Схема Бернуллі виникає при повторних незалежних випробуваннях. Незалежними випробуваннями називаються такі, що не залежать один від одного, і від результатів попередніх випробувань. Вони можуть проводитися як в однотипних умовах, так і в різних. У першому випадку ймовірність появи якоїсь події A у всіх випробуваннях одна і та ж, у другому випадку - міняється від досліду до досліду.

Нехай для кожного досліду імовірність появи події A постійна P(A)=p, ймовірність протилежної події визначається залежністю
Потрібно знайти ймовірність появи події A рівно m раз в серії із n випробувань. При цьому варто зазначити, що подія A в серії дослідів може чергуватися любим способом, головне щоб виконалася рівно m раз.
Результати випробувань для зручності позначаємо літерою A у випадку появи події і "А спряжене" для протилежної.
Випробування в яких A відбувається m раз, і не відбувається () n-m за означенням будуть сприятливими. Їх кількість N рівна кількості способів вибору m елементів із n і визначається за формулою сполученьВизначимо імовірність сприятливої комбінації (в серії з n випробувань появи події A рівно m раз). Для простоти запису розглянемо випадок коли подія A відбулася в перших дослідах і не відбулася в решта n-m. Схематично її можна позначити наступним чином, при цьому ймовірність визначити за теоремою множення ймовірностейДля інших сприятливих випробувань Pi ймовірність буде така ж, тільки порядок їх в серії з експериментів буде змінюватисяВсі сприятливі випробування є попарно несумісними, тому для знаходження шуканої ймовірності їх потрібно просумуватиабо

Вивів її вперше швейцарський математик Якоб Бернуллі (1654 р.–1705 р.), за ним і збереглася назва формули.

Якщо просумувати ймовірність всіх випробувань в яких подія A може відбутися від нуля до разів в серії із n випробувань то отримаємо повну ймовірністьДоданки цієї суми співпадають по вигляду з розкладом бінома НьютонаЛегко переконатися, що сума рівна одиниціВ літературі можна зустріти термін "біноміальний розклад ймовірностей", це якраз множина всіх ймовірностей, яка просумована вище.
Як наслідки, з формули Бернуллі виводяться наступні формули для популярних для практики задач:
1) ймовірність появи події A "хоча б один раз" в серії з n випробувань

2) ймовірність появи події A "хоча б певну кількість k раз" в серії з n випробувань обчислюють за формулою

або за властивістю біноміального розкладу ймовірностей

На основі даної залежності вводять в розгляд твірну функцію, яка дає змогу визначити можливу кількість появи події A в серії з n випробувань

За властивістю твірної функції множники при певному m степені змінної () дорівнюють імовірності появи події A в серії з n дослідів рівно m раз. Це легко прослідкувати з формули сумування імовірностей всіх можливих випробувань за схемою Бернуллі.
Якщо ймовірності появи події в кожному досліді різні P(Ai)=pi, а протилежної , то за властивостю твірної функції ймовірність події A відбутися m раз в серії n дослідів рівна множнику при xm в розкладі функції за степенями x

Вона достатньо часто зустрічається при розв'язуванні задач, в яких ймовірності появи події A в кожному наступному досліді змінюються та дозволяє при невеликій кількості m появи події A швидко знайти імовірність (розв'язок задачі).


Найімовірніша число k0 появи події A в схемі Бернуллі лежить в інтервалі


Для застосування схеми Бернуллі потрібно щоб виконувалися три умови:
1) досліди повинні бути незалежні між собою;
2) кожен дослід повинен мати два результати A , протилежна до неї і ніяких інших варіантів;
3) ймовірність появи події A повинна бути однаковою для кожного наступного досліду.

Розглянемо схему розв'язування типових задач.

Приклад 1. В тирі стрілець проводить 7 пострілів по мішені з ймовірністю улучення кожного 0,8. Яка ймовірність того, що буде:
а) рівно 4 влучення;
б) не менше за 5 влучень;
в) не більше двох влучань.

Розв'язок. а) проводиться т=7 незалежних одне від одного дослідів з ймовірністю влучення в мішень в кожному з них рівною p=0,8. Ймовірність того, що буде рівно m=4 влучань обчислюємо за формулою Бернуллі:
формула Бернуллі
Вона становить p=0,1147.
б) подію A, яка полягає в тому, що при n=7 пострілах буде не менше за 5 влучань можна розглядати як суму трьох несумісних подій: B – 5 влучань з 7, подія C – 6 влучань з 7 і D – всі 7 пострілів влучні.
За формулою Бернуллі знаходимо імовірності подій
формула Бернуллі

формула Бернуллі

формула Бернуллі
Тоді ймовірність шуканої події A рівна сумі знайдених імовірностей

в) Подібним чином ймовірність події A – не більше двох влучань при семи пострілах можна обчислити, як суму ймовірностей трьох подій:
B – 2 влучення з 7,
C – 1 з 7,
D – жодного влучання із 7 пострілів (7 промахів).
На практиці студенти часто забувають розглядати події подібні до жодного влучання D , тож не робіть подібних помилок і Ви, та добре запам'ятайте можливість виникнення такого варіанту. Імовірності знаходимо за знайомою вже формулою
формула Бернуллі


Сумуючи ймовірності одержимо
повна ймовірність
Однак події A (не більше трьох влучень при п'яти пострілах) і (не менше чотирьох влучень при п'яти пострілах) протилежні один одному, тому
протилежна ймовірність
Всі завдання умови виконані і з пояснень є що взяти для кожного з Вас.

 

Приклад 2. Монету підкидають п'ять разів. Знайти ймовірність того, що герб випаде не більше трьох разів.

Розв'язок. Ймовірність випадання гербу чи решки вважаємо незалежною подією з ймовірністю p=q=0,5. По аналогії з попередньою задачею, шукана ймовірність рівна сумі трьох наступних

Щоб не шукати стільки доданків, з наведених вище формул отримаємо простішу
формула Бернуллі
Така ймовірність більша 81%.

 

Приклад 3. Імовірність появи події в одному досліді рівна 0,4. Скільки потрібно провести дослідів, щоб найімовірніша кількість появи події була рівна 20.

Розв'язок. Згідно умови виписуємо дані

та проводимо розрахунки за нерівністю


З нерівностей отримаємо
Найімовірніша число  в схемі Бернуллі
три числа 49,50,51. Отже потрібно провести від 49 до 51 досліду.

 

Приклад 4. Три біатлоністи незалежно один від одного роблять по одному пострілу в мішень. Ймовірність попадання в мішень для першого рівна 0,9; для другого – 0,85; для третього – 0,8. Знайти ймовірність того, що буде закрито дві мішені з трьох.

Розв'язок. Імовірності влучання для стрілків різні, тому застосовуємо твірну функцію. Для неї вхідні дані приймуть заначення


Після підстановки та рокладу в ряд за степенями змінної отримаємо

Шукана ймовірність входить в розклад множником при другому степені x2

З цього прикладу також легко переконатися, що сума всіх множників при степенях рівна повній ймовірності (одиниці).

Схема Бернуллі на практиці не складна, важливо вловити як в обчисленнях реалізувати завдання типу "не більше m раз", "не менше m раз", "рівно m раз" із n випробувань. Як тільки Ви це зрозумієте, все решта зведеться до сумування, множення та піднесення до степеня.