в прямокутник
Обчислимо складові формули ймовірності

Останніх три доданки можна було і не шукати, з першої умови функції розподілу

слідує, що по осях вона приймає нульові значення.
Таким чином, шукана ймовірність рівна
імовірність попадання точки в прямокутник Графіки функції розподілу ймовірностей наведені нижче функція розподілу ймовірностей, графік